Enriques-Kodiry klassifikation

Enriques-Kodiira klassifikationen er en klassificering af kompakte komplekse overflader i ti klasser. For hver af disse klasser kan overfladerne af disse klasser parametriseres af modulrummet . For de fleste klasser er modulrummene veludviklede, men for en klasse af overflader af en generel type er modulrummene for komplicerede til at beskrive eksplicit, selvom nogle komponenter er kendte.

Max Noeter begyndte det systematiske studie af algebraiske overflader, og Guido Castelnuovo beviste vigtige dele af klassifikationen. Enriques [1] [2] beskrev klassificeringen af komplekse projektive overflader. Kodaira [3] [4] [5] [6] udvidede senere klassificeringen til at omfatte ikke-algebraiske kompakte overflader.

En lignende klassificering af overflader med karakteristisk p > 0 blev startet af Mumford [7] og afsluttet af Bombieri og Mumford [8] [9] . Klassifikationen svarer til tilfældet med projektive overflader i karakteristik 0, bortset fra at vi også får ental og supersingular Enriques overflader i karakteristik 2 og kvasi-hyperelliptiske overflader i karakteristika 2 og 3.

Klassifikationsgodkendelse

Enriques-Kodaira-klassifikationen af kompakte komplekse overflader angiver, at enhver ikke-enkelt minimal kompakt kompleks overflade tilhører nøjagtig én af de 10 typer, der er anført på denne side. Med andre ord er det en af de rationelle, regerede (af slægten >0), type VII, K3, Enriques, Kodaira, toriske, hyperbolske, egentlige kvasi-elliptiske eller generelle overflader.

For 9 klasser af andre overflader end den generelle type er der en ret fuldstændig beskrivelse af, hvordan alle overflader ser ud (hvilket for klasse VII afhænger af den globale sfæriske skalformodning , som forbliver ubevist). For overflader af generel type er der ikke meget kendt om deres eksplicitte klassificering, selvom der er fundet mange eksempler.

Klassificeringen af algebraiske overflader i positiv karakteristik [7] [8] [9] ligner klassificeringen af algebraiske overflader i karakteristik 0, bortset fra at der ikke er nogen Kodaira eller type VII overflader, men nogle yderligere familier af Enriques overflader i karakteristik 2 og hyperelliptiske overflader i karakteristika 2 og 3. Derudover er et kvasi-elliptisk bundt tilladt for Kodaira dimension 1 i karakteristika 2 og 3. Disse yderligere familier kan forstås som følger: i karakteristika 0 er disse overflader faktorer af overflader ved endelige grupper, men i finite karakteristik kan man også tage faktorer ved endelige gruppeskemaer , der ikke er étales .

Oskar Zariski konstruerede adskillige overflader i positive karakteristika, der er unirationelle , men ikke rationelle, som er opnået fra uadskillelige forlængelser ( Zariski-overflader ). For en positiv karakterisering viste Serre, at den kan adskille sig fra , og Igusa viste, at selvom de falder sammen, kan de være større end uregelmæssigheden (dimensionen af Picard-manifolden ). $h^{0}(\Omega )$ $h^{1}(O)$

Overfladeinvarianter

Hodge-tal og Kodaira-dimension

De fleste af de vigtige invarianter af kompakte komplekse overflader, der anvendes til klassificering, kan angives i form af dimensionerne af de forskellige kohomologigrupper af kohærente skiver . De vigtigste er plurirods og Hodge-numrene defineret som følger:

K er det kanoniske linjebundt , hvis sektioner er holomorfe 2-former.
$P_{n}=\mathrm {dim} \,H^{0}(K^{n})$ for n ≥ 1, plugenerne . De er birationelle invarianter, det vil sige invarianter under blow- ups . Ved at bruge Seiberg-Witten-teorien viste Friedman og Morgan, at for komplekse manifolder afhænger plurigenerne kun af de underliggende orienterede glatte 4-manifolds. For ikke-Kähler-overflader bestemmes plurigenerne af den fundamentale gruppe, men for Kähler-overflader er der eksempler på homeomorfe overflader med forskellige plugener og Kodaira-dimensioner. Plurirods bruges ikke ofte individuelt, det vigtigste ved dem er deres væksthastighed, målt ved Kodairas dimension .
κ er Kodaira-dimensionen . Det er (nogle gange skrevet −1), hvis alle plugener er 0, ellers er det det mindste tal (0, 1 eller 2 for overflader), således at det er afgrænset. Enriques brugte ikke denne definition, i stedet brugte han værdierne og . De definerer dimensionen af Kodaira, da dimensionen af Kodaira matcher , matcher , matcher og , mens matcher og . $-\infty$ ${\displaystyle P_{n}/n^{\kappa ))$ $P_{12}$ ${\displaystyle KK=c_{1}^{2))$ $\kappa=-\infty$ $P_{12}=0$ $\kappa =0$ $P_{12}=1$ $\kappa =1$ $P_{12}>1$ $KK=0$ $\kappa =2$ $P_{12}>1$ $KK>0$
$h^{i,j}=\mathrm {dim} \,H^{j}(X,\Omega ^{i})$ (hvor er bunken af holomorfe i -former) er Hodge-tallene , ofte arrangeret i form af en Hodge-diamant ${\displaystyle \Omega ^{i))$

		h 0,0
	h 1,0		h 0,1
h 2,0		h 1.1		h 0,2
	h 2.1		h 1,2
		h 2,2

Ved Serre dualitet, h i, j = h 2− i ,2− j , og h 0,0 = h 2,2 = 1. Hvis overfladen er Kähler , så h i, j = h j, i , så der er kun 3 uafhængige Hodge-numre. For kompakte komplekse overflader er h 1,0 enten h 0,1 eller h 0,1 − 1. Det første pluigen P 1 er lig med Hodge-tallene h 2,0 = h 0,2 og kaldes nogle gange den geometriske slægt. Hodge-tallene for en kompleks overflade afhænger kun af ringen af orienteret reel kohomologi af overfladen og er invariante under birationelle transformationer, bortset fra h 1,1 , som stiger med 1, når et punkt sprænges.

Hodge tal-relaterede invarianter

Der er mange invarianter, som (i det mindste for komplekse overflader) kan skrives som en lineær kombination af Hodge-tal, som følger:

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4))$ er Betty-tallene - . og og . I karakteristika p > 0 behøver Betti-tallene (defineret af l-adic cohomology ) ikke være relateret på denne måde til Hodge-tallene. $b_{i}=dim(H_{i}(S))$ $b_{0}=b_{4}=1$ ${\displaystyle b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2))$ $b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}$
${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4))$ er Euler-karakteristikken eller Euler-tallet .
q er uregelmæssigheden , dimensionen af Picard-gruppen og dimensionen af den albanske manifold , som for komplekse overflader (men ikke altid for overflader i positiv karakteristik) er lig med h 0,1 .
${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1))$ er en geometrisk slægt .
${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0.2}-h^{0.1))$ er den aritmetiske slægt .
$\chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1$ er den holomorfe Euler-karakteristik for det trivielle bundt. (Det er normalt forskelligt fra Euler-tallet e beskrevet ovenfor.) Med Noethers formel , er dette tal også lig med slægten Todd ( ) ${\tfrac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}$
$\tau$ er signaturen (af den anden kohomologigruppe for komplekse overflader), og den er lig med , som er lig med . $4\chi-e$ $\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}$
${\displaystyle b^{+))$ og er dimensionerne af de maksimale positive og negative bestemte underrum af , således at og . $b^{-}$ $H^2$ $b^{+}+b^{-}=b_{2}$ $b^{+}-b^{-}=\tau$
$c_{2}=e$ og er Zhen-tallene defineret som integraler af forskellige polynomier i Zhen-klasserne over manifolden. $c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e$

For komplekse overflader afhænger ovenstående invarianter, defineret i form af Hodge-tal, kun af den underliggende orienterede topologiske manifold.

