Lorentz transformationer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. oktober 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Lorentz - transformationer er lineære (eller affine) transformationer af et vektor (henholdsvis affint) pseudo-euklidisk rum , der bevarer længder eller tilsvarende skalarproduktet af vektorer.

Lorentz-transformationer af det pseudo-euklidiske signaturrum er meget brugt i fysik, især i den specielle relativitetsteori (SRT) , hvor det firedimensionelle rum-tidskontinuum ( Minkowski-rum ) fungerer som et affint pseudo-euklidisk rum . $(n-1,\;1)$

Lorentz transformationer i matematik

Lorentz-transformationen er en naturlig generalisering af begrebet en ortogonal transformation (det vil sige en transformation, der bevarer skalarproduktet af vektorer) fra euklidiske til pseudo- euklidiske rum. Forskellen mellem dem er, at skalarproduktet antages ikke at være positivt bestemt, men fortegnsvekslende og ikke-degenereret (det såkaldte ubestemte skalarprodukt).

Definition

Lorentz-transformationen ( Lorentz-transformation ) af et pseudo-euklidisk vektorrum er en lineær transformation , der bevarer det ubestemte skalarprodukt af vektorer. Dette betyder, at for to vektorer er ligheden $L$ $A\kolon L\til L$ $x,\;y\i L$

\langle A(x),\;A(y)\rangle =\langle x,\;y\rangle ,

hvor trekantede parenteser angiver det ubestemte skalarprodukt i pseudo-euklidisk rum . $\langle x,\;y\rangle$ $L$

På samme måde er Lorentz-transformationen ( Lorentz-transformation ) af et pseudo-euklidisk affint rum en affin transformation , der bevarer afstanden mellem punkter i dette rum (denne afstand er defineret som længden af vektoren, der forbinder de givne punkter ved hjælp af et ubestemt punktprodukt) .

Generelle egenskaber

Da enhver affin transformation er en sammensætning af en parallel translation (som åbenbart bevarer afstanden mellem punkter) og en transformation, der har et fast punkt, er Lorentz transformationsgruppen af et affint rum ( Poincaré group ) opnået fra Lorentz transformationsgruppen af en vektorrum ( Lorentz gruppe ) af samme dimension ved at tilføje alle mulige parallelle overførsler til det.
Hvis der vælges et eller andet grundlag i et pseudo-euklidisk vektorrum , så er Gram-matricen defineret for det ubestemte skalarprodukt . Så opfylder Lorentz-transformationsmatrixen relationen $L$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $\langle x,\;y\rangle$ $G$ $EN$

A^{T}\,G\,A=G,\qquad (*)

Omvendt er enhver matrix , der opfylder relationen , en Lorentz-transformationsmatrix. Det er altid muligt at vælge et grundlag på en sådan måde, at det ubestemte skalarprodukt har formen $EN$ $(*)$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}-x_{{k+1}}y_{{k+1}}-\ldots -x_{n}y_{n},

og i lighed er matrixen diagonal med elementer (første ) og (sidste ). $(*)$ $G$ $en$ $k$ $-en$ $nk$

Det følger af relationen , at som ved en ortogonal transformation, determinanten eller . $(*)$ $|A|=+1$ $|A|=-1$
Hvis et underrum er invariant under Lorentz-transformationen , så er dets ortogonale (i betydningen af det givne ubestemte skalarprodukt) komplement også invariant under transformationen , og . Men i modsætning til de ortogonale transformationer af euklidiske rum, gælder ligheden , hvor symbolet betyder den direkte sum af underrum, generelt set, ikke (begge underrum og kan indeholde de samme isotropiske vektorer , der ikke er nul , dvs. da enhver isotrop vektor er ortogonal i forhold til sig selv ) [1] . $L_{1}\delsæt L$ $A\kolon L\til L$ $L_{1}^{\perp }$ $EN$ $\dim L_{1}+\dim L_{1}^{\perp }=\dim L$ $L_{1}\oplus L_{1}^{\perp }=L$ $\plus$ $L_{1}$ $L_{1}^{\perp }$ $L_{1}\cap L_{1}^{\perp }\neq 0$

Egenskaber i signaturrum (n-1, 1)

