PSL(2,7)

I matematik er den projektive specielle lineære gruppe PSL(2, 7) (isomorf til GL(3, 2) ) en finit simpel gruppe med vigtige anvendelser inden for algebra , geometri og talteori . Det er automorfigruppen i Klein quartic og også symmetrigruppen i Fano-planet . Med 168 elementer er PSL(2, 7) den næstmindste af de mindste ikke -abiske simple grupper (den første er den vekslende gruppe A 5 på fem bogstaver og har 60 elementer, rotationsgruppen for icosaedrisk symmetri ).

Definition

Den fulde lineære gruppe GL(2, 7) består af alle inverterbare 2×2 - matricer over F 7 , et endeligt felt på syv elementer, det vil sige, der har ikke-nul determinanter. Undergruppen SL(2, 7) består af alle matricer med enhedsdeterminant . Således er PSL(2, 7) en faktorgruppe

SL(2, 7)/{I, −I},

opnås ved at identificere I og −I, hvor I er identitetsmatrixen . I denne artikel mener vi med G enhver gruppe, der er isomorf til PSL(2, 7).

Egenskaber

G = PSL(2, 7) har 168 elementer. Dette kan ses ved at tælle de mulige kolonner. Der er 7 2 −1 = 48 muligheder for den første kolonne, 7 2 −7 = 42 muligheder for den anden kolonne. Vi skal dividere med 7−1 = 6 for at gøre determinanten lig med én, og så skal vi dividere med 2, når vi identificerer I og −I. Resultatet er (48x42)/(6x2) = 168.

Det er velkendt, at PSL( n , q ) er primtal for n , q ≥ 2 (hvor q er en eller anden potens af et primtal), medmindre ( n , q ) = (2, 2) eller (2, 3). PSL(2,2) er isomorf for den symmetriske gruppe S3 , og PSL( 2,3 ) er isomorf for den alternerende gruppe A4 . Faktisk er PSL(2, 7) den næststørste ikke - abiske simple gruppe efter den vekslende gruppe A 5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

Antallet af konjugationsklasser og antallet af irreducerbare repræsentationer er 6. Antallet af klasser er 1, 21, 42, 56, 24, 24. Dimensionerne af irreducible repræsentationer er 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Karakter tabel

{\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\ \\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4 }&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},

hvor:

\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.

Følgende tabel beskriver konjugationsklasserne i form af rækkefølgen af elementerne i klasserne, antallet af klasser, minimumspolynomiet for alle repræsentationer i GL(3, 2) og funktionsindgangen for repræsentationen i PSL(2, 7).

Bestille	Størrelsen	Min. Polynomium	Fungere
en	en	x +1	x
2	21	x 2 +1	−1/ x
3	56	x 3 +1	2 x
fire	42	x 3 + x 2 + x +1	1/(3− x )
7	24	x 3 + x +1	x +1
7	24	x 3 + x 2 +1	x + 3

Rækkefølgen af gruppen er 168=3*7*8, hvilket indebærer eksistensen af Sylow-undergrupper af orden 3, 7 og 8. Det er let at beskrive de to første - de er cykliske, da enhver gruppe med en primær orden er cyklisk . Ethvert element i konjugationsklassen 3 A 56 danner en Sylow 3-undergruppe. Ethvert element i konjugationsklasserne 7 A 24 , 7 B 24 danner en Sylow 7-undergruppe. En Sylow 2-undergruppe er en dihedral gruppe af orden 8 . Det kan beskrives som en centralisering af ethvert element fra konjugationsklassen 2 A 21 . I GL(3, 2)-repræsentationen består en Sylow 2-undergruppe af øvre trekantede matricer.

Denne gruppe og dens Sylow 2-undergruppe giver et modeksempel på forskellige normale p-komplement sætninger for p = 2.

