Minimum polynomium af et algebraisk element

Det minimale polynomium i feltteori er en konstruktion defineret for et algebraisk element : et polynomium , der er et multiplum af alle polynomier, hvis rod er det givne element.

Minimale polynomier bruges i studiet af feltudvidelser . Givet en forlængelse og et element algebraisk over , så er det minimale underfelt, der indeholder og er isomorf til kvotientringen , hvor er ringen af polynomier med koefficienter i , og er det vigtigste ideal , der genereres af det minimale polynomium . Begrebet et minimalt polynomium bruges også ved bestemmelse af konjugerede elementer . $E\supsetneq K$ $\alfa \i E$ $K$ $E$ $K$ $\alfa$ $K[x]/(f(x))$ $K[x]$ $K$ $(f(x))$ $\alfa$

Definition

Lade være en forlængelse af feltet , være et element algebraisk over . Overvej et sæt polynomier sådan, at . Dette sæt danner et ideal i polynomialringen . Faktisk, hvis , så , og for et hvilket som helst polynomium . Dette ideal er ikke-nul, da grundstoffet ved antagelse er algebraisk; da det er domænet af principielle idealer , er dette ideal principielt, det vil sige, at det genereres af et eller andet polynomium . Et sådant polynomium er defineret op til multiplikation med et inverterbart element i feltet; ved at stille et yderligere krav om, at den førende koefficient skal være lig med én, det vil sige, at den er et reduceret polynomium , opnår man en unik afbildning til et vilkårligt algebraisk element fra en given forlængelse af polynomiet, som kaldes det minimale polynomium . Det følger af definitionen, at ethvert minimalt polynomium er irreducerbart i . $E\supsetneq K$ $\alfa \i E$ $K$ $f(x)\i K[x]$ $f(\alpha)=0$ $K[x]$ $f(\alpha)=0, g(\alpha)=0$ $(f+g)(\alfa)=0$ $h(x)\i K[x]$ $(f\cdot h)(\alpha)=0$ $\alfa$ $K[x]$ $f(x)$ $f(x)$ $f(x)$ $\alfa$ $\alfa$ $K[x]$

Eksempler

Lad . Så er det minimale polynomium af et tal . Hvis vi tager , så er det minimale polynomium lig med . $K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2$ $\alfa$ $x^{2}-2$ $K={\mathbb R}$ $x-\sqrt 2$
$K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3$ . Minimumspolynomiet er . $\alfa$ $x^4-10x^2+1$
$K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))+{\sqrt[{3} ]{1-{\sqrt {2}}}}.$ Det minimale polynomium er $\alfa$ $x^{3}+3x-2.$
Det analoge for polynomiet er $\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2))))$ $(x^{3}-3x-2{\sqrt {2)))(x^{3}-3x+2{\sqrt {2)))=x^{6}-6x^{4 }+9x^{2}-8.$

Konjugerede elementer

De konjugerede elementer af et algebraisk element over et felt er alle (andre) rødder af det minimale polynomium . $\alfa$ $K$ $\alfa$

Egenskaber

Lade være en normal udvidelse med automorfisme gruppe ,. Så for enhver - er konjugeret til , da enhver automorfi tager rødderne af det givne polynomium fra tilbage til rødderne. Omvendt har ethvert element konjugeret til følgende form: dette betyder, at gruppen virker transitivt på sættet af konjugerede elementer. Derfor, ved irreducerbarheden af det minimale polynomium, er K isomorf . Derfor er konjugationsforholdet symmetrisk . $E\supsetneq K$ $G$ $\alfa \i E$ $g\in G$ $g(\alfa)$ $\alfa$ $K[x]$ $\beta$ $\alfa$ $G$ $K(\alpha )$ $K(\beta)$

Kroneckers sætning siger, at ethvert algebraisk heltal , således at dets modul og modulet af alle dets konjugater inden for komplekse tal er lig med 1, er en enhedsrod .

Noter

Minimalt polynomium (engelsk) på PlanetMath-webstedet .
Weisstein, Eric W. Conjugate Elements hos Wolfram MathWorld .
Pinter, Charles C. En bog om abstrakt algebra. Dover bøger om matematik-serien. Dover Publications, 2010, s. 270-273. — ISBN 978-0-486-47417-5