Det følger af lighed , at Lorentz-transformationen oversætter lyskeglen til sig selv, og også oversætter dens udseende til sig selv (i SRT - regionen med absolut fjerntliggende ). Men i dette tilfælde kan de to komponenter af lyskeglen, adskilt af dens toppunkt (i SRT begrænser de fremtidens kegle og fortidens kegle ), enten passere ind i sig selv eller skifte plads med hinanden. $\langle A(x),\;A(x)\rangle =\langle x,\;x\rangle$
Baseret på om en given Lorentz-transformation omarrangerer dele af lyskeglen, eller efterlader dem på plads, samt fortegnet for determinanten , kan Lorentz-gruppen opdeles i 4 dele, som er dens vejforbundne komponenter (men kun én af dem er en undergruppe). Dette faktum (tilstedeværelsen af fire forbundne komponenter) tolkes ofte som tilstedeværelsen af fire orienteringer af det pseudo-euklidiske rum (i modsætning til det euklidiske rum, hvor der kun er to orienteringer) [1] . $EN$ $|A|=\pm 1$

Eksplicit form for transformationer af det pseudo-euklidiske plan

Lorentz-transformationer af det pseudo-euklidiske plan kan skrives i den enkleste form ved hjælp af en basis bestående af to isotrope vektorer : $for eksempel$

\langle e,\;e\rangle =0,\quad \langle g,\;g\rangle =0,\quad \langle e,\;g\rangle =1/2.

Nemlig, afhængigt af determinantens fortegn , har transformationsmatricen på dette grundlag formen: $|A|=\pm 1$

A={\begin{pmatrix}a&\ \ \,0\\0&\,1/a\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=+1,\qquad A={\begin{pmatrix}0& \ a\\1/a&\,0\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=-1,\qquad a\neq 0.

Tallets fortegn bestemmer, om transformationen efterlader dele af lyskeglen på plads eller ombytter dem . $-en$ $EN$ $(a>0)$ $(a<0)$

En anden hyppigt forekommende form for Lorentz-transformationsmatricerne i det pseudo-euklidiske plan opnås ved at vælge en basis bestående af vektorerne og : $e'=e+g$ $g'=eg$

\langle e',\;e'\rangle =+1,\quad \langle g',\;g'\rangle =-1,\quad \langle e',\;g'\rangle =0.

I grundlaget har transformationsmatricen en af fire former: $e',\;g'$ $EN$

{\begin{pmatrix}\ \operatørnavn {ch}\varphi &\ \ \operatornavn {sh}\varphi \\\,\operatørnavn {sh}\varphi &\ \operatørnavn {ch}\varphi \end{pmatrix}} ,\quad {\begin{pmatrix}\ -\operatørnavn {ch}\varphi &\,\ -\operatørnavn {sh}\varphi \\\,-\operatørnavn {sh}\varphi &\,-\operatørnavn {ch }\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-\operatørnavn {ch}\varphi &\,-\operatørnavn {sh}\varphi \\\,\operatørnavn {sh}\varphi &\ \operatørnavn {ch}\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \operatørnavn {ch}\varphi &\ \,\operatørnavn {sh}\varphi \\\,-\operatørnavn {sh }\varphi &\,-\operatørnavn {ch}\varphi \end{pmatrix}},\qquad (0)

hvor og er den hyperbolske sinus og cosinus, og er hastigheden . $\operatørnavn {sh}$ $\operatørnavn {ch}$ $\varphi$

Eksplicit form for signaturrumstransformationer (n-1, 1)

Lorentz-transformationer af -dimensionelt pseudo-euklidisk rum med skalært produkt $n$ $L$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{{n-1}}y_{{n-1}}-x_{n}y_{n}\quad ( en)

beskrives med følgende sætning.

Sætning 1. For enhver Lorentz-transformation er der invariante underrum og sådan, at begrænsningen af skalarproduktet (1) til hver af dem er ikke-degenereret, og der er en ortogonal dekomponering $A\kolon L\til L$ $L_{0}\delsæt L$ $L_{1}\delsæt L$

L=L_{0}\oplus L_{1},\quad L_{0}\perp L_{1},

hvor underrummet med skalært produkt (1) er euklidisk og . [en] $L_0$ $\dim L_{1}\leqslant 3$

Sætning 1 siger, at enhver lorentzisk transformation af et pseudo-euklidisk signaturrum er givet ved en lorentzisk transformation af et pseudo-euklidisk rum af dimension 1 eller 2 eller 3 og en ortogonal transformation af et ekstradimensionelt euklidisk rum. $L$ $(n-1,\;1)$ $L_{1}\delsæt L$ $L_{0}\delsæt L$