Andre invarianter

Der er andre invarianter af kompakte komplekse overflader, der ikke bruges så aktivt i klassificeringen. Dette inkluderer algebraiske invarianter såsom Picard-gruppen Pic( X ), dens faktor er Néron-Severi-gruppen NS( X ) med rang (Picard-tal) ρ, topologiske invarianter såsom den fundamentale gruppe , og heltalshomologi- og kohomologigrupper og invarianter af underliggende glatte firedimensionelle manifolder såsom Seiberg-Witten-invarianter og Donaldson-invarianter . $\pi_{1}$

Minimal modeller og blowup

Enhver overflade er birationelt ækvivalent med en ikke-singular overflade, så i de fleste tilfælde er det tilstrækkeligt at klassificere ikke-singulære overflader.

Givet et hvilket som helst punkt på overfladen, kan vi danne en ny overflade ved at sprænge det punkt, hvilket groft sagt betyder, at vi erstatter punktet med en projektiv linje. I denne artikel vil en ikke-singular overflade X blive kaldt minimal , hvis den ikke kan opnås fra en anden ikke-singular overflade ved at sprænge et punkt. Ved Castelnuovos kontraktionssætning svarer dette til den egenskab, at X ikke indeholder (−1)-kurver (glatte rationelle kurver med selvskæringsindeks −1). (I den mere moderne terminologi af minimalmodelprogrammet siges en glat projektiv overflade X at være minimal , hvis dens kanoniske linjebundt K X er et nef bundle . En glat projektiv overflade har en minimal model i denne strengere forstand, hvis og kun hvis dens Kodaira-dimension er ikke-negativ.)

Enhver overflade X er birationelt ækvivalent med en minimal ikke-singular overflade, og denne minimale overflade er unik, hvis Kodaira-dimensionen af X er mindst 0, eller overfladen ikke er algebraisk. Algebraiske overflader med Kodaira-dimension kan birationelt svare til mere end én minimal ikke-singular overflade, men det er let at beskrive forholdet mellem disse minimale overflader. For eksempel er en overflade sprængt i et punkt isomorf til to gange sprængt. Så for at klassificere alle kompakte komplekse overflader op til birational isomorfisme (mere eller mindre), er det tilstrækkeligt at klassificere minimale ikke-singulære overflader. $-\infty$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2))$

Overflader af Kodaira-dimension −∞

Algebraiske overflader af Kodaira-dimension kan klassificeres som følger. Hvis q > 0, så er fibrene i kortlægningen til en albansk sort projektive linjer (hvis overfladen er minimal), så overfladen er regeret. Hvis q = 0, mislykkes dette argument, da den albanske sort er et punkt, i hvilket tilfælde Castelnuovos sætning antyder, at overfladen er rationel. $-\infty$

For ikke-algebraiske overflader har Kodaira fundet en ekstra klasse af overflader kaldet type VII, som stadig ikke er godt forstået.

Rationelle overflader

En rationel overflade er en overflade, der birationelt er ækvivalent med det komplekse projektive plan P 2 . Alle er algebraiske. De minimale rationelle overflader er selve P 2 overfladerne og Hirzebruch overfladerne for n = 0 eller . (En Hirzebruch-overflade er et -bundt over , forbundet med hylstret O(0)+O(n). Overfladen er isomorf til , men er isomorf til opblæsningen af P 2 i et punkt, så den er ikke minimal .) $\Sigma _{n}$ $n \geqslant 2$ $\Sigma _{n}$ $\mathbf {P} ^{1}$ $\mathbf {P} ^{1}$ ${\displaystyle \Sigma _{0))$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$ $\Sigma_1$

Invarianter: Pluriroder er alle lig med 0, den fundamentale gruppe er triviel.

Rhombus Hodge:

		en
	0		0
0		en		0	(projektivt plan)
	0		0
		en

		en
	0		0
0		2		0	(Hirzebruch overflade)
	0		0
		en

Eksempler: P 2 , P 1 × P 1 = Σ 0 , Hirzebruch overflader Σ n , quadrics , kubiske overflader , del Pezzo overflader , Veronese overflade . Mange af disse eksempler er ikke minimale.

