Hyperbolske funktioner

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. maj 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Hyperbolske funktioner er en familie af elementære funktioner udtrykt i form af en eksponentiel og tæt forbundet med trigonometriske funktioner .

Definition

Hyperbolske funktioner er givet af følgende formler:

hyperbolsk sinus :

\operatørnavn {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}

(angivet i engelsk litteratur ) $\sinh x$

hyperbolsk cosinus :

\operatørnavn {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}

(angivet i engelsk litteratur ) $\cosh x$

hyperbolsk tangens :

\operatørnavn {th} x={\frac {\operatørnavn {sh} x}{\operatørnavn {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x }+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}

(angivet i engelsk litteratur ) $\tanh x$

hyperbolsk cotangens :

\operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1 }}

(angivet i engelsk litteratur ) $\coth x$

hyperbolsk sekant :

{\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x))))

Den hyperbolske sekant er nogle gange også betegnet som . $\operatørnavn {sech} x$

hyperbolsk cosecans :

{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x))))

Geometrisk definition

I lyset af sammenhængen giver hyperbolske funktioner en parametrisk repræsentation af hyperbelen ( , ). I dette tilfælde er argumentet , hvor er arealet af den buede trekant , taget med "+" tegnet, hvis sektoren ligger over aksen , og "−" i det modsatte tilfælde. Det er klart, at hyperbolske funktioner også defineres gennem denne parameter, for eksempel de hyperbolske sinusligninger i parametrisk form: , hvor er ordinaten af hyperbelens punkt svarende til arealet . Denne definition er analog med definitionen af trigonometriske funktioner i form af enhedscirklen , som også kan konstrueres på lignende måde. $\operatørnavn {ch} ^{2}t-\operatørnavn {sh} ^{2}t=1$ $x^{2}-y^{2}=1$ $x=\operatørnavn {ch} t$ $y=\operatørnavn {sh} t$ $t=2S$ $S$ $OQR$ $OKSE$ $x=t,y=f(t)$ $f(t)$ $t=2S$

Egenskaber

Forbindelse med trigonometriske funktioner

Hyperbolske funktioner udtrykkes i form af trigonometriske funktioner af det imaginære argument.

$\operatørnavn {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatørnavn {ch} x=\cos(ix),\quad \operatørnavn {th} x=-i\operatørnavn {tg} (ix)$ .

$\operatørnavn {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatørnavn {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatørnavn {th} (ix)=i\operatørnavn {tg} x$ .

Gudermann-funktionen forbinder trigonometriske funktioner og hyperbolske funktioner uden at involvere komplekse tal .

Vigtige forhold

$\operatørnavn {ch} ^{2}x-\operatørnavn {sh} ^{2}x=1.$

Bevis

$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatørnavn {sh} ^{2}x=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\ højre)^{2}-\venstre({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}={\frac {(e^{x}+ e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={\frac {e^{2x}+2+e^ {-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={\frac {2+2}{4}}=1$