Lemma. Hvis , så kan det invariante pseudo-euklidiske underrum , til gengæld repræsenteres som en direkte sum $\dim L_{1}=3$ $L_{1}$

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}\oplus M_{3}

eller

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}

underrum , som er parvis ortogonale og invariante under transformationen , bortset fra et enkelt tilfælde, hvor transformationen har en unik egenværdi på multiplicitet 3, og den eneste egenvektor er isotrop: . I dette unikke tilfælde nedbrydes det invariante underrum ikke til en direkte sum af nogen underrum, der er invariante under transformationen , men er et tredimensionelt rodunderrum af denne transformation [1] . $M_{i}\delsæt L_{1}$ $EN$ $A\kolon L_{1}\til L_{1}$ $\lambda=\pm1$ $e\in L_{1}$ $\langle e,\;e\rangle =0$ $L_{1}$ $A\kolon L_{1}\til L_{1}$

Sætning 1 sammen med lemmaet giver os mulighed for at etablere følgende resultat:

Sætning 2. For enhver Lorentz-transformation er der sådan en ortonormal (med hensyn til det ubestemte skalarprodukt (1)) grundlag : $A\kolon L\til L$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle e_{1},\;e_{1}\rangle =\ldots =\langle e_{{n-1}},\;e_{{n-1}}\rangle =+1,\quad \langle e_{n},\;e_{n}\rangle =-1,\quad \langle e_{i},\;e_{j}\rangle =0\;(\forall i\neq j),

hvor matricen har en blokdiagonal form med blokke af følgende typer: $EN$

ordre 1 med element , $\pm 1$
orden 2 er rotationsmatrixen for det euklidiske plan gennem vinklen , $\varphi$
orden 2 er Lorentz-transformationsmatrixen af det pseudo-euklidiske plan af formen , $(0)$
af orden 3 er Lorentz-transformationsmatrixen af et tredimensionelt pseudo-euklidisk rum med en tredobbelt egenværdi og en enkelt isotrop egenvektor. $\lambda=\pm1$

I dette tilfælde kan matrixen ikke indeholde mere end én blok, der tilhører de sidste to typer [1] . $EN$

Derudover gælder følgende repræsentation af Lorentz-transformationer af -dimensionelt pseudo-euklidisk rum med indre produkt . $n$ $L$ $(en)$

Sætning 3. Enhver Lorentz-transformation af et rum med et indre produkt kan repræsenteres som en sammensætning af følgende lineære transformationer: $A\kolon L\til L$ $L$ $(en)$

ortogonal transformation af det euklidiske underrum givet af ligningen , med koordinater , $x_{n}=0$ $(x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}})$
Lorentz transformation af det pseudo-euklidiske plan med koordinater med nogle , $(x_{i},\;x_{n})$ $i<n$
refleksioner af formen , [2] . $x_{i}\mapsto \pm x_{i}$ $i\i \{1,\;\ldots ,\;n\}$

Lorentz transformationer i fysik

Lorentz-transformationer i fysik, især i den særlige relativitetsteori (SRT) , er de transformationer, som rum-tid-koordinaterne for hver begivenhed gennemgår, når de bevæger sig fra en inerti-referenceramme (ISR) til en anden. På samme måde udsættes koordinaterne for enhver 4-vektor for Lorentz-transformationer i en sådan overgang . $(x,\;y,\;z,\;t)$

For klart at skelne Lorentz-transformationer med forskydninger af oprindelsen og uden forskydninger, når det er nødvendigt, taler man om inhomogene og homogene Lorentz-transformationer.

Lorentz-transformationer af et vektorrum (det vil sige uden forskydninger af oprindelsen) danner Lorentz-gruppen , og Lorentz-transformationer af et affint rum (det vil sige med forskydninger ) danner Poincaré-gruppen , ellers kaldet den inhomogene Lorentz-gruppe .

Fra et matematisk synspunkt er Lorentz-transformationer transformationer, der bevarer Minkowski-metrikken uændret , det vil sige, at sidstnævnte især bevarer sin enkleste form, når den bevæger sig fra en inerti-referenceramme til en anden (med andre ord, Lorentz-transformationer er en analog for Minkowski-metrikken for ortogonale transformationer, som udfører overgangen fra en ortonormal basis til en anden, det vil sige en analog af rotationen af koordinatakserne for rum-tid). I matematik eller teoretisk fysik kan Lorentz-transformationer gælde for enhver rumdimension.

