Bi-elliptisk overførselsbane

Биэллиптическая переходная орбита — в космонавтике и аэрокосмической технике орбита манёвра , при котором космический аппарат переходит с одной орбиты на другую. В некоторых случаях биэллиптический переход требует меньшей характеристической скорости дельтаё- vsk , чус .

En bi-elliptisk bane består af to halvdele af elliptiske baner . $r_{b}$

Биэллиптические перелёты обычно требуют больше топлива и времени, чем гомановские, но некоторые биэллиптические траектории требуют меньшей суммарной дельта-v, чем гомановская траектория, в случае отношения больших полуосей конечной и начальной траектории, превышающего 11,94, в зависимости от большой полуоси промежуточной орбиты [ 2] .

Ideen om en bi-elliptisk overførselsbane blev først introduceret i et papir af Ari Sternfeld i 1934 [3] .

Beregninger

Delta-v

Tre værdier af hastighedsændring kan opnås direkte fra energiintegralet,

v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),

hvor

v

er køretøjets hastighed i kredsløb,

\mu=GM

er gravitationsparameteren for det tiltrækkende legeme,

r

er afstanden fra det tiltrækkende centrum til kroppen i kredsløb,

-en

er den semi- hovedakse i kroppens kredsløb.

I det undersøgte problem

r_{1}

er radius af den oprindelige cirkulære bane,

r_{2}

er radius af den endelige cirkulære bane,

r_{b}

er radius af det fælles apocenter af to elliptiske segmenter af overførselsbanen, den frie manøvreparameter,

a_{1}

og er lig med de store halvakser af de elliptiske segmenter af overføringsbanen, er givet ved lighederne

a_{2}

a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2)),

a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}.

Når man starter fra en indledende cirkulær bane med radius (mørkeblå cirkel i figuren), vil tilføjelse af hastighed i bevægelsesretningen (vektor ved position 1 i figuren) føre rumfartøjet til det første elliptiske segment af overførselsbanen (turkis linje) . Den nødvendige delta-v er $r_{1}$

\Delta v_{1}={\sqrt ({\frac {2\mu }{r_{1))}-{\frac {\mu }{a_{1))))}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1))))

Når apocenteret af det første elliptiske segment nås i en afstand af , får rumfartøjet en ekstra hastighed en anden gang i bevægelsesretningen (vektor ved position 2 i figuren), som et resultat, i den nye elliptiske bane ( orange kurve), er pericentret ved kontaktpunktet for den endelige cirkulære bane. Den nødvendige værdi for overgangen til denne del af overførselsbanen er lig med $r_{b}$

\Delta v_{2}={\sqrt ({\frac {2\mu }{r_{b))}-{\frac {\mu }{a_{2))))}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.

Til sidst, når den endelige cirkulære bane med radius er nået, får rumfartøjet en anti-orbital hastighedsvektor (vektor i position 3 i figuren) for at bevæge sig til den endelige cirkulære bane (rød cirkel). Den sidste tilføjelse af hastighed er $r_{2}$

\Delta v_{3}={\sqrt ({\frac {2\mu }{r_{2))}-{\frac {\mu }{a_{2))))}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2))))

Hvis , så transformeres manøvren til en Hohmann-bane (i dette tilfælde er den lig nul). Derfor repræsenterer den bi-elliptiske bane en mere generel type bane end Hohmann. ${\displaystyle r_{b}=r_{2))$ ${\displaystyle \Delta v_{3))$

Den maksimale besparelse i form af inkrementel hastighed kan beregnes under forudsætning af, at den samlede værdi bliver . $r_{b}=\infty$ $\Delta v$ ${\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}} }\ret)$

I dette tilfælde kaldes overgangen biparabolsk, da begge dele af banen ikke er ellipser, men parabler. Flyvetiden har også en tendens til at være uendelig.

Flyvetid

Som med en Hohmann-flyvning er begge dele af den bane, der bruges i en bi-elliptisk flyvning, præcis halve ellipser. Det betyder, at den tid, der kræves for at overvinde hver overgangsfase, er halvdelen af omløbsperioden for hver ellipse.

Vi bruger ligningen for omløbsperioden og ovenstående notation:

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.

Den samlede rejsetid er derfor summen af tiderne for hver halvdel af ellipserne $t$

t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}},\quad \quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}.

Sidste tidsinterval:

t=t_{1}+t_{2}.

