Interaktion med mange krop

Komplekset af problemer på samspillet mellem mange kroppe er ret omfattende og er en af de grundlæggende, langt fra fuldstændig løste, sektioner af mekanikken . Inden for rammerne af det newtonske koncept forgrener problemet sig i:

et kompleks af problemer med kollision af to eller flere materielle legemer, når organernes indflydelse på hinanden er begrænset af tidspunktet for deres direkte kontakt;
kohærente vibrationer af materielle legemer med en begrænset indflydelse af legemer på hinanden fra nabolegemer;
et sæt problemer om den gensidige bevægelse af legemer under indflydelse af gravitationelle, elektriske felter af alle legemer på hinanden.

Med andre ord er opgavekomplekset opdelt efter tilstanden af kroppens interaktion med hinanden, når visse nuancer af interaktioner kan negligeres. I det første tilfælde negligeres interaktionen uden for den direkte kontakt mellem kroppene. I det andet tilfælde negligeres interaktioner med ikke-naboelementer i systemet. I det tredje tilfælde tages der som regel ikke hensyn til problemerne med direkte kontakt mellem organer. Disse begrænsninger skyldes kompleksiteten af den generelle løsning af problemet, som i teorien bør omfatte alle tre problemsæt.

Spredning af to eller flere materielle legemer

Dette sæt af problemer løst inden for rammerne af virkningsteorien er til gengæld opdelt i

absolut elastiske kollisioner ;
absolut uelastiske kollisioner;
delvist elastiske kollisioner.

Også dette sæt af opgaver er underopdelt i opgaver med centrale og ikke-centrale kollisioner.

For to legemer kaldes en kollision direkte eller central, hvor den fælles normal til kroppens overflade i kontaktpunktet passerer gennem deres massecentre, og når massecentrenes hastigheder i begyndelsen af sammenstødet er rettet efter den almindelige normal. For mange legemer kan en kollision betragtes som central, hvor normalen til kroppens overflade for hvert af systemets to legemer i kontaktpunktet passerer gennem deres massecentre, og når de geometriske dimensioner af selve masserne kan negligeres.

Absolut elastiske kollisioner

For en central kollision af to kroppe har løsningen af problemet formen [1] , [2]

u_{1}={\frac {{v_{1}\left({m_{1}-m_{2}}\right)+2m_{2}v_{2}}}{{m_{1}+m_ {2}}}}\,\,;

u_{2}={\frac {{v_{2}\left({m_{2}-m_{1}}\right)+2m_{1}v_{1}}}{{m_{1}+m_ {2}}}}\,\,\,.

hvor er kroppens hastigheder før kollisionen; er masserne af to legemer, er kroppens hastigheder efter sammenstødet. $v_{1},\,v_{2}$ $m_{1},\,m_{2}$ $u_{1},\,u_{2}$

For 'n' kroppe ser løsningen ud som [3]

{\vec u}_{i}={\frac {{\left({m_{i}-M_{i}}\right){\vec v}_{i}+2{\vec v}_{ {mi}}M_{i}}}{{\sum \limits _{j}{m_{j}}}}}

hvor er nummeret på den undersøgte krop af systemet; $jeg$

${\vec v}_{{mi}}={\frac {1}{{M_{i}}}}\sum \limits _{{j\neq i}}^{n}{m_{j}{ \vec v}_{j}=}{\frac {1}{{M_{i))))\left({m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+... +m_{{i-1}}v_{{i-1}}+m_{{i+1}}v_{{i+1}}+...+m_{{n-1}}v_{{ n-1}}+m_{n}v_{n}}\højre)$ ;

$M_{i}=\sum \limits _{{j\neq i}}^{n}{m_{j}=}\,\,m_{1}+m_{2}+...+m_{{ i-1}}+m_{{i+1}}+...+m_{{n-1}}+m_{n}$ .

http://selftrans.narod.ru/v5_1/many_body/many_body65/agfig9.gif

Ved en off-center-sammenstød bør man tage højde for det drejningsmoment, der opstår på grund af off-center-påvirkningen, hvortil en del af energien og momentum af de kolliderende kroppe fordeles.

Absolut uelastiske kollisioner

For en central absolut uelastisk påvirkning af to legemer har løsningen formen [4] , [5]

u={\frac {{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}{{m_{1}+m_{2}}}}

Energitabet ved stød bestemmes af Carnots sætning : Den kinetiske energi tabt af et system af kroppe under et absolut uelastisk stød er lig med den kinetiske energi, som systemet ville have, hvis det bevægede sig med tabte hastigheder [6] .

