Grænseproblem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. januar 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Et grænseværdiproblem (grænseværdiproblem) er problemet med at finde en løsning på en given differentialligning (system af differentialligninger), der opfylder grænse(grænse)betingelserne i enderne af et interval eller på grænsen af et område. Grænseværdiproblemer for hyperbolske og parabolske ligninger kaldes ofte initial-boundary eller mixed , fordi de specificerer ikke kun grænse, men også startbetingelser .

Almindelige differentialligninger

Lineære ligninger af n. orden

Grænseværdiproblemet for en lineær ligning af n. orden har formen

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

hvor

L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},

funktioner og er kontinuerlige på intervallet , , grænsebetingelser er givet ved lineære former $f(x)$ $f_{\nu}(x)$ $a\leq x\leq b$ $f_n(x) \ne 0$

U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \venstre[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_ {\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \right], \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

$\gamma_{\mu}$ er givet tal. Matrixen sammensat af koefficienter har rang , mens randbetingelserne er lineært uafhængige . Hvis og , grænseværdiproblemet kaldes homogen , hvis kun - semi - homogen . [en] $\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}$ $m$ $\gamma_{\mu} = 0$ $f(x) \ækvivalent 0$ $\gamma_{\mu} = 0$

Egenværdiproblem

Egenværdierne er de værdier af parameteren,for hvilke det homogene grænseværdiproblem $\lambda$

L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

har en ikke-triviel (dvs. ikke identisk nul) løsning. Sættet af egenværdier kaldes spektret , og de tilsvarende ikke-trivielle løsninger kaldes dette problems egenfunktioner .

If er et fundamentalt system af løsninger af den betragtede differentialligning sådan, at $\varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda)$

\varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1. \end{array}\right. \quad p = 1, 2, \dots, n, \quad q = 0, \dots, n - 1,

så er egenværdierne nuller af den karakteristiske determinant ( determinant )

\Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})]

. Hvis , så kan mængden af egenværdier højst tælles som mængden af nuller for en hel funktion . [2]

\Delta(\lambda) \ikke \equiv 0

For grænseegenværdiproblemet løses følgende to standardproblemer:

Problemet med at finde egenværdier . Under hvilke antagelser om grænseværdiproblemet har det egenværdier? I hvilket tilfælde er deres antal uendeligt? Hvornår er de gyldige? Hvad kan man sige om deres størrelse?
Problemet med udvidelse i egenfunktioner . Hvis er egenfunktioner til grænseværdiproblemet, så under hvilke betingelser kan den givne funktion udvides til en konvergent række $u_{\nu}(x)$ $F(x)$

F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)

efter funktion ? [3] [4] $u_{\nu}(x)$

Et særligt tilfælde af grænseværdiproblemet for egenværdier er Sturm-Liouville-problemet :

\frac{d}{dx}\venstre[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

Grøns funktion

Sætning 1. Hvis et homogent grænseværdiproblem kun har en triviel (nul) løsning, så eksisterer der for enhver funktion kontinuert på segmentet en løsning på det semihomogene grænseværdiproblem givet af formlen $L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$ $f(x)$ $[a,b]$ $L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \prikker, n$

y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi,

hvor er den grønnes funktion af et homogent grænseværdiproblem. [5] $G(x, \xi)$

Fra et operatorteorisynspunkt definerer grænseværdiproblemet en lineær differentialoperator med et definitionsdomæne bestående af tider, der kontinuerligt kan differentieres på intervallet af funktioner, der opfylder grænsebetingelserne og fungerer i overensstemmelse med reglen . Under betingelserne i sætning 1 har denne operator en invers, som er en integral operator med kerne . $n$ $[a,b]$ $y$ $U_{\mu}(y) = 0$ $L(y)$ $G(x, \xi)$

Den grønnes funktion af et homogent grænseværdiproblem defineres som en funktion, der opfylder følgende betingelser: $G(x, \xi)$

$G(x, \xi)$ er kontinuert og har kontinuerlige afledte med hensyn til den -. orden inklusive for alle værdier og fra intervallet . $x$ $(n-2)$ $x$ $\xi$ $[a,b]$
For enhver fast af segmentet har funktionen kontinuerlige afledte af -th og -th orden med hensyn til i hvert af intervallerne og , og den afledede af -th orden har et spring for . $\xi$ $[a,b]$ $G(x, \xi)$ $(n-1)$ $n$ $x$ $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $(n-1)$ $x = \xi$ $\frac{1}{f_n(x)}$
I hvert af intervallerne og , betragtet som en funktion af , opfylder ligningen og randbetingelserne . $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $G(x, \xi)$ $x$ $L(G) = 0$ $U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$

Sætning 2. Hvis et homogent grænseværdiproblem kun har en triviel (nul) løsning, så har det en unik Greens funktion. [6]

Ved hjælp af den grønnes funktion kan man også løse det inhomogene grænseværdiproblem

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.