Styrede overflader af slægten > 0

Regnede overflader af slægt g har en glat morfisme til en kurve af slægt g , hvis fibre er linjerne P 1 . Alle disse overflader er algebraiske. (Overflader af slægt 0 er Hirzebruch-overflader, og de er rationelle). Enhver regeret overflade er birationelt ækvivalent for en enkelt kurve C , så klassificeringen af regerede overflader, op til birational ækvivalens, er i det væsentlige den samme som klassificeringen af kurver. En styret overflade, der ikke er isomorf, har en enkelt generator ( har to). $\mathbf {P} ^{1}\ gange C$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$

Invarianter: Alle plurirods er 0.

Rhombus Hodge:

		en
	g		g
0		2		0
	g		g
		en

Eksempler: Produktet af en hvilken som helst kurve af slægt > 0 med P 1 .

Klasse VII overflader

Disse overflader er aldrig algebraiske eller Kähler . Minimal overflader med b 2 =0 er klassificeret af Bogomolov og er enten Hopf overflader eller Inouye overflader . Eksempler med et positivt andet Betti-tal er Inoue-Hirzebruch-overflader , Enoki-overflader og mere generelt Kato-overflader . Det følger af den globale sfæriske skalformodning , at alle minimale overflader af klasse VII med et positivt andet Betti-tal er Kato-overflader.

Invarianter: q =1, h 1,0 = 0. Alle plugener er lig med 0.

Rhombus Hodge:

		en
	0		en
0		b 2		0
	en		0
		en

Overflader af Kodaira dimension 0

Disse overflader er klassificeret efter Noethers formel . For Kodaira-dimensionen 0 har K et nul selvskæringsindeks , så . Ved at bruge udtrykkene og , får vi ${\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1}^{2))$ $c_{1}^{2}=0$ $\chi =h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}$ ${\displaystyle c_{2}=2-2b_{1}+b_{2))$

10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\venstre(2h^{0,1}-b_{1}+b_{2}\right)

Desuden, da vi har $\kappa =0$

h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&K\neq 0\end{cases}}

Ved at kombinere det sidste udtryk med det forrige får vi

8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}+b_{2}\right)={\begin{cases}10&K=0\\22&K\neq 0\end{cases}}

Generelt er de tre led til venstre ikke-negative heltal, så der er kun få løsninger til denne ligning. For algebraiske overflader er et lige heltal mellem 0 og 2 pg , mens værdien for kompakte komplekse overflader er 0 eller 1 og er 0 for Kähler -overflader . Til Kähler overflader har vi . ${\displaystyle 2h^{0,1}\geqslant b_{1))$ ${\displaystyle 2h^{0,1}-b_{1))$ $h^{1,0}=h^{0,1}$

De fleste af løsningerne på disse forhold svarer til overfladeklasserne fra nedenstående tabel.

b 2	b 1	h 0,1	pg = h 0,2 _	h 1,0	h 1.1	overflader	felter
22	0	0	en	0	tyve	K3	Nogen. Altid Kählerian over komplekse tal, men ikke nødvendigvis algebraisk.
ti	0	0	0	0	ti	Klassisk Enriques overflade	Nogen. Altid algebraisk.
ti	0	en	en			Ikke-klassisk Enriques overflade	Kun funktioner 2
6	fire	2	en	2	fire	Abelske overflader, tori	Nogen. Altid Kählerian over komplekse tal, men ikke nødvendigvis algebraisk.
2	2	en	0	en	2	hyperelliptisk	Nogen. Altid algebraisk
2	2	2	en			Kvasihyperbolisk	Kun karakteristika 2, 3
fire	3	2	en	en	2	Hovedoverfladen af Kodaira	Kun kompleks, aldrig Kähler
0	en	en	0	0	0	Sekundær overflade af Kodaira	Kun kompleks, aldrig Kähler

Overflader K3

Disse overflader er minimalt kompakte komplekse overflader af Kodaira dimension 0 med q = 0 og et trivielt kanonisk linjebundt. De er alle Kahlerian . Alle K3-overflader er diffeomorfe, og deres diffeomorfi-klasse er et vigtigt eksempel på en enkelt forbundet glat 4-manifold med en spinstruktur.