Det er Lorentz-transformationerne, som i modsætning til de galilæiske transformationer blander rumlige koordinater og tid, historisk blev grundlaget for dannelsen af begrebet en enkelt rum-tid .

Det skal bemærkes, at ikke kun fundamentale ligninger er Lorentz-kovariante (såsom Maxwell-ligningerne, der beskriver det elektromagnetiske felt, Dirac-ligningen, der beskriver elektronen og andre fermioner), men også sådanne makroskopiske ligninger som bølgeligningen, der beskriver (ca.) lyd, strengvibrationer og membraner og nogle andre (kun da, i formlerne for Lorentz-transformationerne, skal der ikke menes lysets hastighed, men en anden konstant - for eksempel lydens hastighed). Derfor kan Lorentz-transformationerne også bruges frugtbart i forbindelse med sådanne ligninger (dog i ret formel forstand, som dog ikke adskiller sig meget - inden for sine egne rammer - fra deres anvendelse i fundamental fysik). $c$

Type af transformationer for kollineære (parallelle) rumlige akser

Hvis IFR bevæger sig i forhold til IFR med en konstant hastighed langs aksen , og oprindelsen af rumlige koordinater falder sammen på det indledende tidspunkt i begge systemer, så har Lorentz-transformationerne (lige linjer) formen: $K'$ $K$ $v$ $x$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

y'=y,\

z'=z,\

t'={\frac {t-(v/c^{2})x}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))},

hvor er lysets hastighed , værdier med primtal måles i systemet , uden primtal-in . $c$ $K'$ $K$

Denne form for transformation (det vil sige når man vælger collineære akser), nogle gange kaldet boost ( engelsk boost ) eller Lorentz boost (især i engelsksproget litteratur), omfatter trods sin enkelhed i virkeligheden alt det specifikke fysiske indhold i Lorentz'en. transformationer, da rumlige akser altid kan vælges på denne måde, og at tilføje rumlige rotationer, hvis det ønskes, er ikke svært (se dette eksplicit udvidet nedenfor), selvom det gør formlerne mere besværlige.

Formler, der udtrykker den omvendte transformation, dvs. udtrykker gennem , kan opnås simpelthen ved at erstatte med (den absolutte værdi af den relative bevægelseshastighed for referencerammer er den samme, når den måles i begge referencerammer, derfor, hvis det ønskes, det kan forsynes med et slag, kun på samme tid er det nødvendigt omhyggeligt at overvåge, at tegnet og definitionen svarede til hinanden) og den gensidige udskiftning af "skraveret" og "ukraveret". Eller løsning af ligningssystemet (1) med hensyn til . $x',\;y',\;z',\;t'$ $x,\;y,\;z,\;t$ $v$ $-v$ $|v|$ $v$ $x$ $t$ $x',\;y',\;z',\;t'$
Man skal huske på, at Lorentz-transformationer i litteraturen ofte er skrevet for enkelheds skyld i enhedssystemet, hvor . $c=1$
Det kan ses, at under Lorentz-transformationer er begivenheder, der er samtidige i én referenceramme, ikke samtidige i en anden (relativitet af simultanitet). Derudover har et bevægeligt legeme en reduceret langsgående størrelse i forhold til, hvad det har i sin medfølgende referenceramme ( Lorentz contraction ), og et bevægeligt ur bremses, hvis det observeres fra en "stationær" referenceramme ( relativistisk tidsudvidelse ).

Output af transformationer

Lorentz-transformationer kan opnås abstrakt ud fra gruppebetragtninger (i dette tilfælde opnås de med indefinite ), som en generalisering af galilæiske transformationer (som blev udført af Henri Poincaré - se nedenfor ). Men for første gang blev de opnået som transformationer, med hensyn til hvilke Maxwells ligninger er kovariante (det vil sige, at de faktisk ikke ændrer formen for elektrodynamikkens og optikkens love, når de skifter til en anden referenceramme). De kan også opnås ud fra antagelsen om linearitet af transformationer og postulatet af den samme lyshastighed i alle referencerammer (som er en forenklet formulering af kravet om kovarians af elektrodynamik med hensyn til de ønskede transformationer og forlængelsen af princippet om lighed af inertiale referencerammer - relativitetsprincippet - til elektrodynamik ), som det gøres i den særlige relativitetsteori (SRT) (samtidig viser det sig i Lorentz-transformationerne at være bestemt og falder sammen med lysets hastighed ). $c$ $c$

Det skal bemærkes, at hvis klassen af koordinattransformationer ikke er begrænset til lineære, så er Newtons første lov gyldig ikke kun for Lorentz-transformationer, men for en bredere klasse af fraktioneret-lineære transformationer [3] (men denne bredere klasse af transformationer er naturligvis bortset fra det specielle tilfælde Lorentz-transformationer - holder ikke den metriske konstant).

