Kernel af den integrerede operatør

Kernen i en integraloperator ( Fredholm kernel [1] ) er en funktion af to argumenter , som definerer en bestemt integraloperator ved ligheden $K(x,\;y)$ $\mathcal{A}$

\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),

hvor er et rum med mål og hører til et rum af funktioner defineret på . $x\in \mathbb {X}$ $d\mu(x)$ $\varphi(x)$ $\mathbb{X}$

Eksempler

En kerne kaldes en -kernel, hvis den opfylder betingelsen: $K(x,\;y)$ $L_{2}$

\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,

hvor er en målbar funktion . $K(x,\;y)$ $D$

Sådanne kerner er hovedemnet for overvejelser i teorien om integralligninger .

En kerne, der opfylder betingelsen:

K(x,\;y)\equiv 0

på

y>x

kaldet kernen i Volterra .

En symmetrisk kerne er en kerne, som identiteten gælder for . $K(x,\;y)=K(y,\;x)$
Hvis identiteten holder , hvor er det komplekse konjugat til , så kaldes en sådan kerne Hermitian . $K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)))$ ${\overline {K(y,\;x)))$ $K(x,\;y)$
Hvis kernen tillader en nedbrydning af formen: $K(x,\;y)$

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),

hvor er to systemer med lineært uafhængige kvadrat-integrerbare funktioner ( -funktioner), en sådan kerne kaldes Pinkerle - Goursat - kernen eller PG-kernen . ${\displaystyle \{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\))$ $(i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$ $L_{2}$

Relaterede definitioner

Spektret af en kerne er mængden af dens egenværdier .

Mercers sætning

Mercers kernenedbrydningssætning siger:

Hvis den symmetriske -kerne er kontinuert og kun har positive egenværdier (eller højst et endeligt antal negative egenværdier) , så gælder følgende repræsentation: $L_{2}$ $K(x,\;y)$ $\lambda_k$

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\ lambda _{k}}},

hvor er et ortogonalt system af -funktioner. Serien konvergerer absolut og ensartet . $\{\varphi _{k}(x)\}$ $L_{2}$

Litteratur

Trikomi F. Integralligninger. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1960. - 300 s.
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Håndbog for integralligninger. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 608 s. — ISBN 5-9221-0288-5 . .
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Håndbog for integralligninger: nøjagtige løsninger. - M . : Faktoriel, 1998. - 432 s. — ISBN 5-88688-024-0 . .

Noter

↑ Matematisk encyklopædi / Ed. I. M. Vinogradova. - M. : Mir, 1985. - T. 5. - S. 660. - 1060 s.