Rodrigues rotationsformel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. april 2020; checks kræver 10 redigeringer .

Rodrigues rotationsformlen er en formel , der forbinder to vektorer med en fælles oprindelse, hvoraf den ene opnås ved at rotere den anden med en kendt vinkel omkring en akse, der går gennem deres fælles oprindelse:

{\vec {R}}_{2}-\tan(\chi /2)[{\vec {e}}\time {\vec {R}}_{2}]={\vec { R}}_{1}+\tan(\chi /2)[{\vec {e}}\ gange {\vec {R}}_{1}]

hvor er startvektoren, er den resulterende vektor, er enhedsvektoren for rotationsaksen, er rotationsvinklen. Formlen kan også skrives som: ${\vec {R}}_{1}$ ${\vec {R}}_{2}$ $\vec{e}$ $\chi$

{\vec {R}}_{2}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1})(1-\cos \chi ){\vec {e }}+({\vec {e}}\ gange {\vec {R}}_{1})\sin \chi +{\vec {R}}_{1}\cdot \cos \chi

Ligger til grund for vektorteorien om endelige rotationer og addition af rotationer . Modtaget af O. Rodrigues i 1840 [1]

Konklusion

Uden tab af generalitet leder vi aksen langs enhedsvektoren , og vektoren ligger i OXZ-planet, så: ${\vec {z))$ $\vec{e}$ ${\vec {R}}_{1}$

{\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{1z}

{\vec {R}}_{1y}=0

{\vec {R}}_{1z}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}

Hvor:

{\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){ \vec{e}}

Lad os sætte vektoren lig med: $\vec{w}$

{\vec {w}}={\vec {e}}\time {\vec {R}}_{1}

Læg mærke til det:

|{\vec {w}}|=|{\vec {e}}\ gange {\vec {R}}_{1}|=|{\vec {e}}|\,|{\ vec {R}}_{1}|\sin \phi \ =|{\vec {R}}_{1}|\sin \phi

|{\vec {R}}_{1x}|=|{\vec {R}}_{1}|\cos(\pi /2-\phi )=|{\vec {R}} _{1}|\sin \phi .

Så kan vektoren udtrykkes i form af vektorerne og og vinklen : ${\vec {R}}_{2x}$ $\vec{w}$ ${\vec {R}}_{1x}$ $\chi$

{\vec {R}}_{2x}={\vec {R}}_{1x}\cos \chi +{\vec {w}}\sin \chi =({\vec {R} }_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\ gange {\vec {R}}_{1})\sin \chi

Den resulterende vektor er udtrykt i form af vektorerne og : ${\vec {R}}_{2}$ ${\vec {R}}_{2x}$ ${\vec {R}}_{1z}$

{\vec {R}}_{2}={\vec {R}}_{2x}+{\vec {R}}_{1z}=({\vec {R}}_{1 }-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\ gange {\vec {R}}_{1})\sin \chi +({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}

Ved at bringe lignende, får vi Rodrigues rotationsformlen:

{\vec {R}}_{2}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1})(1-\cos \chi ){\vec {e }}+({\vec {e}}\ gange {\vec {R}}_{1})\sin \chi +{\vec {R}}_{1}\cdot \cos \chi

I matrixform

Vektormultiplikation med en vektor k kan repræsenteres som en multiplikation med en matrix K :

\mathbf {k} \times \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z }-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end {bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}=\mathbf {K} \mathbf {v} \,.

Vektoren v vil, når den drejes rundt om enhedsvektoren k , gå ind i vektoren

\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {R} \mathbf {v} \,,

hvor $\mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \ gange \mathbf {v} )\,.$

Således viser det sig, at rotationsmatrixen omkring enhedsvektoren k ved vinklen $\theta$

\mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}~.

hvor

\mathbf {K} =\left[{\begin{array}{ccc}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y} &k_{x}&0\end{array}}\right]~.

Noter

↑ Rodrigues, 1840 , s. 380-440.

Litteratur

Lur'e A. I. Analytisk mekanik. - M. : Fizmatgiz, 1961. - 824 s. - S. 101-103.
Rodrigues O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'une système solide dans l'espace et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire // Liouvillés Journ. Math.. - 1840. - Bd. 5. - S. 380-440.