Sammenligning med Hohmanns bane

Delta-v

Figuren viser den samlede værdi , der kræves for at gå fra en cirkulær bane med radius til en anden cirkulær bane med radius . Værdien er normaliseret til orbitalhastigheden af den initiale bane og præsenteres som en funktion af forholdet mellem radierne af den endelige og initiale bane ; således er sammenligningen af mængder generel, ikke afhængig af og individuelt, men kun af deres forhold [2] . $\Delta v$ $r_{1}$ $r_{2}$ $\Delta v$ $v_{1}$ ${\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1))$ $r_{1}$ $r_{2}$

Den sorte kurve viser værdien for Hohmann-banen, de farvede kurver svarer til bi-elliptiske baner med forskellige værdier af parameteren , defineret som afstanden til apocenteret af den bi-elliptiske bane divideret med radius af den indledende bane , og angivet ved siden af kurverne. Indsatsen viser et nærbillede af området, hvor kurverne for de bielliptiske baner skærer kurven for Hohmann-kredsløbet for første gang. $\Delta v$ ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1))$ $r_{b}$

Det kan ses, at Hohmann-flyvningen er mere effektiv, når forholdet mellem radier er mindre end 11,94. På den anden side, hvis radius af den endelige bane er mere end 15,58 gange radius af den oprindelige bane, kræver enhver bielliptisk overgang, uanset den apocentriske afstand (den skal stadig overskride radius af den endelige bane), mindre end Hohmann-banen. I området fra 11.94 til 15.58 afhænger effektiviteten af en eller anden bane af den apocentriske afstand . Givet i dette interval eksisterer der en værdi, over hvilken en bi-elliptisk bane foretrækkes, og under hvilken en Hohmann-bane foretrækkes. Følgende tabel viser værdier for nogle tilfælde [4] . $R$ $\Delta v$ $r_{b}$ $R$ $r_{b}$ ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1))$

Minimum er sådan, at en bielliptisk bane kræver mindre . [5]

{\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1))

\Delta v

Forholdet mellem radierne af banerne, ${\displaystyle r_{2}/r_{1))$	Minimum ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1))$	Kommentar
0 - 11,94	-	Gomanov-flyvning er bedre
11,94	$\infty$	Biparabolsk bane
12	815,81
13	48,90
fjorten	26.10
femten	18.19
15,58	15,58
over 15.58	mere ${\displaystyle r_{2}/r_{1))$	Enhver bi-elliptisk bane er bedre

Flyvetid

Lang flyvetid i en bi-elliptisk bane

t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\ mu }}}

er en væsentlig ulempe ved en sådan orbital manøvre. I tilfælde af en biparabolsk bane bliver flyvetiden uendelig.

Hohmann-flyvningen tager normalt kortere tid, da bevægelsen kun sker langs halvdelen af ellipsen af overførselsbanen:

t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.

Eksempel

For at overføre fra en lav cirkulær bane med radius r 0 = 6700 km rundt om Jorden til en ny cirkulær bane med radius r 1 = 93 800 km ved hjælp af Hohmann-banen, kræves Δ v lig med 2825,02 + 1308,70 = 4133; 72 m/ s. Da r 1 \u003d 14 r 0 > 11,94 r 0 , så vil den bi-elliptiske bane give dig mulighed for at bruge mindre Δ v . Hvis rumfartøjet først tildeles en ekstra hastighed på 3061,04 m/s, og dermed overføres til en elliptisk bane med en apogeum ved r 2 = 40 r 0 = 268.000 km, og derefter ved apogee gives yderligere 608,825 m/s for at nå en ny kredsløb med perigeum i en afstand r 1 = 93.800 km, og ved slutningen af manøvren i pericentret af den anden sektion af overføringsbanen reduceres hastigheden med 447.662 m/s, overfører apparatet til den endelige bane, hvorefter den samlede værdi af Δ v vil være lig med 4117,53 m/s, hvilket er 16,19 m/s (0,4%) mindre end med Hohmann-banen.

Faldet i værdien af Δ v kan øges med en stigning i den mellemliggende apogeum, mens flyvetiden øges. For eksempel ved apogeum 75,8 r 0 = 507.688 km (1,3 gange den gennemsnitlige afstand fra Jorden til Månen), vil faldet i Δ v i forhold til Hohmann-banen være 1 %, men flyvningen vil tage 17 dage. Hvis der er tale om en ekstrem stor afstand ved apocenteret, 1757 r 0 = 11.770.000 km (30 gange den gennemsnitlige afstand fra Jorden til Månen), vil besparelsen være 2 % i forhold til Hohmann-banen, men flyvningen vil tage 4,5 år (eksklusive gravitationsforstyrrelser fra andre legemer i solsystemet). Til sammenligning vil en flyvning langs Hohmann-banen tage 15 timer og 34 minutter.