Handlinger på projektive rum

G = PSL(2, 7) virker gennem en lineær-fraktionel transformation på den projektive linje P 1 (7) over et felt med 7 elementer:

For og $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)))$ $x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d))$

Enhver orienteringsbevarende automorfi af linjen P 1 (7) opnås på denne måde, og så kan G = PSL(2, 7) geometrisk forstås som symmetrigruppen af den projektive linje P 1 (7). Den fulde gruppe af mulige orienteringsbevarende automorfismer er en forlængelse af orden 2 i gruppen PGL(2, 7) og kolineationsgruppen den projektive linje er den fulde symmetriske gruppe af punkter.

PSL(2, 7) er dog også isomorf til gruppen PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), en speciel (generel) lineær gruppe af 3×3 matricer over et 2-element felt. På samme måde virker G = PSL(3, 2) på det projektive plan P 2 (2) over et 2-elementfelt, også kendt som Fano-planet :

For og $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)$ $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Igen opnås enhver automorfi P 2 (2) på denne måde, og så kan G = PSL(3, 2) geometrisk forstås som symmetrigruppen af dette projektive plan. Fano-flyet kan beskrives som produktet af oktonioner .

Symmetrier af Klein-kvartikken

Klein-kvartikken er en projektiv manifold over de komplekse tal C , defineret af et polynomium af fjerde grad

x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0.

Det er en kompakt Riemann-overflade af slægten g = 3 og er den eneste sådanne overflade, for hvilken størrelsen af den konforme automorfigruppe når et maksimum på 84( g −1). Denne grænse stammer fra Hurwitz automorfi-sætning , som gælder for alle g >1. Sådanne " Hurwitz overflader " er sjældne. Den næste slægt, for hvilken en sådan overflade findes, er g = 7, og den efter den er g = 14.

Som med alle Hurwitz-overflader kan Klein quartics gives en metrik med konstant negativ krumning og derefter flisebelagt med regulære (hyperbolske) sekskanter , som et faktorrum af en syvkantet flisebelægning af størrelsesorden 3 . For Klein-kvartikken giver dette en flisebelægning på 24 sekskanter. Dobbelt kan det være flisebelagt af 56 ligesidede trekanter med 24 hjørner, hver af orden 7, som et faktorrum af en trekantet flisebelægning af orden 7 .

Klein-kvartikken optræder i mange områder af matematikken, herunder repræsentationsteori, homologiteori, oktonionmultiplikation, Fermats sidste sætning .

Mathieu Group

PSL(2, 7 ) er en maksimal undergruppe af Mathieu-gruppen M21 . Mathieu-grupperne M 21 og M 24 kan konstrueres som forlængelser af PSL(2, 7). Disse udvidelser kan fortolkes i form af Klein kvartsfliser, men kan ikke realiseres ved geometriske flisebelægningssymmetrier [1] .

Gruppehandlinger

PSL(2, 7) virker på forskellige sæt:

Hvis den tolkes som lineære automorfier af den projektive linie over F 7 , virker den 2-transitivt på et sæt af 8 punkter med en stabilisator af størrelsesorden 3. (PGL(2, 7) virker strengt 3-transitivt med en trivial stabilisator.)
Fortolket som automorfismer af Klein kvartsfliser, virker den transitivt på 24 hjørner (eller dobbelt, på 24 heptagoner) med en stabilisator af orden 7 (svarende til rotation omkring et toppunkt/heptagon).
Hvis den tolkes som en undergruppe af Mathieu-gruppen M 21 , der handler på 21 punkter, handler den ikke transitivt på 21 punkter.

Noter

↑ Richter .

Litteratur

David A. Richter. Sådan laver du Mathieu Group M 24 .

For yderligere læsning

Ezra Brown, Nicholas Loehr. Hvorfor er PSL(2.7)≅GL(3.2)? // Am. Matematik. man .. - 2009. - T. 116 , no. 8 . — S. 727–732 . - doi : 10.4169/193009709X460859 .