Løsningen ser ud

y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x),

hvor er løsninger af grænseværdiproblemer $\psi_k(x)$

L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \dots, n .

[7]

Grænseværdiproblem med en parameter

L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

svarer til Fredholm-integralligningen af den anden slags:

y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),

hvor

g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi.

Egenværdierne og egenfunktionerne for det tilsvarende homogene grænseværdiproblem falder sammen med kernens karakteristiske tal og egenfunktioner . [otte] $G(x, \xi)$

Systemer af lineære differentialligninger

Grænseværdiproblemet er at finde et system af funktioner , der opfylder systemet af lineære differentialligninger $u_1(x), u_2(x), \prikker, u_n(x)$

u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1 , 2, \prikker, m,

og grænsebetingelser

U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

hvor er funktioner kontinuerlige på segmentet , $f_{\mu}, f_{\mu, \nu}$ $a \le x \le b$

U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \venstre[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\right],

matrix

(\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1, 1}&\dots &\beta _{1,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{n,1}&\dots &\alpha _ {n,n}&\beta _{n,1}&\dots &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)

har rang , er givet tal. [9] $n$ $\gamma_{\mu}$

Numeriske metoder til løsning

De fleste af de numeriske metoder til løsning af grænseværdiproblemer er udviklet til andenordens ligninger.

Metode til optagelse (nulstilling) . Cauchy- problemet er løst , hvor en af startbetingelserne falder sammen med grænsebetingelsen, og den anden afhænger af parameteren. Parameterværdien vælges således, at løsningen opfylder den anden grænsebetingelse. For at vælge en parameter kan du for eksempel bruge halveringsmetoden eller Newtons metode . [ti]
Parallel fyringsmetode . Det er en generalisering af skydemetoden.
Endelig forskelsmetode . En tilnærmelse af den endelige forskel af ligningen og randbetingelserne konstrueres, og et system af lineære algebraiske ligninger løses . [11] [12]
Variationsmetoder ( Ritz 's metode, Galerkins metode ). [13] [14] [15]
Metode til integralligninger . Grænseværdiproblemet erstattes med Grønnes funktion af en integralligning , som løses ved hjælp af kvadraturformler . [16]
superpositionsmetode . Løsningen på grænseværdiproblemet findes som en lineær kombination af løsninger på flere Cauchy-problemer . [17]
Sweep-metoden (ikke at forveksle med sweep-metoden til løsning af tridiagonale systemer af lineære algebraiske ligninger ). Løsning af grænseværdiproblemet

y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1

opfylder differentialligningen

y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)

hvor funktionerne findes som løsninger på Cauchy-problemet $\alpha_0(x), \alpha_1(x)$

\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,

\alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.

Derefter findes den som en løsning på ligningen (*), der opfylder startbetingelsen . [18] [19] $y(x)$ $y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)$

Ansøgning

Problemer med langsgående og torsionsvibrationer af en elastisk stang fører til grænseværdiproblemer for en andenordens ligning, mens problemet med tværgående vibrationer af en stang fører til en fjerdeordens ligning. [1] Løsning af partielle differentialligninger ved hjælp af Fourier-metoden fører til problemet med at finde egenværdier og egenfunktioner af et grænseværdiproblem, samt at udvide en vilkårlig funktion til en række i form af egenfunktioner. [tyve]

Partielle differentialligninger

Notation

Lade være et afgrænset domæne i med en stykkevis-glat grænse , være den normale vektor til grænsen rettet til uden for domænet , være den afledte langs den normale, . Funktionerne opfylder betingelserne: $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $S$ $n$ $S$ $G$ $\frac{\partial u}{\partial n}$ $Q_{\infty} = G \times (0, \infty)$ $p, q, \alfa, \beta, \rho$

p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,

\alpha \i C(S), \quad \beta \i C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \i S,

\rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.

Her er lukningen af domænet , er det sæt af funktioner, der er kontinuerte i , og er det sæt af funktioner, der kontinuerligt kan differentieres i . $\bar G = G \kop S$ $G$ $C(\bar G)$ $\bar G$ $C^k(\bar G)$ $k$ $\bar G$

Ligninger af hyperbolsk type

Et blandet (grænse) problem for en ligning af hyperbolsk type er problemet med at finde en funktion , der opfylder ligningen $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \ quad (x, t) \i Q_{\infty},

begyndelsesbetingelser

u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,

og grænsetilstand

\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} |_{S} = 0.

For at en løsning kan eksistere, er det nødvendigt, at glathedsbetingelserne er opfyldt

F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G)

og konsistensbetingelsen

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n} = 0

Løsningen af det blandede problem er unik og afhænger løbende af . [21] $u_0, u_1, F$

Ligninger af parabolsk type

Et blandet (grænse)problem for en ligning af parabolsk type er at finde en funktion , der opfylder ligningen $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \quad (x, t) \i Q_{\infty},

starttilstand

u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G,

og grænsetilstand

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \gange [0, \infty).

