Variationsmetode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. februar 2018; verifikation kræver 1 redigering .

En variationsmetode er en metode til at løse matematiske problemer ved at minimere en bestemt funktionel ved hjælp af en prøvefunktion, der afhænger af et lille antal parametre.

Kvantemekanik

Tilstanden af et kvantemekanisk system bestemmes af bølgefunktionen, som findes ud fra den stationære Schrödinger-ligning

\hat{H}\psi = E\psi

hvor er systemets Hamiltonian . $\hat{H}$

I det generelle tilfælde med et stort antal partikler (tre partikler er allerede mange i kvantemekanikken), er det umuligt at løse Schrödinger-ligningen analytisk uden at bruge yderligere tilnærmelser.

Funktionel

\langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle = \int \psi^* \hat{H} \psi d\tau

hvor integrationen udføres over hele koordinatrummet, og ψ er en vilkårlig funktion af alle variabler i systemet, har en minimumsværdi ved en bestemt funktion , som svarer til systemets grundtilstand og er en løsning på Schrödinger-ligningen . $\psi_0$

Variationsmetoden er at bruge til at løse nogle prøvefunktioner af systemvariablerne , afhængigt af flere parametre , som ville tilfredsstille normaliseringsbetingelsen $\phi (\lambda _{i})$ $\lambda _{i}$

\langle \phi|\phi \rangle = 1

I dette tilfælde

\Phi(\lambda_i, E) = \int \phi^*(\lambda_i) \hat{H} \phi(\lambda_i) d\tau - E \int \phi^*(\lambda_i) \phi(\lambda_i )d\tau

er en funktion (ikke længere en funktionel) af parametrene og den yderligere parameter E. Minimumet af denne funktionelle over alle parametre bestemmer tilnærmelsen til energien af systemets grundtilstand. Dette minimum findes ud fra ligningssystemet $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$

\frac{\partial \Phi(\lambda_i, E)}{\partial \lambda_j} = 0

givet normaliseringsbetingelsen eller ved enhver anden minimeringsmetode.

Variationsmetoden giver den bedste tilnærmelse til grundtilstandsenergien for en given form for testfunktion. Med en velvalgt forsøgsfunktion kan denne tilnærmelse være ret nøjagtig og afvige en smule fra det, der er observeret i eksperimentet. En velvalgt forsøgsfunktion gør det også muligt at drage kvalitative konklusioner om et kvantemekanisk systems adfærd.

Valget af prøvefunktion er en vis kunst, ikke tilgængelig for rene dødelige. Normalt er dette baseret på visse fysiske ideer om systemets adfærd. Forøgelse af antallet af parametre i testfunktionen forbedrer resultatet, men komplicerer opgaven og kan nogle gange føre til at finde et falsk lokalt minimum.