Den energi, der omdannes til opvarmning af de kolliderende legemer på grund af en absolut uelastisk påvirkning, bestemmes af udtrykket [4]

\Delta W=-{\frac {{m_{1}m_{2}}}{{2\left({m_{1}+m_{2}}\right)}}}\left({v_{1 }-v_{2}}\right)^{2}<0

Ved en off-center-påvirkning, som i tilfælde af en perfekt elastisk påvirkning, er det nødvendigt at tage højde for det drejningsmoment, der genereres på grund af det ikke-centrale stød. Det fører til den fælles rotation af de fastsiddende kroppe efter sammenstødet.

Ikke-absolut elastisk effekt

Med en ikke-absolut elastisk (eller blot uelastisk) påvirkning bruges konceptet med stødgenvindingskoefficienten til at finde en løsning.

Genopretningsfaktoren i anslagsteorien er en værdi, der afhænger af de sammenstødende legemers elastiske egenskaber og bestemmer, hvor stor en del af den relative begyndelseshastighed af disse legemer, der gendannes ved slutningen af sammenstødet . restitutionsfaktor. karakteriserer tabet af mekanisk energi fra kolliderende legemer på grund af udseendet af resterende deformationer i dem og deres opvarmning [7] . Normalt bestemmes restitutionsfaktoren af kroppens tilbageslag fra den massive plade. I dette tilfælde er koefficienten især lig med [8]

træ på træ 1/2;
stål på stål 5/9;
elfenben på elfenben 8/9;
glas på glas 15/16.

Med en uelastisk central påvirkning af to legemer, givet at påvirkningen afhænger af forskellen i hastigheder, er genvindingskoefficienten bestemt af relationen [5]

k=-{\frac {{u_{1}-u_{2}}}{{v_{1}-v_{2}}}}

Energitabet under uelastisk stød bestemmes af udtrykket [9] :

\Delta W={\frac {{1-k}}{{2\left({1+k}\right)}}}\left[{M_{1}\left({v_{1}-u_{ 1}}\right)^{2}+M_{2}\left({v_{2}-u_{2}}\right)^{2}}\right]

Med en off-center påvirkning, forsømme friktion, er genopretningskoefficienten kun bestemt for projektioner af hastigheder vinkelret på kontaktfladen af legemer [10] .

Kohærente vibrationer af materielle legemer

Kohærente vibrationer af materielle legemer er beskrevet af et system af andenordens ligninger. For eksempel, for en endelig, homogen elastisk linje, hvis midterste element er påvirket af en ekstern harmonisk kraft , har dette ligningssystem formen $F(t)$

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{1}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{2}-\Delta _{1})\,\, ;$

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{2}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{3}+\Delta _{1}-2\Delta _ {2})\,\,;$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{k}}}{{dt^{2}}}}=F(t)+s(\Delta _{{k+1}}+\Delta _{{k-1}}-2\Delta _{k})\,\,;$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

${m{\frac {{d^{2}\Delta _{n}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{{n-1}}-\Delta _{n} )\,}$ .

I et givet ligningssystem adskiller den første, sidste og th ligning sig fra de andre og definerer henholdsvis grænse- og begyndelsesbetingelserne for svingninger, der forekommer i et givet dynamisk system . For et dynamisk system med klumpede parametre er der således ikke behov for yderligere betingelser bortset fra selve systemet af differentialligninger. Når man finder nøjagtige analytiske løsninger, fører disse funktioner i modelleringssystemet af ligninger til en forskel i løsningen af problemet. De beskriver især betingelserne for forekomsten af svingninger i en af grenene, samt den samtidige eksistens af en progressiv og stående bølge i et dynamisk system. $k$

Ligningssystemer, der beskriver diskrete dynamiske systemer, har som regel tre løsninger: periodisk, kritisk og aperiodisk [11] . En undtagelse er dynamiske systemer med resonansundersystemer. I disse systemer er der en tilstand af "negativt mål for inerti" [12] .

