Birkhoffs aksiomer

Birkhoffs aksiomer er et system af fire postulater i euklidisk geometri. Disse postulater er baseret på udsagn, der kan verificeres ved at tage mål med en vinkelmåler og lineal.

Reelle tal bruges i formuleringen af postulaterne . Derfor ligner systemet i Birkhoffs postulater indførelsen af euklidisk geometri ved hjælp af en model .

Historie

Foreslået af George Birkhoff [1] . Birkhoff bidrog til at skrive en skolebog ved hjælp af dette aksiomsystem. [2] Dette system påvirkede systemet af aksiomer udviklet af School Mathematics Study Group skole

Flere senere bøger om fundamenter for geometri, bøger [3] , [4] og [5] bruger en aksiomatisk tæt på Birkhoffs.

Postulater

Postulat I: Sættet af punkter { A, B , …} på enhver linje tillader en bijektion på reelle tal { a, b , … }, således at

|ba|=d(A,B)

for alle punkt A og B.

Postulat II: Der er én og kun én linje ℓ , der indeholder to forskellige punkter P og Q.

Postulat III: Sættet af stråler { ℓ,m, n ,…} med oprindelse i ethvert punkt O tillader en bijektion til sættet af reelle tal modulo 2 π , således at hvis A og B er punkter (andre end O ) på strålerne hhv. ℓ og m , så . Desuden, hvis punktet B på m bevæger sig kontinuerligt langs en ret linje p , der ikke indeholder toppunktet O , så ændres tallet a m også kontinuerligt. $a_{m}-a_{\ell }\equiv \angle AOB{\pmod {2\cdot \pi }}$

Postulat IV . Antag to trekanter og er sådan, at , For nogle reelle tal og , Så , og . $ABC$ $A'B'C'$ $d(A',B')=k\cdot d(A,B)$ $d(A',C')=k\cdot d(A,C)$ $k>0$ $\angle B'A'C'=\pm \angle BAC{\pmod {2{\cdot }\pi }}$ $d(B',C')=k\cdot d(B,C)$ $\angle A'C'B'=\pm \angle ACB{\pmod {2{\cdot }\pi }}$ $\angle C'B'A'=\pm \angle CBA{\pmod {2{\cdot }\pi }}$

Se også

Noter

↑ Birkhoff, George David (1932), A Set of Postuates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors) , Annals of Mathematics bind 33: 329–345 , DOI 10.2307/1968336
↑ Birkhoff, George David & Beatley, Ralph (2000), Basic Geometry (3. udgave), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
↑ Kelly, Paul Joseph & Matthews, Gordon (1981), Det ikke-euklidiske, hyperbolske plan: dets struktur og konsistens , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9
↑ Martin, George E. Grundlaget for geometri og det ikke-euklidiske plan. ISBN: 0-387-90694-0
↑ Anton Petrunin. Euklidisk fly og dets slægtninge; en minimalistisk introduktion . - 2017. - ISBN 978-1974214167 .