Invarianter: Den anden kohomologigruppe H 2 ( X , Z ) er isomorf i forhold til det eneste lige unimodulære gitter II 3,19 af dimension 22 med signatur -16.

Rhombus Hodge:

		en
	0		0
en		tyve		en
	0		0
		en

Eksempler :

Kvartik i P 3 ( C )
Kummer overflader . De opnås ved at faktorisere en abelsk overflade ved en automorfi a → − a , og derefter sprænge 16 entalspunkter i luften.

En K3-mærket overflade er en K3-overflade sammen med en automorfi fra II 3,19 til H 2 ( X , Z ). Modulrummet af K3-mærkede overflader er et forbundet ikke-Hausdorff glat analytisk rum med dimension 20. Algebraiske K3-overflader danner et tælleligt sæt af 19-dimensionelle undermanifolder af dette rum.

Abelske overflader og todimensionelle komplekse tori

Todimensionelle komplekse tori omfatter Abelske overflader . Endimensionelle komplekse tori er blot elliptiske kurver, og de er alle algebraiske, men Riemann opdagede, at de fleste komplekse tori af dimension 2 ikke er algebraiske. Algebraiske tori er nøjagtigt todimensionelle Abelske sorter . Det meste af deres teori er et specialtilfælde af teorien om højere dimensionelle tori eller abelske varianter. Kriteriet om, at en manifold er produktet af to elliptiske kurver (op til en isogeni ) var et populært emne for undersøgelse i det nittende århundrede.

Invarianter: Alle plugener er lig med 1. Overfladen er diffeomorf , så Z 4 er den fundamentale gruppe . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times S^{1}\times S^{1))$

Rhombus Hodge:

		en
	2		2
en		fire		en
	2		2
		en

Eksempler: Produktet af to elliptiske kurver. Enhver faktor C 2 over gitteret.

Overflader af Kodaira

Overflader er aldrig algebraiske, selvom de har ikke-konstante meromorfe funktioner. De er normalt opdelt i to undertyper: grundlæggende Kodaira-overflader med et trivielt kanonisk bundt og sekundære Kodaira-overflader , som er faktorer af førstnævnte med hensyn til endelige grupper af orden 2, 3, 4 eller 6 og har ikke-trivielle kanoniske bundter . Sekundære Kodaira overflader har samme relation til primære overflader, som Enriques overflader har til K3 overflader, eller bielliptiske overflader har til Abelske overflader.

Invarianter: Hvis overfladen er en kvotient af Kodaira-hovedoverfladen i en gruppe af orden k =1,2,3,4,6, så er plurigenerne P n lig med 1, hvis n er delelig med k og 0 ellers.

Rhombus Hodge:

		en
	en		2
en		2		en	(hoved)
	2		en
		en

		en
	0		en
0		0		0	(Sekundær)
	en		0
		en

Eksempler: Tag et ikke-trivielt linjebundt over en elliptisk kurve, fjern nulsektionen, find derefter lagfaktoren fra gruppen Z , der fungerer som en multiplikation med potenser af et komplekst tal z . Som et resultat får vi hovedoverfladen af Kodaira.

Enriques overflader

Disse er komplekse overflader, for hvilke q = 0 og det kanoniske linjebundt er ikke-trivielt, men . Enriques overflader er alle algebraiske (og derfor Kähler ). De er faktorer af overfladen K3 efter grupper af orden 2, og deres teori ligner teorien om algebraiske K3 overflader. $P_{2}\neq 0$

Invarianter: Pluriroderne P n er 1, hvis n er lige og 0, hvis n er ulige. Grundgruppen har orden 2. Den anden kohomologigruppe H 2 ( X , Z ) er isomorf med summen af det eneste lige unimodulære gitter II 1,9 af dimension 10 med signatur −8 og gruppen af orden 2.