Det er vigtigt at bemærke, at når man går til grænsen til dynamiske systemer med distribuerede parametre på niveau med modellering af differentialligninger, forsvinder start- og randbetingelserne, og systemet reduceres til en bølgeligning . I dette tilfælde bliver indførelsen af yderligere start- og randbetingelser et presserende behov. Samtidig opstår problemet med at skrive disse forhold, især i ikke-trivielle tilfælde af overgange mellem linjestykker med forskellige parametre, med ikke-stationære grænser osv. På den anden side, hvis vi bruger passagen til grænsen ikke til modellering ligninger, men for deres løsninger, så lagres de singulariteter, der er indlejret i modelleringssystemet af ligninger, i løsningerne, og når de passerer til grænsen, vises de i løsningerne for et distribueret dynamisk system. Dette fjerner grænseproblemet, når man skal finde løsninger for dynamiske systemer med komplekse grænser og begyndelsesbetingelser.

Multidimensionelle dynamiske systemer betragtes hovedsageligt af numeriske metoder og metoder for diskret matematik. Især er der ved at blive udviklet vejledninger til at udvide Krylov-Bogolyubov-metoden til dimensionelle systemer [13] ; numerisk modellering ved metoder til diskret matematik [14] ; metoder baseret på den kvalitative teori om differentialligninger og grafanalytiske metoder for abstrakt algebra [15] mv. $n$

En række forskere beskæftiger sig med problemerne med at matche effektproblemer med problemer for glatte systemer [16] .

Manglen på eksakte løsninger for basale multidimensionelle modeller tvinger os til at lede efter nogle bestemte tilnærmelser og ofte kun at være begrænset til fjerntliggende eksterne estimater af adfærden af dynamiske diskrete systemer. I dag er problemet ”i bredere forstand at finde et sæt betingelser, der ville være opfyldt for et typisk dynamisk system og samtidig i høj grad ville bestemme dets mulige egenskaber, hvilket gør situationen mere eller mindre synlig. En sådan generel udtalelse er ikke så klar. Der er dog ingen tvivl om, at dette problem er løst i tilfælde af en lille dimension af faserummet og ikke løst i det generelle tilfælde” [17] .

N - kropsproblemet

Problemet med kroppe er opdelt i: $N$

problemet med spredning af kroppe (ustabil bevægelse) på grund af interaktion i gensidige felter af hinanden;
problemet med gensidig stationær bevægelse af kroppe i hinandens felter.

Til gengæld er problemet med stationær bevægelse traditionelt underopdelt i to-krop-problemet, tre-krop-problemet og kropsproblemet. Derudover, også traditionelt, bruges problemer med ikke-stationær bevægelse af legemer til at studere bevægelse i elementær partikelfysik, det vil sige i elektriske felter, og problemer med stationær bevægelse bruges i astrofysik, det vil sige i gravitationsfelter. $N$

To-kropsproblem

På nuværende tidspunkt menes det, at to-legeme-problemet er blevet løst nøjagtigt, "fordi det kan reduceres til Kepler-problemet, det vil sige til et system af partielle differentialligninger, der beskriver bevægelsen af en partikel, der bevæger sig under gravitationstiltrækningen af en anden partikel fikseret ved oprindelsen. Løsningen på Kepler-problemet er keglesnit — cirkler, ellipser, parabler og hyperbler” [18] . Mere præcist er "tolegemeproblemet reduceret til det ækvivalente problem med et punkts bevægelse - et imaginært punkt med masse og radius vektor r - i et centralt symmetrisk felt med et fast center" [19] . Modelleringskonstruktionen har formen vist på figuren [1] $\mu$ $\mu$

Ligningen kommer ned til:

\mu {{\mathbf {{\ddot r}}}}={{\mathbf {F}}}_{{12}}\left({\left|({\mathbf {r}}}\right| }\ret)

hvor er den reducerede masse; er en vektor, der karakteriserer punkternes relative placering. $\mu =m_{1}m_{2}/\left({m_{1}+m_{2}}\right)$ ${{\mathbf {r}}}={\frac {{m_{2}}}{{m_{1}+m_{2}}}}{{\mathbf {r'}}}_{2}= -{\frac {{m_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}}{{\mathbf {r'}}}_{1}$

Løsningen af denne ligning har formen: ; ${{\mathbf {M'}}}_{0}{{\mathbf {r}}}=\mu \left[{({\mathbf {rv}}}}\right]{{\mathbf {r} }}=0$