Lige/ulige :
1. $\operatørnavn {sh} (-x)=-\operatørnavn {sh} x.$
2. $\operatørnavn {ch} (-x)=\operatørnavn {ch} x.$
3. $\operatørnavn {th} (-x)=-\operatørnavn {th} x.$
4. $\operatørnavn {cth} (-x)=-\operatørnavn {cth} x.$
5. $\operatørnavn {sch} (-x)=\operatørnavn {sch} x.$
6. $\operatørnavn {csch} (-x)=-\operatørnavn {csch} x+1.$
Tilføjelsesformler : _
1. $\operatørnavn {sh} (x\pm y)=\operatørnavn {sh} x\,\operatørnavn {ch} y\pm \operatørnavn {sh} y\,\operatørnavn {ch} x.$
2. $\operatørnavn {ch} (x\pm y)=\operatørnavn {ch} x\,\operatørnavn {ch} y\pm \operatørnavn {sh} y\,\operatørnavn {sh} x.$
3. $\operatørnavn {th} (x\pm y)={\frac {\operatørnavn {th} x\pm \operatørnavn {th} y}{1\pm \operatørnavn {th} x\,\operatørnavn {th} y} }.$
4. $\operatørnavn {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatørnavn {cth} x\,\operatørnavn {cth} y}{\operatørnavn {cth} x\pm \operatørnavn {cth} y} }.$
Dobbeltvinkelformler:
1. $\operatørnavn {sh} 2x=2\operatørnavn {ch} x\,\operatørnavn {sh} x={\frac {2\,\operatørnavn {th} x}{1-\operatørnavn {th} ^{2}x }}.$
2. $\operatørnavn {ch} 2x=\operatørnavn {ch} ^{2}x+\operatørnavn {sh} ^{2}x=2\operatørnavn {ch} ^{2}x-1=1+2\operatørnavn {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatørnavn {th} ^{2}x}{1-\operatørnavn {th} ^{2}x}}.$
3. $\operatørnavn {th} 2x={\frac {2\operatørnavn {th} x}{1+\operatørnavn {th} ^{2}x}}.$
4. $\operatørnavn {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatørnavn {th} x+\operatørnavn {cth} x).$
5. $\operatørnavn {th} x={\frac {\operatørnavn {ch} 2x-1}{\operatørnavn {sh} 2x}}={\frac {\operatørnavn {sh} 2x}{1+\operatørnavn {ch} 2x }}.$
6. $\operatørnavn {ch} 2x\pm \operatørnavn {sh} 2x=(\operatørnavn {sh} x\pm \operatørnavn {ch} x)^{2}.$
Flere vinkelformler:
1. $\operatørnavn {sh} 3x=4\operatørnavn {sh} ^{3}x+3\operatørnavn {sh} x.$
2. $\operatørnavn {ch} 3x=4\operatørnavn {ch} ^{3}x-3\operatørnavn {ch} x.$
3. $\operatørnavn {th} 3x=\operatørnavn {th} x{\frac {3+\operatørnavn {th} ^{2}x}{1+3\operatørnavn {th} ^{2}x}}.$
4. $\operatørnavn {sh} 5x=16\operatørnavn {sh} ^{5}x+20\operatørnavn {sh} ^{3}x+5\operatørnavn {sh} x.$
5. $\operatørnavn {ch} 5x=16\operatørnavn {ch} ^{5}x-20\operatørnavn {ch} ^{3}x+5\operatørnavn {ch} x.$
6. $\operatørnavn {th} 5x=\operatørnavn {th} x{\frac {\operatørnavn {th} ^{4}x+10\operatørnavn {th} ^{2}x+5}{5\operatørnavn {th} ^ {4}x+10\operatørnavn {th} ^{2}x+1}}.$
Kunstværker:
1. $\operatørnavn {sh} x\,\operatørnavn {sh} y={\frac {\operatørnavn {ch} (x+y)-\operatørnavn {ch} (xy)}{2}}.$
2. $\operatørnavn {sh} x\,\operatørnavn {ch} y={\frac {\operatørnavn {sh} (x+y)+\operatørnavn {sh} (xy)}{2}}.$
3. $\operatørnavn {ch} x\,\operatørnavn {ch} y={\frac {\operatørnavn {ch} (x+y)+\operatørnavn {ch} (xy)}{2}}.$
4. $\operatørnavn {th} x\,\operatørnavn {th} y={\frac {\operatørnavn {ch} (x+y)-\operatørnavn {ch} (xy)}{\operatørnavn {ch} (x+y) +\operatørnavn {ch} (xy)}}.$
Beløb:
1. $\operatørnavn {sh} x\pm \operatørnavn {sh} y=2\operatørnavn {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatørnavn {ch} {\frac {x\mp y}{2 }}.$
2. $\operatørnavn {ch} x+\operatørnavn {ch} y=2\operatørnavn {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatørnavn {ch} {\frac {xy}{2}}.$
3. $\operatørnavn {ch} x-\operatørnavn {ch} y=2\operatørnavn {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatørnavn {sh} {\frac {xy}{2}}.$
4. $\operatørnavn {th} x\pm \operatørnavn {th} y={\frac {\operatørnavn {sh} (x\pm y)}{\operatørnavn {ch} x\,\operatørnavn {ch} y)).$
Nedgradering af formler:
1. $\operatørnavn {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatørnavn {ch} x+1}{2}}.$
2. $\operatørnavn {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatørnavn {ch} x-1}{2}}.$
Derivater :