Rhombus Hodge:

		en
	0		0
0		ti		0
	0		0
		en

Mærkede Enriques overflader danner en sammenhængende 10-dimensionel familie, som er beskrevet eksplicit.

For karakteristika 2 er der nogle ekstra familier af Enriques overflader, som kaldes singular og supersingular Enriques overflader. Se artiklen "Enriques overflader" for detaljer .

Hyperelliptiske (eller bielliptiske) overflader

Over feltet af komplekse tal er disse overflader faktorer af produktet af to elliptiske kurver med hensyn til en endelig automorfigruppe. Den endelige gruppe kan være Z /2 Z , Z /2 Z + Z /2 Z , Z /3 Z , Z /3 Z + Z /3 Z , Z /4 Z , Z /4 Z + Z /2 Z eller Z /6 Z , hvilket giver 7 familier af sådanne overflader. Over felterne for karakteristik 2 eller 3 er der flere yderligere familier opnået som faktorer i henhold til ikke-eta-gruppeskemaer. Se artiklen om hyperelliptiske overflader for detaljer .

Rhombus Hodge:

		en
	en		en
0		2		0
	en		en
		en

Overflader af Kodaira dimension 1

En elliptisk overflade er en overflade udstyret med et elliptisk bundt (en surjektiv holomorf kortlægning i en kurve B , således at alle undtagen et begrænset antal lag er glatte irreducerbare kurver af slægt 1). Fiberen over et generisk punkt i et sådant bundt er en kurve af slægt 1 over et funktionsfeltpå B. Omvendt, givet en kurve af slægt 1 over et felt af funktioner på kurven, er dens relative minimale model en elliptisk overflade. Kodaira og andre har givet en ret fuldstændig beskrivelse af alle elliptiske overflader. Især gav Kodaira en komplet liste over mulige speciallag . Teorien om elliptiske overflader er analog med teorien om egenregulære modeller af elliptiske kurver over diskrete værdiansættelsesringe (det vil sige ringen af p - adiske heltal ) og Dedekind-domæner (det vil sige ringen af heltal i et talfelt).

For endelige karakteristika 2 og 3 kan man opnå kvasi -elliptiske overflader, hvis næsten alle fibre kan være rationelle kurver med én knude, "degenererede elliptiske kurver".

Enhver overflade med Kodaira-dimension 1 er elliptisk (eller kvasi-elliptisk i tilfælde af karakteristika 2 og 3), men det modsatte er ikke sandt - en elliptisk overflade kan have Kodaira-dimensioner 0 eller 1. $-\infty$

Alle Enriques overflader , alle hyperelliptiske overflader , alle Kodaira overflader , nogle K3 overflader , nogle Abeliske overflader og nogle rationelle overflader er elliptiske, i disse eksempler har de Kodaira dimension mindre end 1.

En elliptisk overflade, hvis basiskurve B har slægt mindst 2, har altid Kodaira-dimensionen 1, men Kodaira-dimensionen kan også være 1 for nogle elliptiske overflader med kurve B af slægten 0 eller 1.

Invarianter :. $c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0$

Eksempel: Hvis E er en elliptisk kurve, og B er en kurve af slægt på mindst 2, så er det også en elliptisk overflade med Kodaira dimension 1. $E\times B$

Overflader af Kodaira dimension 2 (overflader af generel type)

De er alle algebraiske, og på en eller anden måde er de fleste overflader i denne klasse. Gieseker viste, at der er et groft moduli-skema for overflader af generel type. Dette betyder, at der for alle faste værdier af Chern-tallene eksisterer et kvasi-projektivt skema, der klassificerer overflader af generel type med disse Chern-numre . Opgaven med eksplicit at beskrive disse kredsløb er meget vanskelig, og der er meget få par Chern-numre, som dette er blevet gjort for (undtagen når kredsløbet er tomt). ${\displaystyle c_{1}^{2))$ $c_{2}$

Invarianter: Der er nogle betingelser, som Chern-tallene på en minimal kompleks overflade af generel type skal opfylde:

$c_{1}^{2}>0,c_{2}>0$
$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$ ( Bogomolov-Miaoki-Yau ulighed )
$5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0$ (Noethers ulighed)
${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2))$ er deleligt med 12.