Forskellige former for notation af transformationer

Type af transformationer til vilkårlig orientering af akserne

På grund af vilkårligheden ved indførelsen af koordinatakser kan mange problemer reduceres til ovenstående tilfælde. Hvis problemet kræver et andet arrangement af akserne, kan du bruge transformationsformlerne i et mere generelt tilfælde. Til dette, radius vektoren af punktet

{\mathbf {r}}'={\mathbf {i}}x'+{\mathbf {j}}y'+{\mathbf {k}}z',

hvor er orterne , er det nødvendigt at opdele det i en komponent parallelt med hastigheden og en komponent vinkelret på den: ${\mathbf {i)],\;{\mathbf {j)],\;{\mathbf {k))$ ${\mathbf {r))'_{\|}$ ${\mathbf {r))'_{\perp }$

{\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {r}}'_{\perp }.

Så vil transformationerne tage form

{\mathbf {r}}_{\|}={\frac {{\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {v}}t'}{{\sqrt {1-v^ {2}/c^{2}}}}),\quad {\mathbf {r}}_{\perp }={\mathbf {r}}'_{\perp },\quad t={\frac {t'+(v/c^{2})r_{\|}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}},

hvor er den absolutte værdi af hastigheden, er den absolutte værdi af den langsgående komponent af radiusvektoren. $v=\left|{\mathbf {v}}\right|$ $r_{\|}=\venstre|{\mathbf {r}}_{\|}\right|$

Disse formler for tilfældet med parallelle akser, men med en vilkårligt rettet hastighed, kan konverteres til den form, der først blev opnået af Herglotz :

\mathbf {r} ={\frac {\mathbf {r} '+\mathbf {v} t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))+{ \frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)(\mathbf {r} '\times \mathbf {v} )\times \mathbf {v} ;

t={\frac {t'+\mathbf {r'v} /c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},

hvor er krydsproduktet af tredimensionelle vektorer. Bemærk venligst, at det mest generelle tilfælde, hvor oprindelsen ikke er sammenfaldende på tidspunktet nul, ikke er angivet her for at spare plads. Det kan opnås ved at tilføje translation (forskydning af oprindelsen) til Lorentz-transformationerne. $\ gange$

Lorentz-transformationer i matrixform

For tilfældet med collineære akser skrives Lorentz-transformationerne som

{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {v}{c)) \gamma &0&0\\-{\dfrac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\ \z\end{bmatrix}},

hvor er Lorentz-faktoren $\gamma \equiv {\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.$

Med vilkårlig orientering af akserne, i form af 4-vektorer, skrives denne transformation som:

{\begin{bmatrix}ct'\\{\vec {r}}\,'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {\vec {v}} {c}}\gamma \\-{\dfrac {\vec {v}}{c}}\gamma &I+{\dfrac ({\vec {v}}\nogle gange {\vec {v}}}{v^ {2}}}(\gamma -1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{bmatrix}},

hvor - identitetsmatrix - tensormultiplikation af tredimensionelle vektorer. $jeg$ $3 gange 3,$ $\ nogle gange$

Eller hvad er det samme,

{\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta n_{x }&-\gamma \beta n_{y}&-\gamma \beta n_{z}\\-\gamma \beta n_{x}&1+(\gamma -1)n_{x}^{2}&(\ gamma -1)n_{x}n_{y}&(\gamma -1)n_{x}n_{z}\\-\gamma \beta n_{y}&(\gamma -1)n_{y}n_ {x}&1+(\gamma -1)n_{y}^{2}&(\gamma -1)n_{y}n_{z}\\-\gamma \beta n_{z}&(\gamma -1 )n_{z}n_{x}&(\gamma -1)n_{z}n_{y}&1+(\gamma -1)n_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}

Hvor ${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}};\beta =|{\vec {\beta }}|;n_{x}={\frac { \beta _{x)){\beta ));n_{y}={\frac {\beta _{y)){\beta ));n_{z}={\frac {\beta _{z} }{\beta }}$