Fungere $f(x)$	Afledte $f'(x)$	Bemærk
$\mathrm {sh} \ x$	$\mathrm {ch} \x$	Bevis $(sh(x))'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)$
$\mathrm {ch} \x$	$\mathrm {sh} \ x$	Bevis $(ch(x))'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)$
$\mathrm {th} \x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Bevis $(th(x))'=\left({\frac {sh(x)}{ch(x)}}\right)'={\frac {(sh(x))'\cdot ch( x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}} ={\frac {1}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Bevis $(cthx)'=\venstre({\frac {ch(x)}{sh(x)))\right)'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)- ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x) )}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{ \frac {1}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \x$	$-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$	Bevis $(sch(x))'=\left({\frac {1}{ch(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$	Bevis $(csch(x))'=\left({\frac {1}{sh(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$

Integraler : Se også: Liste over integraler af hyperbolske funktioner , Liste over integraler af inverse hyperbolske funktioner
1. $\int \operatørnavn {sh} x\,dx=\operatørnavn {ch} x+C.$
2. $\int \operatørnavn {ch} x\,dx=\operatørnavn {sh} x+C.$
3. $\int \operatørnavn {th} x\,dx=\ln \operatørnavn {ch} x+C.$
4. $\int {\frac {1}{\operatørnavn {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatørnavn {th} x+C.$
5. $\int {\frac {1}{\operatørnavn {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatørnavn {cth} x+C.$
6. $\operatørnavn {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatørnavn {ch} tdt.$
7. $\operatørnavn {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatørnavn {sh} tdt.$
8. $\operatørnavn {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatørnavn {ch} ^{2}t}}.$
Repræsentation i form af den hyperbolske tangens af en halv vinkel :
1. $\operatorname {sh} x={\frac {2\operatørnavn {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatørnavn {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
2. $\operatorname {ch} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1-\operatorname {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
3. $\operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
4. $\operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{ 2}}}}$
5. $\operatorname {sch} x={\frac {1-\operatørnavn {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1+\operatorname {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
6. $\operatørnavn {csch} x={\frac {1-\operatørnavn {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatørnavn {th} {\frac {x}{ 2}}}}$

Uligheder

For alle kører det: $x\in \mathbb {R}$

$0\leq \operatørnavn {ch} x-1\leq |\operatørnavn {sh} x|<\operatørnavn {ch} x$
$|\operatørnavn {th} x|<1$

Power serie udvidelse

\operatornavn {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7 }}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

\operatørnavn {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{ 6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

\operatørnavn {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7} }{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1 }}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}

\operatornavn {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac { 2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n }x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi

( Laurent-serien )

\operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n }\,x^{2n}}{(2n)!}}

Her er Bernoulli-numrene og Euler -numrene . $B_{2n}$ $E_{2n}$

Diagrammer

Analytiske egenskaber

Den hyperbolske sinus og hyperbolske cosinus er analytiske i hele det komplekse plan, bortset fra det i det væsentlige ental punkt ved uendelighed. Den hyperbolske tangens er analytisk overalt, bortset fra polerne i punkterne , hvor er et heltal. Resterne ved alle disse poler er lig med én. Den hyperbolske cotangens er analytisk overalt, bortset fra punkterne , dens rester ved disse poler er også lig med én. $z=i\pi (n+1/2)$ $n$ $z=i\pi n$

Inverse hyperbolske funktioner

De kaldes ellers arealfunktioner: præfikset "areal-" tilføjes til navnene på de tilsvarende hyperbolske funktioner - fra lat. "område" - "område". Hovedværdierne for områdefunktionerne er defineret af følgende udtryk.

$\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1)))$ - omvendt hyperbolsk sinus, areal-sinus.
$\operatorname {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$ — omvendt hyperbolsk cosinus, areal cosinus.
$\operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1$ - invers hyperbolsk tangent, arealtangens.
$\operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1$ — omvendt hyperbolsk cotangens, area cotangens.
$\operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x));0<x\leq 1$ — omvendt hyperbolsk sekant, arealsekant. Bemærk, at løsningen også opfylder ligningen , men hovedværdierne af arealfunktionerne er enkeltværdi-funktioner. $y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x))$ $\operatørnavn {sch} y=x$
$\operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2)))){x))=\venstre\{{\begin {array}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2)))){x)),\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\ sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.$ — invers hyperbolsk cosecant, areal cosecant.

Diagrammer

Forholdet mellem nogle inverse hyperbolske og inverse trigonometriske funktioner:

\operatørnavn {Arsh} x=-i\operatørnavn {Arcsin} (-ix),

\operatørnavn {Arsh} (ix)=i\operatørnavn {Arcsin} x,

\operatørnavn {Arcsin} x=-i\operatørnavn {Arsh} (ix),

\operatørnavn {Arcsin} (ix)=-i\operatørnavn {Arsh} (-x),

\operatørnavn {Arccos} \ x=-i\ \operatørnavn {Arch} \ x,

hvor i er den imaginære enhed .