$t=\pm \int {{\frac {{dr}}{({\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{{eff}}} \right)}}}}}}+konst$ ;

$\varphi =\pm \int {{\frac {({\frac {{M'_{0))}({\mu r^{2))))dr)){({\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{{eff}}}\right)}}}}}}+konst$ ;

$U_{{eff}}=U\left(r\right)+{\frac {{\left({M'_{0}}\right)^{2}}}{{2\mu r^{2 }}}}$ ; ; , $U\venstre(r\højre)=-{\frac {\alpha }{r))$ $E'_{0}={\frac {{\mu v^{2}}}{2}}-U\venstre(r\højre)$

hvor er lig for gravitationsinteraktion og for elektrostatisk interaktion [20] . $\alfa$ $\gamma m_{1}m_{2}$ $-q_{1}q_{2}$

Afhængigt af tegnet vil banen være hyperbolsk ( ), parabolsk ( ), elliptisk ( ) eller cirkel ( ). $E'_{0}$ $E'_{0}>0$ $E'_{0}=0$ $0>E'_{0}>U_{{eff}}$ $E'_{0}=U_{{eff}}$

Tre-kropsproblemet

Det menes, at alle løsninger på tre-kropsproblemet ikke kan beskrives. Derfor vedrører næsten alle undersøgelser af problemet med tre kroppe løsningen af særlige problemer med frigørelse af små kroppe under den antagelse, at den undersøgte krop er lille inden for to andre kroppe og i undersøgelsen af stabiliteten af periodiske løsninger [ 21] [22] . I dette tilfælde er problemet ofte reduceret til et tokropsproblem. Newton var en af de første, der forsøgte at løse denne type særlige problemer i studiet af Månen inden for Jorden og Solen ved at bruge loven om universel gravitation, han havde fundet. Han viste, at den årlige ligning for Månens middelbevægelse kommer fra den forskellige strækning af Månens kredsløb med Solens kraft. Han fandt også ud af, at i Jordens perihelium, på grund af Solens større kraft, bevæger Månens apogeum og noder sig hurtigere end i dets aphelium, og desuden i det omvendte forhold mellem kuberne af afstandene mellem Jorden til Solen; heraf kommer de årlige ligninger for disse bevægelser, som er proportionale med ligningen for Solens centrum. Samtidig beregnede han afvigelserne af Månens kredsløb ved Jordens apogeum og perihelium i forhold til Solen osv. [23] .

De enkleste periodiske løsninger på tre-kropsproblemet blev opdaget af Euler [1765] og Lagrange [1772]. Konstrueret af Kepler-ellipser er de de eneste implicitte løsninger [22] .

Poincaré fandt invarianter af periodiske løsninger, byggede en løsning i form af en serie og overvejede stabilitetsforhold [24] .

Som et resultat er der i dag seks hovedtilgange til at løse problemet:

Laplace-Newcomb metode;
Hill's planetariske metode;
Metode til variation af vilkårlige konstanter;
Hills månemetode;
Metode til periodiske kredsløb;
Cowell metode.

Løsningen fundet af K. Zundman i 1912 præsenteres i form af langsomt konvergerende serier. Ifølge Riemann-sætningen kan dette område afbildes på en cirkel med enhedsradius , det vil sige, at løsningen på tre-legeme-problemet kan repræsenteres som funktioner af parameteren ½, holomorf i cirklen . Sådanne funktioner kan repræsenteres som serier i positive potenser, der konvergerer gennem cirklen . Således kan løsningen af tre-kropsproblemet også repræsenteres i skemaet $\venstre|\tau \højre|<1$ $\venstre|\tau \højre|<1$ $\tau$

q_{j}={{\rm {B}}}_{j}\left(\tau \right),\,\,\,t={{\rm {B}}}_{0}\left (\tau \right),\,\,\,\venstre|\tau \right|<1

Ved hjælp af ret vanskelige skøn beviste Sundman (1912), at man kan tage striben $G$

\left|{\operatørnavn {Im}v}\right|<\delta

og specificerede et udtryk for . Som Beloritsky viste, for behovene for beregningsastronomi i den "konvergerende" Sundman-serie, skal man i det mindste tage termer, og derfor er de uegnede til at beregne koordinater. $\delta$ $10^{{8\cdot 10^{6}}}$

Periodiske løsninger, som små forstyrrelser i en lille krops konstante bevægelse i feltet af to store legemer, findes gennem Jacobi-integralet [25] .

