Hyperbolsk bane - i astrodynamik og himmelmekanik , bane for et objekt omkring et centralt legeme med en hastighed, der er tilstrækkelig til at overvinde tiltrækningen af det centrale legeme. Formen af banen i det ikke-relativistiske tilfælde er en hyperbel . Den orbitale excentricitet overstiger enhed.
Under standardantagelser kan et legeme, der bevæger sig langs en sådan bane, bevæge sig til det uendelige, mens det opretholder en ikke-nul hastighed i forhold til det centrale legeme. I analogi med en parabolsk bane er alle hyperbolske baner flugtbaner . Orbital energi pr. masseenhed er en positiv værdi.
Flybys af planeter, der bruges i tyngdekraftsassistance , kan repræsenteres i tyngdekraftsfæren som hyperbolske baner.
Ligesom en elliptisk bane kan den hyperbolske bane for et givet system bestemmes (uden hensyntagen til orientering) af værdien af den semi-hovedakse og excentricitet. Andre parametre kan dog være mere nyttige til at studere kropsbevægelser. Følgende tabel viser de vigtigste parametre, der beskriver en krops bevægelse langs en hyperbolsk bane omkring en anden krop.
Element | Symbol | Formel | Repræsentation via (eller ) og |
---|---|---|---|
Gravity parameter | |||
Excentricitet (>1) | |||
Hovedakse (<0) | |||
Hyperbolsk overskydende hastighed | |||
Vinkel mellem asymptoter (ydre) | |||
Synsafstand ( mindre akse ) | |||
Parameter | |||
Pericentrisk afstand | |||
Orbital energi pr. masseenhed | |||
Vinkelmoment pr. masseenhed |
Den semi-hovedakse observeres ikke direkte på en hyperbolsk bane, men den kan plottes som afstanden fra periapsis til asymptoternes skæringspunkt. Normalt betragtes værdien af den hyperbolske banes semi-hovedakse som negativ, så er mange ligninger af elliptiske baner i overensstemmelse med ligningerne for hyperbolske baner.
Halv-hovedaksen er direkte relateret til energiværdien ( ) eller den karakteristiske energi i kredsløbet og til den hastighed, som kroppen har, når afstanden tenderer til uendelig, det vil sige med det hyperbolske overskridelse af hastighed ( ).
ellerhvor er gravitationsparameteren , er den karakteristiske energi, der ofte bruges ved planlægning af interplanetariske missioner.
Bemærk, at i tilfælde af en hyperbolsk bane, er den samlede energi positiv. I tilfælde af en elliptisk bane er den samlede energi negativ.
Excentriciteten ( ) af den hyperbolske bane er større end én. Det er direkte relateret til vinklen mellem asymptoterne. Med en excentricitet lidt større end én ligner hyperbelen bogstavet V. Når asymptoterne skærer hinanden i rette vinkler. Når vinklen mellem asymptoterne er mere end 120°, overstiger den pericentriske afstand værdien af den store halvakse. Med en yderligere stigning i excentriciteten nærmer banen sig en lige linje.
Vinklen mellem retningen til periapsis og asymptoten fra det centrale legeme er en sand anomali , da afstanden har en tendens til uendelig ( ), derfor er den en ekstern vinkel til vinklen mellem retningerne for tilgang og fjernelse af kroppen (mellem asymptoter). Derefter
ellerAnslagsparameteren er den afstand, hvor legemet, hvis det fortsatte med at bevæge sig langs den uforstyrrede bane, nærmede sig det centrale legeme i det øjeblik, dets nærmeste passage. Da legemerne har en gravitationseffekt på hinanden, og det ene legeme bevæger sig langs en hyperbolsk bane rundt om det andet, vil anslagsparameteren være lig med hyperbelens mindre halvakse.