Disse funktioner har følgende serieudvidelse:

\operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac { 1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\venstre({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1) ^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}),\quad \ venstre\vert x\right\vert <1;

\operatorname {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}} +\venstre({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\venstre({\frac {1\cdot 3 }} \cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _ {n =1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2))}\right){ \frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;

\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7} }{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.

I udenlandsk litteratur er inverse hyperbolske funktioner ofte betegnet med et minustegn af første grad: for eksempel skriver de som (og betegner en anden funktion - ) osv. $\operatørnavn {Arth} \,x$ $\operatørnavn {tanh} ^{-1}x$ $(\operatørnavn {tanh} \,x)^{-1}$ $\operatørnavn {cth} \,x$

Historie

Historikere opdagede den første optræden af hyperbolske funktioner i den engelske matematiker Abraham de Moivres ( 1707 , 1722 ) skrifter. En moderne definition og en detaljeret undersøgelse af dem blev udført af Vincenzo Riccati i 1757 ("Opusculorum", bind I), han foreslog også deres betegnelser: , . Riccati gik ud fra overvejelserne om en enkelt hyperbel (se figuren i #Definition sektionen ) . $\operatørnavn {sh}$ $\operatørnavn {ch}$

En uafhængig opdagelse og yderligere undersøgelse af hyperbolske funktioners egenskaber blev udført af Johann Lambert ( 1768 ), som etablerede en bred parallelitet mellem formlerne for almindelig og hyperbolsk trigonometri. N. I. Lobachevsky brugte efterfølgende denne parallelisme og forsøgte at bevise konsistensen af ikke-euklidisk geometri , hvor cirkulær trigonometri erstattes af hyperbolsk.

Der er blevet etableret en vis inkonsistens i notationen af hyperbolske funktioner. For eksempel, i Encyclopedia of Brockhaus og Efron , bruges betegnelserne , betegnelserne forankret i russisksproget litteratur og forankret i engelsksproget litteratur . $\operatørnavn {sinhyp}$ $\operatørnavn {cosyp}$ $\operatørnavn {sh} ,\operatørnavn {ch}$ $\sinh ,\cosh$

Ansøgning

Hyperbolske funktioner forekommer ofte i beregningen af forskellige integraler . Nogle integraler af rationelle funktioner og af funktioner, der indeholder radikaler, kan beregnes ganske simpelt ved at ændre variable ved hjælp af hyperbolske funktioner.

På samme måde som visningsmatricer beskriver rotationer i todimensionelt euklidisk rum , beskriver matricer rotationer i det enkleste todimensionelle Minkowski-rum . På grund af dette forekommer hyperbolske funktioner ofte i relativitetsteorien . ${\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix))$ ${\begin{pmatrix}{\mathop {\mathrm {ch} }}\,x&{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x\\{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x& {\mathop {\mathrm {ch} }}\,x\end{pmatrix}}$

Et ensartet reb eller kæde, frit ophængt i dets ender, har form af en graf af en funktion (i forbindelse med hvilken den hyperbolske cosinusgraf undertiden kaldes en kædelinje ). Denne omstændighed bruges i design af buer , da formen af buen i form af en omvendt køreledning mest effektivt fordeler belastningen. $y=a\,{\mathop {\mathrm {ch} }}\,{\frac {x}{a}}$

Litteratur

Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Højere matematik. Differentialligninger. Flere integraler. Rækker. Funktioner af en kompleks variabel. - Moskva: Nauka, 1985. - S. 464.

Shervatov V. G. Hyperbolske funktioner - Gostekhizdat, 1954. - 58 s. - ( Populære foredrag om matematik ). — 25.000 eksemplarer.
A. R. Yanpolsky. hyperbolske funktioner. - Moskva, 1960. - 195 s.

Links

GonioLab : Interaktiv demonstration af trigonometriske og hyperbolske funktioner på Java Web Start
TSB: Matematiske tegn
Inverse trigonometriske og hyperbolske funktioner (engelsk)

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Great Soviet (1 udg.) Brockhaus og Efron Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 11979371t J9U : 987007553158105171 LCCN : sh85052338 NDL : 00571407 NKC : ph1124553