Reduceret masse

Den reducerede masse er en betinget karakteristik af fordelingen af masser i et bevægeligt mekanisk eller blandet (f.eks. elektromekanisk) system, afhængigt af systemets fysiske parametre (masser, inertimomenter , induktans osv.) og på dens bevægelseslov [1] .

Normalt bestemmes den reducerede masse ud fra ligheden , hvor er systemets kinetiske energi , og er hastigheden af det punkt i systemet, hvortil massen er reduceret. I en mere generel form er den reducerede masse inertikoefficienten i udtrykket for den kinetiske energi af et system med stationære begrænsninger , hvis position er bestemt af generaliserede koordinater : $\mu$ $T=\mu v^{2}\,/2$ $T$ $v$ $\mu _{{ij}}$ $n$ ${\displaystyle r_{i))$

2T=\sum _{i,\,j=1}^{n}\mu _{ij}\,{\dot {r_{i))}{\dot {r_{j))}\ ,,

hvor prikken betyder differentiering med hensyn til tid, og er funktioner af generaliserede koordinater. $\mu _{ij}\$

To-kropsproblem

I to-kropsproblemet , som for eksempel opstår i himmelmekanik eller spredningsteori , optræder den reducerede masse som en slags effektiv masse, når to-kropsproblemet reduceres til to problemer om en krop. Overvej to kroppe: en med masse og den anden med masse . I det ækvivalente et-legeme problem betragter man bevægelsen af et legeme med en reduceret masse lig med $m_{1}\$ $m_{2}\$

\mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1 }+m_{2}}}\ ,

hvor kraften, der virker på denne masse, er givet af kraften, der virker mellem disse to legemer. Det kan ses, at den reducerede masse er lig med halvdelen af den harmoniske middelværdi af de to masser.

Den reducerede masse er altid mindre end hver af masserne , eller eller lig med nul, hvis en af masserne er lig nul. Lad massen være meget mindre end massen ( ), så bliver det omtrentlige udtryk for den reducerede masse $m_{1}\$ $m_{2}\$ $m_{2}\$ $m_{1}$ $m_{2}\ll m_{1}$

\mu ={\frac {m_{2}}{1+m_{2}/m_{1}}}\ca. m_{2}(1-{\frac {m_{2}}{m_{ 1))})\ca. m_{\mathrm {2} }\ .

Newtonsk mekanik

Ved hjælp af Newtons anden lov kan det konstateres, at virkningen af krop 2 på krop 1 er givet af kraften

\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.

Krop 1 påvirker krop 2 gennem kraft

\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.

I kraft af Newtons tredje lov er disse to kræfter lige store og modsatte i retning:

\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.

Således har vi

m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}

eller

\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.

Så vil den relative acceleration mellem to legemer blive givet ved

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2))}\right )\mathbf {a} _{1}={{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}= {\mathbf {F} _{12} \over \mu }.

Så kan vi konkludere, at krop 1 bevæger sig i forhold til positionen af krop 2 (og i kraftfeltet for krop 2) som et legeme med en masse lig med den reducerede masse . $\mu$

Lagrange mekanik

To-kropsproblemet kan også beskrives i den lagrangske tilgang . Lagrange-funktionen er forskellen mellem den kinetiske og potentielle energi. I denne opgave, denne

L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r)) _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r }} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)

hvor er radiusvektoren for den i -te partikel med masse . Potentiel energi afhænger af afstanden mellem partikler. Lad os definere vektoren ${\mathbf {r}}_{i}$ $m_{i}$

{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2))

og lad massecentret definere referencerammen

m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0

Derefter omdefineres massepositionsvektorerne som $m_{i}$

\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2))},\,\,\mathbf {r} _ {2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2))}.

Så kan den nye Lagrange-funktion omskrives som

L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r)) ^{2}-V(r),

hvorfra det kan ses, at problemet med to kroppe blev reduceret til problemet med bevægelsen af en krop.

Ansøgning

Den reducerede masse kan være relateret til mere generelle algebraiske udtryk , der definerer forholdet mellem systemets elementer og har formen

\ {1 \over x_{\text{eq}}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+ {1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}\ ,

hvor er karakteristikken for systemets i -te element (for eksempel modstanden af en modstand i et parallelkredsløb ), er den ækvivalente karakteristik af hele systemet af n elementer (for eksempel impedansen af en parallel sektion af kredsløbet). Udtryk af denne art optræder i mange områder af fysikken . $x_{i}\$ $x_{eq}\$

Konceptet med den reducerede masse kan findes i ingeniørvidenskab , for eksempel ved beregning af strukturer for stødbelastning [2] .

Noter

↑ S. M. Targ . Reduceret masse // Physical Encyclopedia : [i 5 tons] / Ch. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - S. 110. - 704 s. - 40.000 eksemplarer. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ A.I. Rusakov Korrekt beregning af reducerede masser ved stød . Vestnik RGUPS, nr. 2, 2003 . Dato for adgang: 18. januar 2010. Arkiveret fra originalen 19. februar 2012. (ubestemt)

Se også

To kropsproblem