Når et rumfartøj eller en komet nærmer sig en planet, skal nedslagsparameteren og hastigheden ved det uendelige kendes nøjagtigt. Hvis parametrene for det centrale legeme er kendt, så kan kredsløbet for det nærme legeme bestemmes, herunder afstanden ved periapsis. Hvis målafstanden er mindre end planetens radius, vil der ske en kollision. Minimumsafstanden (afstanden ved periapsis) bestemmes af formlen
Når en komet nærmer sig Jorden ( effektiv radius er ca. 6400 km) med en hastighed på 12,5 km/s (den mindste hastighed af Jorden, der nærmer sig et legeme fra det ydre område af solsystemet ), vil nedslaget ikke forekomme, hvis nedslaget parameter er mere end 8600 km (34% mere end Jordens radius). Et legeme, der nærmer sig Jupiter (med en radius på 70.000 km) med en hastighed på 5 km/s, vil have brug for en stødafstand på mere end 770.000 km, hvilket er 11 gange større end Jupiters radius, for at undgå stød.
Hvis massen af det centrale legeme er ukendt, kan værdien af gravitationsparameteren bestemmes ud fra afvigelsen af det lille legemes bane, hvis tilgangshastigheden og sigteafstanden er kendt. Da de sidstnævnte værdier normalt bestemmes ret nøjagtigt, kan en forbiflyvning af en planet give et skøn over dens masse.
, hvor er lig med den vinkel, hvormed den lille krop afviger fra den indledende retlinede bane.På en hyperbolsk bane er den sande anomali relateret til afstanden mellem cirkulerende legemer ( ) ved hjælp af kredsløbsligningen:
Forholdet mellem den sande anomali θ og den excentriske anomali E har formen
ellerDen excentriske anomali E er relateret til den gennemsnitlige anomali M ved Kepler-ligningen :
Den gennemsnitlige anomali er proportional med tiden:
hvor μ er gravitationsparameteren, a er banens semi-hovedakse.Vinklen φ mellem hastighedsvektoren og vinkelret på radiusvektoren er givet ved
Under standardantagelser kan kredsløbshastigheden ( ) af et legeme, der bevæger sig langs en hyperbolsk bane, beregnes som følger:
hvor
er gravitationsparameteren, er afstanden fra den centrale krop til den cirkulerende, er kredsløbets semi-hovedakse (negativ i dette tilfælde).Under standardantagelser, for enhver position af kroppen i kredsløb, vil følgende forhold mellem orbitalhastighed ( ), lokal flugthastighed ( ) og hyperbolsk overskydende hastighed ( ) være gyldig:
Bemærk, at i dette tilfælde vil en tilstrækkelig lille ekstra værdi af Δ v til den hastighed, der kræves for at bevæge kroppen til det uendelige, føre til en kraftig stigning i hastigheden på uendelig afstand. For eksempel, på et punkt, hvor flugthastigheden er 11,2 km/s , vil tilføjelse af 0,4 km/s resultere i et hyperbolsk overskud på 3,02 km/s :
Dette eksempel illustrerer Oberth-effekten . Den omvendte effekt er også manifesteret: kroppen har ikke brug for en kraftig deceleration sammenlignet med det hyperbolske overskud af hastighed (for eksempel deceleration af atmosfæren ved periapsis-punktet) for at hastigheden skal være mindre end flugthastigheden og kroppen at blive fanget af det tiltrækkende center.
En radial hyperbolsk bane er en ikke-periodisk radial bane , hvor kroppens relative hastighed altid overstiger flugthastigheden. Der er to tilfælde: kroppe bevæger sig væk fra hinanden eller mod hinanden. En sådan bane er en hyperbolsk bane med en halv-minor-akse på nul, excentriciteten er lig med en.
I sammenhæng med to-legeme-problemet i den generelle relativitetsteori har objekternes baner, hvis energi er tilstrækkelig til at overvinde hinandens gravitationelle tiltrækning, ikke form af en hyperbel. Alligevel bruges udtrykket hyperbolsk bane til at beskrive baner af denne type.
![]() |
---|