Gravitationelt N-legeme problem

N -legemets gravitationsproblem er et klassisk problem med himmelmekanik og Newtons gravitationsdynamik .

Den er formuleret som følger.

Der er N materielle punkter i tomrummet , hvis masser er kendt { m i }. Lad den parvise interaktion af punkter være underlagt Newtons tyngdelov , og lad tyngdekraften være additiv . Lad startpositionerne og hastighederne for hvert punkt r i | t = 0 = ri0 , vi | _ t = 0 = vio . Det er nødvendigt at finde positionerne for punkterne for alle efterfølgende tidspunkter.

Matematisk formulering af N -legeme gravitationsproblemet

Udviklingen af ​​et system af N graviterende legemer ( materialepunkter ) er beskrevet af følgende ligningssystem:

hvor  er henholdsvis massen, radiusvektoren og hastigheden af ​​det i - te legeme ( i varierer fra 1 til N ), G  er gravitationskonstanten . Masserne af legemer, såvel som positioner og hastigheder i det indledende tidspunkt anses for at være kendt. Det er nødvendigt at finde positionerne og hastighederne for alle partikler på et vilkårligt tidspunkt.

Analytisk løsning

Tilfældet med et solitært punkt er ikke genstand for overvejelser om gravitationsdynamik. Sådan et punkts adfærd er beskrevet af Newtons første lov . Gravitationsinteraktion er i det mindste en parhandling.

Løsningen på to-legeme-problemet er den barycentriske systemiske bane (ikke at forveksle med Kepler-feltets centrale kredsløb). I fuld overensstemmelse med den oprindelige formulering af problemet er løsningen af ​​to-legeme-problemet fuldstændig ufølsom over for nummereringen af ​​punkter og forholdet mellem deres masser. Keplers felts centrale kredsløb opstår ved at passere til grænsen . I dette tilfælde går pointligheden tabt: det antages at være et absolut ubevægeligt gravitationscenter, og det første punkt "taber" masse, parameteren falder ud af de dynamiske ligninger. I en matematisk forstand er det resulterende system degenerativt, da antallet af ligninger og parametre er halveret. Derfor bliver den omvendte asymptotik umulig: Newtons tyngdelov følger ikke af Keplers love. (Bemærk, at masser slet ikke er nævnt i Keplers love.)

Til tre-kropsproblemet i 1912 opnåede Karl Zundman en generel analytisk løsning i form af serier. Selvom disse serier konvergerer for et hvilket som helst tidspunkt og med alle indledende betingelser, konvergerer de ekstremt langsomt [1] . På grund af den ekstremt langsomme konvergens er den praktiske brug af Sundman-serien umulig [2] .

Også for tre-kropsproblemet viste Heinrich Bruns og Henri Poincaré , at dets generelle løsning ikke kan udtrykkes i form af algebraiske eller enkeltværdiede transcendentale funktioner af koordinater og hastigheder [2] . Derudover kendes kun 5 eksakte løsninger af tre-kropsproblemet for specielle begyndelseshastigheder og objektkoordinater.

I øjeblikket kan problemet med kroppe for kun løses numerisk, og for Sundman-serien, selv med moderne[ hvornår? ] udviklingsniveauet for computerteknologi er næsten umuligt at bruge.

Numeriske metoder

Med fremkomsten af ​​computerteknologi har der vist sig en reel mulighed for at studere egenskaberne af systemer af graviterende legemer ved numerisk at løse et system af bevægelsesligninger. Til dette bruges for eksempel Runge-Kutta-metoden (fjerde eller højere orden).

Numeriske metoder står over for de samme problemer som analytiske metoder - når kroppene er tæt på hinanden, er det nødvendigt at reducere integrationstrinnet , og i dette tilfælde stiger numeriske fejl hurtigt. Derudover stiger antallet af kraftberegninger for hvert trin med "direkte" integration med antallet af kroppe tilnærmelsesvis som , hvilket gør det næsten umuligt at modellere systemer bestående af titusindvis og hundredtusindvis af kroppe.

For at løse dette problem bruges følgende algoritmer (eller kombinationer heraf):

Integraler af bevægelse

På trods af formlernes tilsyneladende enkelhed er der ingen løsning i form af endelige analytiske udtryk for dette problem i generel form for . Som vist af Heinrich Bruns har mangelegemeproblemet kun 10 uafhængige algebraiske bevægelsesintegraler , som blev fundet i det 18. århundrede, og som ikke er nok til at integrere problemet med tre eller flere legemer [4] [5] . Painlevé og Poincare tilbød deres egne generaliseringer af denne teorem . Painlevé formåede at opgive kravet om, at afhængigheden af ​​koordinater skulle være algebraisk, mens Poincare formodede, at der ikke er noget nyt enkeltværdiintegral (alle klassiske integraler, bortset fra energiintegralet, er enkeltværdierede funktioner). Denne sidste udtalelse er tilsyneladende endnu ikke blevet strengt bevist i en sådan generel formulering.

I 1971 kommenterede V. M. Alekseev den tilsvarende passage i Poincaré's Celestial Mechanics [6] :

Ikke-eksistensen af ​​et analytisk integral med en enkelt værdi i tre-legeme-problemet er endnu ikke blevet bevist med fuld strenghed... Det første nøjagtige bevis på ikke-integrerbarheden af ​​et ret generelt Hamilton-system tilhører Siegel [7] . Det er interessant at bemærke, at ikke-analytiske integraler er mulige i de undersøgte problemer; deres eksistens følger af en teorem af Kolmogorov [8] [9] . Tværtimod, i det tilfælde, hvor antallet af variable er mere end to, er det højst sandsynligt, at selv et kontinuerligt integral er umuligt [10] .

Se også

Noter

  1. ↑ K. L. Siegel. Foredrag om himmelmekanik. Arkivkopi dateret 2. februar 2021 på Wayback Machine  - M .: IL, 1959.
  2. ↑ 1 2 A.P. Markeev. Tre-kropsproblemet og dets nøjagtige løsninger  // Soros Educational Journal . - 1999. - Nr. 9 . ( Internet Archive artikel kopi )
  3. ↑ Trækode - Softwaredistribution . Hentet 14. september 2008. Arkiveret fra originalen 2. februar 2021.
  4. ↑ Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. bd. 11 (1887), s. 25-96.
  5. ↑ Whitaker. Analytisk dynamik.
  6. ↑ V. V. Kozlov. Symmetrier, topologi og resonanser i Hamiltoniansk mekanik. - Izhevsk, 1995.
  7. ↑ Matematik. - 1961. - Nr. 5, udgave. 2. - S. 129-155.
  8. ↑ Kolmogorov A. N. // DAN, 1954, 48, nr. 4, 527-530
  9. ↑ Arnold V. I. // UMN, 1963, 18, nr. 5-6
  10. ↑ Arnold V. I. // DAN, 1964, 154, nr. 1, 9-12.

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
I bibliografiske kataloger
 Baner