De fleste par af heltal, der opfylder disse betingelser, er Chern-tal for en kompleks overflade af generel type.

Eksempler: De enkleste eksempler er produktet af to kurver af slægt på mindst 2 og en hyperoverflade med grad på mindst 5 i P 3 . Et stort antal andre strukturer er kendt. Der kendes dog ingen konstruktion, der giver en "typisk" overflade af generel type for store Chern-tal. Faktisk vides det ikke engang, om der er en acceptabel opfattelse af en "typisk" overflade af en generel type. Mange andre eksempler er blevet fundet, herunder de fleste modulære Hilbert-overflader , falske projektive planer , Barlow-overflader og så videre.

Litteratur

Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Kompakte komplekse overflader. - Springer-Verlag, Berlin, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Arnaud Beauville . Komplekse algebraiske overflader. — 2. - Cambridge University Press , 1996. - V. 34. - (London Mathematical Society Student Texts). - ISBN 978-0-521-49510-3 .
Enrico Bombieri , David Mumford . Enriques klassificering af overflader i char. s. II // Kompleks analyse og algebraisk geometri. - Tokyo: Iwanami Shoten, 1977. - S. 23-42.
Enrico Bombieri , David Mumford . Enriques klassificering af overflader i char. s. III. // Inventiones Mathematicae . - 1976. - T. 35 . — S. 197–232 . - doi : 10.1007/BF01390138 .
Enriques F. Sulla classificazione delle superficie algebriche e particolarmente sulle superficie di genere p 1 =1 // Atti. iflg. Lincei V Ser.. - 1914. - T. 23 .
Federigo Enriques. Le Superficie Algebriche. - Nicola Zanichelli, Bologna, 1949.
Kunihiko Kodaira. Om strukturen af kompakte komplekse analytiske overflader. I // American Journal of Mathematics . - 1964. - T. 86 . — S. 751–798 . - doi : 10.2307/2373157 . — .
Kunihiko Kodaira. Om strukturen af kompakte komplekse analytiske overflader. II // American Journal of Mathematics . - 1966. - T. 88 . — S. 682–721 . - doi : 10.2307/2373150 . — .
Kunihiko Kodaira. Om strukturen af kompakte komplekse analytiske overflader. III // American Journal of Mathematics . - 1968. - T. 90 . — s. 55–83 . - doi : 10.2307/2373426 . — .
Kunihiko Kodaira. Om strukturen af komplekse analytiske overflader. IV // American Journal of Mathematics . - 1968. - T. 90 . — S. 1048–1066 . - doi : 10.2307/2373289 . — .
David Mumford . Enriques' klassificering af overflader i char p I // Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira). Tokyo: Univ. Tokyo Press, 1969, s. 325–339.
Miles Reid . Kapitler om algebraiske overflader // Kompleks algebraisk geometri (Park City, UT, 1993). - Providence, RI: American Mathematical Society , 1997. - V. 3. - S. 3-159. — (IAS/Park City Math. Ser.).
Shafarevich IR, Averbuh BG, Vaĭnberg Ju. R., Zhizhchenko AB, Manin Ju. I., Moĭ\vsezon BG, Tjurina GN, Tjurin AN Algebraiske overflader. — Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - Providence, RI: American Mathematical Society , 1967. - V. 75. - S. 1-215. — ISBN 978-0-8218-1875-6 .
Shafarevich I. R., Averbukh B. G., Weinberg Yu. R., Zhizhchenko A. B., Manin Yu. I., Moishezon B. G., Tyurina G. N., Tyurin A. N. Algebraiske overflader. - 1965. - T. 75. - S. 3-215. - (Tr. MIAN USSR).
Antonius Van de Ven. Om Enriques klassifikation af algebraiske overflader // Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77) . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1978. - T. 677. - S. 237-251. — (Forelæsningsnotater i Math.).