Klassen af periodiske opløsninger kan udvides ved at bruge nøjagtige analytiske løsninger til koblede vibrationer af materialelegemer. I dette tilfælde reduceres problemet i det generelle tilfælde til et system af tre algebraiske ligninger.

Generelt N -kropsproblem

Det er nu en udbredt opfattelse, at problemet med kroppe for ikke kan løses i samme forstand som problemet med to kroppe. Faktisk er der meget god dokumentation for, at det generelle N-legeme-problem er uløseligt. Men siden Newtons tid er der skrevet tusindvis af artikler om N-legeme-problemet. Disse artikler indeholder særlige løsninger, asymptotiske estimater, information om kollisioner, eksistens og ikke-eksistens af integraler, serier af løsninger, kollisionsfri singulariteter osv. [18] . $N$ $N\geqslant 3$

Ved at bruge teknikken til at konstruere en løsning for koblede svingninger af tre legemer kan en række kropsproblemer derfor reduceres til et system af algebraiske ligninger med efterfølgende løsning ved matrixmetoder. I fremtiden vil denne tilgang tillade analytiske metoder til at løse klassen af problemer med ikke-periodisk endelig bevægelse af legemer. $N$ $N$

Noter

↑ Yavorsky B. M. Course of General Physics, bind 1, M., Higher School, 1963, s. 61
↑ Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, s. 419
↑ Nøjagtig løsning af problemet med elastisk vekselvirkning mellem tre eller flere punktmasser i anslagsteorien . Hentet 26. september 2011. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
↑ 1 2 Yavorsky B. M. Course of General Physics, bind 1, M., Higher School, 1963, s. 62
↑ 1 2 Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, s. 418
↑ Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, s. 420
↑ Genopretningskoefficient - artikel fra Great Soviet Encyclopedia .
↑ Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, s. 416
↑ Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, s. 421
↑ Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, s. 417
↑ Nogle funktioner i simuleringen af tvangssvingninger . Dato for adgang: 26. september 2011. Arkiveret fra originalen den 13. juli 2006. (ubestemt)
↑ Til beregning af oscillerende systemer med kompleks resonans . Hentet 26. september 2011. Arkiveret fra originalen 13. februar 2012. (ubestemt)
↑ "En Krylov underrumsalgoritme til multiquadric interpolation i mange dimensioner". A. Briginshaw, G. Goodsell og MJD Powell, IMA Journal of Numerical Analysis (2005)
↑ Yu. B. Kolesov, Yu. B. Senichenkov Simulering af komplekse dynamiske systemer Arkivkopi af 13. februar 2011 på Wayback Machine
↑ Anosov D.V. Glatte dynamiske systemer. Ch. 2. Elementær teori . Dato for adgang: 26. september 2011. Arkiveret fra originalen 19. februar 2013. (ubestemt)
↑ LOKALE FUNKTIONER I DYNAMISKE SYSTEMER MED PÅvirkningsinteraktioner
↑ D.V. Glatte dynamiske systemer. Ch. 2. Elementær teori, s. 181-182
↑ 1 2 Meyer Kenneth R. Forelæsningsnotater i matematik. Periodiske løsninger af N-legeme-problemet. Springer. 1999, ISBN 3-540-66630-3
↑ Olkhovsky I. I. Kursus i teoretisk fysik for fysikere. M., Nauka, 1970, s. 106-107
↑ Olkhovsky I. I. Kursus i teoretisk fysik for fysikere. M., Nauka, 1970, s. 107-108
↑ A.V., Popov Yu. P. Konstruktion af periodiske løsninger til det begrænsede tre-kropsproblem (utilgængeligt link)
↑ 1 2 Montgomery R. En ny løsning på tre-kropsproblemet? Meddelelser fra AMS, maj, 2001, 5 , v. 48
↑ Newton I. Matematiske principper for naturfilosofi. M., Nauka, 1989, del III . Dato for adgang: 26. september 2011. Arkiveret fra originalen 28. november 2009. (ubestemt)
↑ Poincare A. Om problemet med tre kroppe og om dynamikkens ligninger, Sobr. cit., bind 1, s. 357
↑ Brower D., Clemens J. Methods of Celestial Mechanics. M., Mir, ca. 223 . Hentet 26. september 2011. Arkiveret fra originalen 12. oktober 2011. (ubestemt)