Konklusion metode nummer 1

Transformationsmatrixen er opnået fra formlen $B$

B(\mathbf {v} )=I-\gamma \beta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\gamma -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf { K} )^{2}

eller når parametreret af hastigheden $\zeta$

B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}

hvor n K = n x K x + n y K y + n z K z , hvor

{\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\ \0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}),

som ligner Rodrigues formlen

Konklusion metode nummer 2

En vilkårlig homogen Lorentz-transformation kan repræsenteres som en bestemt sammensætning af rumrotationer og elementære Lorentz-transformationer, der kun påvirker tid og en af koordinaterne. Dette følger af den algebraiske sætning om dekomponering af en vilkårlig rotation til simple. Desuden er det fysisk indlysende, at for at opnå en vilkårlig homogen Lorentz-transformation, kan man bruge kun én sådan elementær transformation og to rotationer af tredimensionelt rum (den første til at gå til specielle rumlige akser - fra x langs V , og sekund for at vende tilbage til de oprindelige), teknisk set vil beregningen af en sådan sammensætning blive reduceret til multiplikationen af tre matricer.

Egenskaber for Lorentz-transformationer

Det kan ses, at i det tilfælde, hvor Lorentz-transformationerne går ind i de galilæiske transformationer . Det samme sker, når den siger, at den særlige relativitetsteori falder sammen med newtonsk mekanik enten i en verden med en uendelig lyshastighed eller ved små hastigheder i forhold til lysets hastighed. Sidstnævnte forklarer, hvordan disse to teorier kombineres - den første er en generalisering og forfining af den anden, og den anden er det begrænsende tilfælde af den første, forbliver i denne egenskab omtrent korrekt (med en vis nøjagtighed, i praksis ofte meget, meget høj ) for tilstrækkelig lille (sammenlignet med lysets hastighed) bevægelseshastighed. $c\to \infty ,$ $v/c\til 0.$
Lorentz-transformationer holder intervallet invariabelt for ethvert par begivenheder (rum-tidspunkter) - det vil sige ethvert par af Minkowski rum-tidspunkter:

s={\sqrt {c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2} }}={\sqrt {c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z' )^{2}}}.

Det er let at verificere dette, for eksempel ved eksplicit at kontrollere, at Lorentz-transformationsmatrixen er ortogonal i betydningen Minkowski-metrikken: $L$

\eta _{{ik}}=\venstre[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0&-1\end{matrix}}\right],

defineret af et sådant udtryk, det vil sige, det er nemmest at gøre for boost, og for tredimensionelle rotationer er det indlysende fra definitionen af kartesiske koordinater, desuden ændrer skift af oprindelsen ikke forskellene i koordinaterne. Derfor gælder denne egenskab også for enhver sammensætning af boosts, rotationer og skift, som er den komplette Poincaré-gruppe; når vi først ved, at koordinattransformationer er ortogonale , følger det umiddelbart, at formlen for afstand forbliver uændret, når man flytter til et nyt koordinatsystem - ifølge definitionen af ortogonale transformationer. $\sum _{i,\;k}L_{j}^{i}\eta _{ik}L_{m}^{k}=\eta _{jm}.$

Især invariansen af intervallet finder også sted for tilfældet, hvilket betyder, at hyperfladen i rum-tid, som er bestemt af ligheden til nul af intervallet til et givet punkt - lyskeglen - er fikseret under Lorentz-transformationer (som er en manifestation af lysets hastigheds invarians). Det indre af keglens to hulrum svarer til tidslignende - reelle - intervaller fra deres punkter til toppen, det ydre område - til rumlignende - rent imaginært (i intervalsignaturen, der er vedtaget i denne artikel). $s=0,$
Andre invariante hyperoverflader af homogene Lorentz-transformationer (analoger af en kugle til Minkowski-rummet) er hyperboloider: en to-arks hyperboloid for tidslignende intervaller i forhold til oprindelsen, og en enkelt -sheeted hyperboloid for rumlignende intervaller.
Lorentz-transformationsmatrixen for kollineære rumlige akser (i enheder ) kan repræsenteres som: $c=1$ ${\begin{bmatrix}{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &-{\mathop {{\rm {sh))))\,\theta &0&0\\-{\mathop { {\rm {sh))))\,\theta &{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix)),$

hvor . Det er let at verificere dette ved at tage højde for og kontrollere gyldigheden af den tilsvarende identitet for Lorentz-transformationsmatrixen i den sædvanlige form. $\theta ={\mathop {{\rm {Arth}}}}\,(v/c)\$ ${\rm {ch^{2}\,\theta -{\rm {sh^{2}\,\theta =1\ ))))$