For at en løsning kan eksistere, er følgende glathedsbetingelser nødvendige

F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),

og konsistensbetingelsen

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n}|_S = v(x, 0).

Løsningen af det blandede problem er unik og afhænger løbende af . [22] $F, u_0, v$

Elliptiske type ligninger

Vi studerer følgende grænseværdiproblemer for den tredimensionelle Laplace-ligning

\Delta u=0

Lad området være sådan, at . $G \in \mathbb{R}^3$ $G_1 = \mathbb{R}^3 \backslash G$

Dirichlets interne problem : find en funktion , der er harmonisk i domænet og antager de givne ( kontinuerlige ) værdier på grænsen . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_0^-$
Ekstern Dirichlet-problem : find en harmonisk funktion i domænet , der antager givne (kontinuerlige) værdier og forsvinder i det uendelige. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_0^+$
Neumanns indre problem : find en funktion , der er harmonisk i et domæne og har en regulær normal afledet på en given (kontinuerlig) . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_1^-$
Ydre Neumann-problem : find en harmonisk funktion i domænet , der har en given (kontinuerlig) regulær normalafledt og forsvinder i det uendelige. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_1^+$

Lignende grænseværdiproblemer er stillet for Poisson-ligningen :

\Delta u = -f

Løsningen af de indre og ydre Dirichlet-problemer afhænger unikt og kontinuerligt af grænsedataene. Løsningen af det interne Neumann-problem bestemmes op til en vilkårlig additiv konstant. Løsningen af det ydre Neumann-problem er unik. [23]

Løsningsmetoder

Metode til adskillelse af variabler [24] [25]
Forplantningsbølgemetode (til ligninger af hyperbolsk type ) [26]
Greens funktionsmetode (til ligninger af elliptisk type ) [27]
Forskelsmetoder . [28]
Variationsmetoder . [29]
Finite element metode .

Se også

Noter

↑ 1 2 Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 187.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 193.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , Anden del, Kapitel I, §2.
↑ Naimark M. A. Lineære differentialoperatorer, 1969 , første del, kapitel I, II.
↑ Naimark M. A. Lineære differentialoperatorer, 1969 , s. 40.
↑ Naimark M. A. Lineære differentialoperatorer, 1969 , s. 38-39.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 190.
↑ Naimark M. A. Lineære differentialoperatorer, 1969 , s. 44.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 249.
↑ Kalitkin N. N. Numerical methods, 1978 , s. 262.
↑ Kalitkin N. N. Numerical methods, 1978 , s. 268.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, 1959 , s. 372.
↑ Kalitkin N. N. Numerical methods, 1978 , s. 276.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, 1959 , s. 391.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , s. 222.
↑ Na Ts. Beregningsmetoder til løsning af anvendte grænseværdiproblemer, 1982 , kapitel 12.
↑ Na Ts. Beregningsmetoder til løsning af anvendte grænseværdiproblemer, 1982 , kapitel 2.
↑ Berezin I. S., Zhidkov N. P. Computational methods, 1959 , kapitel 9, §9.
↑ Na Ts. Beregningsmetoder til løsning af anvendte grænseproblemer, 1982 , kapitel 3.
↑ Naimark M. A. Lineære differentialoperatorer, 1969 , s. 88.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matematisk fysiks ligninger, 2004 , §6.2.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matematisk fysiks ligninger, 2004 , §6.3.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matematisk fysiks ligninger, 2004 , §5.6.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matematisk fysiks ligninger, 2004 .
↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equations of matematisk fysik, 1999 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of matematisk fysik, 1999 , s. 70.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Matematisk fysiks ligninger, 2004 , §5.7.
↑ Samarsky A. A. Numeriske metoder, 1989 , del III.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, 1959 , kapitel 10, §9.

Litteratur

Almindelige differentialligninger

Kamke E. Håndbog i almindelige differentialligninger. Om. med det .. - 4. udg., rettet .. - M . : Nauka, Ch. udg. fysik og matematik lit., 1971. - 576 s.
Naimark M. A. Lineære differentialoperatorer. - M . : Nauka, Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1969.

Partielle differentialligninger

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matematisk fysiks ligninger: Lærebog .. - 6. udgave, Rev. og yderligere .. - M . : Publishing House of Moscow State University, 1999. - 798 s. — ISBN 5-211-04138-0 .

Numeriske metoder

Na Ts . Beregningsmetoder til løsning af anvendte grænseproblemer. Om. fra engelsk. - M . : Mir, 1982. - 286 s.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Beregningsmetoder. Bind II. - M . : Stat. Publishing House of Physics and Mathematics, 1959.
Kalitkin N. N. Numeriske metoder. — M .: Nauka, 1978.
Gulin A. V. , Samarsky A. A. Numeriske metoder: lærebog for universiteter. - M . : Videnskab, kap. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1989. - 432 s. — ISBN 5-02-013996-3 .