Δ v for forskellige flymuligheder

Type	Gohmanns bane	Bi-elliptisk bane
Apogee, km	93 800	268.000	507 688	11 770 000	∞
Hastighedstillæg 1 (m/s)	2825,02	3061.04	3123,62	3191,79	3194,89
Hastighedstillæg 2 (m/s)	1308,70	608.825	351.836	16,9336	0
Hastighedstillæg 3 (m/s)	0	−447.662	−616.926	−842.322	-853.870
Samlet værdi (m/s)	4133,72	4117,53	4092,38	4051.04	4048,76
Holdning	100 %	99,6 %	99,0 %	98,0 %	97,94 %

Δ v er rettet i bevægelsesretningen
(negativ værdi) Δ v er rettet mod bevægelsen

I en bi-elliptisk bane overføres det meste af Δ v i det første øjeblik, hvilket giver et stort bidrag til kroppens kredsløbsenergi.

Noter

↑ Curtis, Howard. Orbital Mekanik for ingeniørstuderende (engelsk) . - Elsevier , 2005. - S. 264. - ISBN 0-7506-6169-0 .
↑ 1 2 Vallado, David Anthony. Grundlæggende om astrodynamik og applikationer . - Springer, 2001. - S. 318. - ISBN 0-7923-6903-3 .
↑ Sternfeld, Ary J. [ sic ] (1934-02-12), Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée , Comptes rendus de l'Académie des sciences (Paris) T. 198(1): 711–713 , < https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31506/f711.image.langEN > Arkiveret 25. september 2020 på Wayback Machine
↑ Gobetz, FW; Doll, JR A Survey of Impulsive Trajectories // AIAA Journal : journal. — American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1969. - Maj ( bd. 7 , nr. 5 ). - s. 801-834 . - doi : 10.2514/3.5231 .
↑ Escobal, Pedro R. Methods of Astrodynamics. - New York: John Wiley & Sons , 1968. - ISBN 978-0-471-24528-5 .

Baner

Typer

Hoved	Boksbane Fang bane cirkulær bane Elliptisk kredsløb / Høj elliptisk kredsløb Care Orbit Begravelseskredsløb Hyperbolsk bane Skrå kredsløb / Ikke-skrå kredsløb Oskulerende kredsløb Parabolsk bane Referencekredsløb (inklusive lav ) synkron bane ( Halvsynkron subsynkron ) Stationær bane
Geocentrisk	geosynkron bane geostationær bane Solsynkron bane Lav kredsløb om jorden Medium Jordbane Høj Jordbane Orbit "Lyn" Ækvatorisk kredsløb Månens kredsløb polær bane Orbit "Tundra" TLE
Omkring andre himmellegemer og punkter	Areosynkron bane Areostationær bane halo kredsløb Orbit Lissajous månens kredsløb Heliocentrisk bane Solsynkron bane

Muligheder

Klassisk	$jeg\,\!$ Humør $\Omega\,\!$ Stigende node længdegrad $e\,\!$ Excentricitet $\omega\,\!$ periapsis argument $en\,\!$ Hovedakse $M_o\,\!$ Gennemsnitlig anomali pr. epoke
Andet	$\nu\,\!$ Sand anomali $b\,\!$ Lille akse $E\,\!$ Excentrisk anomali $L\,\!$ Gennemsnitlig længdegrad $l\,\!$ ægte længdegrad $T\,\!$ Omløbsperiode

Orbitale manøvrer
Bi-elliptisk overførselsbane Karakteristisk hastighedsmargin geotransfer kredsløb Tyngdekraftsmanøvre Tyngdekraftsdrejning Hohmann kredsløb Lavpris overgangsvej Oberth effekt Orbital hældningsændring Fasning af kredsløb Docking Transponering, docking og ekstraktion tilbagetrækningsmanøvre

Andre emner inden for astrodynamik

Himmelsk koordinatsystem
Ækvatorial koordinatsystem
Epoke
Ephemeris
Keplers love
Gravitationelt N-legeme problem
Lagrange punkter
Perturbation
Interplanetarisk transportnetværks
kredsløbsligning
Apocenter og periapsis
Orbital hastighed
Gravity parameter
Orbitale tilstandsvektorer
Særlig orbital energi
Specielt relativ drejningsmoment
direkte bevægelse
retrograd bevægelse
Banebane