Hvis vi accepterer notationen introduceret af Minkowski , så reduceres Lorentz-transformationen for et sådant rum til en rotation gennem en imaginær vinkel i planet inklusive aksen (i tilfælde af bevægelse langs aksen , i planet ). Dette er indlysende ved at indsætte i matrixen lige ovenfor - og modificere den lidt for at tage hensyn til den imaginære tidskoordinat, der indføres - og sammenligne den med den sædvanlige rotationsmatrix. $x_{0}=i\,ct,\;x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\$ $x_{0}\$ $x_{1}\$ $x_{0}x_{1}$ ${\mathop {{\rm {ch))))\,\theta ={\mathop {{\rm {cos))))\,(i\,\theta ),\;{\mathop {{\rm {sh}}}}\,\theta =-i\,{\mathop {{\rm {sin}}}}\,(i\theta )$

Konsekvenser af Lorentz-transformationerne

Ændring i længde

Lad stangen hvile i referencerammen , og koordinaterne for dens begyndelse og slutning er lig med , . For at bestemme længden af stangen i systemet fastlægges koordinaterne for de samme punkter på samme tidspunkt af systemet . Lad være den rigtige længde af stangen i , og være længden af stangen i . Derefter følger det fra Lorentz-transformationerne: $K'$ $x_{1}'$ $x_{2}'$ $K$ $K$ $l_{0}=x_{2}'-x_{1}'$ $K'$ ${\displaystyle l=x_{2}-x_{1))$ $K$

l_{0}=x'_{2}-x'_{1}={\frac {x_{2}-vt}({\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^ {2}}}}}}}-{\frac {x_{1}-vt}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} ={\frac {x_{2}-x_{1}}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

eller

l=l_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.

Længden af den bevægelige stang, målt af "stationære" observatører, viser sig således at være mindre end den korrekte længde af stangen.

Relativitet af simultanitet

Hvis to begivenheder adskilt i rummet (for eksempel lysglimt) forekommer samtidigt i en bevægelig referenceramme, vil de ikke være samtidige i forhold til den "faste" ramme. Når fra Lorentz-transformationerne følger: $\Delta t'=0$

Hvis , så og . Det betyder, at set fra en stationær observatørs synspunkt indtræffer den venstre begivenhed før den højre ( ). Relativiteten af simultanitet fører til umuligheden af at synkronisere ure i forskellige inertiereferencerammer i hele rummet. $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $t_{2}>t_{1}$

Lad i to referencesystemer, langs aksen , er der ure synkroniseret i hvert system, og i det øjeblik, hvor det "centrale" ur er sammenfaldende (i figuren nedenfor), viser de samme tid. Den venstre figur viser, hvordan denne situation ser ud fra en observatørs synsvinkel i systemet . Ure i en bevægelig referenceramme viser forskellige tidspunkter. Urene i bevægelsens retning er bagud, og de i den modsatte retning af bevægelsen er foran det "centrale" ur. Situationen er den samme for observatører i (højre figur). $x$ $S$ $S'$

Tidsudvidelse for bevægelige kroppe

Relaterede definitioner

Lorentz-invarians er fysiske loves egenskab, der skal skrives på samme måde i alle inerti-referencerammer (under hensyntagen til Lorentz-transformationerne). Det er almindeligt accepteret, at alle fysiske love skal have denne egenskab, og der er ikke fundet eksperimentelle afvigelser fra den. Nogle teorier har dog hidtil undladt at blive konstrueret på en sådan måde, at Lorentz-invariansen er opfyldt.

Historie

Denne type transformation er, efter forslag fra A. Poincaré , opkaldt efter den hollandske fysiker H. A. Lorentz , som i en række værker (1892, 1895, 1899) udgav deres omtrentlige version (op til vilkår ). Senere fysikhistorikere fandt ud af, at disse transformationer var blevet offentliggjort uafhængigt af andre fysikere: $v^{2}/c^{2}$

1887: W. Vogt , mens han undersøgte Doppler-effekten [4] [5] .
1897: J. Larmor , hans mål var at opdage transformationer, hvorunder Maxwells ligninger er invariante [6] .

