Punktvis konvergens

I matematik er punktvis konvergens af en sekvens af funktioner i et sæt en type konvergens , hvor hvert punkt i det givne sæt er forbundet med grænsen for rækkefølgen af værdier af elementerne i sekvensen i samme punkt.

En funktion defineret på denne måde kaldes grænsefunktionen for den givne sekvens eller dens punktvise grænse , og det siges, at den givne sekvens konvergerer punktvis til grænsefunktionen.

En stærkere form for konvergens er ensartet konvergens : hvis en funktionel sekvens konvergerer ensartet , så konvergerer denne sekvens også punktvis , men ikke omvendt. For at den punktvise grænse for en sekvens af funktioner skal være ensartet, skal Cauchy-kriteriet være opfyldt .

Begrebet punktvis konvergens overføres naturligt til funktionelle familier og funktionelle serier .

Definition

Lade være en sekvens af funktioner af formen ( ) hvor er definitionsdomænet fælles for alle funktioner i familien. $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f_{n}\colon X\to {\mathbb {R}}$ $n=1,2,\prikker$ $x$

Ret et punkt og overvej en numerisk rækkefølge af formularen . $x\i X$ $\{f_{{n}}(x)\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Hvis denne sekvens har en (endelig) grænse, kan et punkt associeres med grænsen for denne sekvens, hvilket angiver det : $x$ $f(x)$

f(x):=\lim _{{n\til \infty }}f_{n}(x)

Hvis vi betragter alle punkter i sættet , hvor den angivne grænse findes, så kan vi definere funktionen . $E\delsæt X$ $f\colon E\to {\mathbb {R}}$

Funktionen defineret på denne måde kaldes den punktvise grænse for rækkefølgen af funktioner i familien på sættet : $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $E$

f_{n}\to f\quad \{E\}\Leftrightarrow \left(\forall x\in E\quad f_{n}(x)\to f(x)\quad n\to \infty \right)

mens familien selv siges at konvergere punktvis til en funktion på settet . $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f$ $E$

Egenskaber

Begrebet punktvis konvergens står på nogle måder i kontrast til begrebet ensartet konvergens . Specifikt,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=f

jævnt

er ensbetydende med

\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in D\}=0.

Denne påstand er stærkere end den punktvise konvergenspåstand: hver ensartet konvergent funktionel sekvens konvergerer punktvis til den samme grænsefunktion, men det omvendte er ikke sandt generelt. For eksempel,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x^{n}=0

punktvis på intervallet [0,1), men ikke ensartet på intervallet [0,1).

Den punktvise grænse for en sekvens af kontinuerlige funktioner er muligvis ikke en kontinuerlig funktion, men kun hvis konvergensen ikke er ensartet på samme tid. For eksempel funktionen

f(x)=\lim _{{n\højrepil \infty }}\cos(\pi x)^{{2n}}

tager værdien 1, hvis x er et heltal, og 0, hvis x ikke er et heltal og derfor ikke er kontinuert for heltal.

Værdierne af funktionen f n behøver ikke at være reelle, men kan tilhøre ethvert topologisk rum , så begrebet punktvis konvergens giver mening. På den anden side giver ensartet konvergens generelt ikke mening for funktioner, der tager værdier i topologiske rum, men det giver mening i det særlige tilfælde, når det topologiske rum er udstyret med metrikken .

Topologi

Punktvis konvergens er det samme som konvergens i topologien af et produkt på rummet Y X . Hvis Y er kompakt , så er rummet Y X også kompakt ifølge Tikhonovs sætning .

I målteori

I målteori introduceres begrebet konvergens næsten overalt af en sekvens af målbare funktioner defineret på et målbart rum , hvilket betyder konvergens næsten overalt . Egorovs teorem siger, at punktvis konvergens næsten overalt på et sæt af endelige mål indebærer ensartet konvergens på et sæt, der kun er lidt mindre.

Punktvis konvergens

Definition

Egenskaber

Topologi

I målteori

Se også