Lorentz undersøgte forholdet mellem parametrene for to elektromagnetiske processer, hvoraf den ene er stationær i forhold til æteren , og den anden bevæger sig [7] .

A. Poincare (1900) og A. Einstein (1905) [8] gav et moderne udseende og forståelse til transformationsformlerne . Poincaré var den første til at etablere og i detaljer studere en af de vigtigste egenskaber ved Lorentz-transformationer - deres gruppestruktur , og viste, at "Lorentz-transformationer ikke er andet end en rotation i rummet af fire dimensioner, hvis punkter har koordinater " $(x,\;y,\;z,\;it)$ [9] . Poincaré introducerede termerne "Lorentz-transformationer" og " Lorentz-gruppe " og viste, baseret på den æteriske model, umuligheden af at detektere bevægelse i forhold til den absolutte referenceramme (det vil sige den ramme, hvori æteren er stationær), og modificerede således Galileos relativitetsprincip [8] .

Einstein udvidede i sin relativitetsteori (1905) Lorentz-transformationerne til alle fysiske (ikke kun elektromagnetiske) processer og påpegede, at alle fysiske love skal være invariante under disse transformationer. Den geometriske firedimensionelle model af relativitetsteoriens kinematik, hvor Lorentz-transformationerne spiller rollen som koordinatrotation, blev opdaget af Hermann Minkowski .

I 1910 var V. S. Ignatovsky den første, der forsøgte at opnå Lorentz-transformationen på basis af gruppeteori og uden at bruge postulatet om lysets hastigheds konstanthed [10] .

Se også

Sammensat bevægelse (formel for hastighedstransformation i overensstemmelse med Lorentz-transformationer)
Thomas præcession
Lorentz gruppe

Noter

↑ 1 2 3 4 5 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. VII, § 8. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Petrovsky I. G. Forelæsninger om partielle differentialligninger. - ch. II, § 14. - Enhver udgave.
↑ Frank F., Rote G. Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme Arkiveret 29. august 2014 på Wayback Machine // Ann. der Physic, Ser. 4, bind. 34, nr. 5, 1911, s. 825-855 (russisk oversættelse) (Artikel, hvori det først blev bemærket, at lineære-brøktransformationer er de mest generelle transformationer, der er i overensstemmelse med relativitetsprincippet).
↑ Miller (1981), 114-115
↑ Pais (1982), Kap. 6b
↑ J. Larmor. Om en dynamisk teori om det elektriske og lysende medium, del 3, Relationer til materielle medier . - 1897. - T. 190. - S. 205-300.
↑ Vizgin V. P., Kobzarev I. Yu. , Yavelov V. E. Albert Einsteins videnskabelige arbejde og liv: en anmeldelse af bogen af A. Pais // Einstein-samlingen, 1984-1985. - M . : Nauka, 1988. - S. 314 . — ISBN 5-02-000006-X .
↑ 1 2 Kudryavtsev P. S. Et kursus i fysikkens historie i tre bind. - M . : Uddannelse, 1974. - T. 3. - S. 46.
↑ Poincare A. Om elektronens dynamik. // Relativitetsprincippet : Lør. værker af relativismens klassikere. - M .: Atomizdat , 1973. - s. 90-93, 118-160.
↑ "Nogle generelle bemærkninger om relativitetsprincippet" Arkiveret kopi af 2. juli 2017 om Wayback Machine Report på generalforsamlingen i den matematiske og fysiske afdeling på det 82. møde for tyske naturforskere og læger i Königsberg den 21. september 1910;
af W.v. Ignatowsky, "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip", Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (russisk oversættelse)

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Physical Encyclopedia, bind 2 - M .: Great Russian Encyclopedia s. 608 Arkiveret 2. marts 2012 på Wayback Machine og s. 609 Arkiveret 14. april 2004 på Wayback Machine .
Fedorov F.I. Lorentz gruppe. — M .: Nauka , 1979. — 384 s.
Gel'fand I. M., Minlos R. A., Shapiro Z. Ya. Repræsentation af rotationsgruppen og Lorentz-gruppen. M., 1958.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.

Links

Lorentz-transformationer Arkiveret 25. august 2021 på Wayback Machine i The Relativistic World Arkiveret 23. august 2021 på Wayback Machine .

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4653925-6 J9U : 987007536145805171 LCCN : sh85078398