Betinget forventning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 10. november 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Den betingede matematiske forventning i sandsynlighedsteori er gennemsnitsværdien af en stokastisk variabel under en bestemt betingelse (implementering af nogle hændelser). Ofte fungerer værdien af en anden stokastisk variabel, der er fastgjort på et eller andet niveau, som kan relateres til den givne, som en betingelse (hvis disse stokastiske variable er uafhængige, så falder den betingede matematiske forventning sammen med den (ubetingede) matematiske forventning). I dette tilfælde betegnes den betingede matematiske forventning til en stokastisk variabel , forudsat at den stokastiske variabel har taget en værdi, henholdsvis betegnet som den kan betragtes som en funktion af . Denne funktion kaldes regressionsfunktionen af en tilfældig variabel af en tilfældig variabel, og derfor betegnes den betingede matematiske forventning som , det vil sige uden at angive en fast værdi . $Y$ $x$ $x$ $E(Y|X=x)$ $x$ $Y$ $x$ $E(Y|X)$ $x$

Betinget forventning er et kendetegn ved en betinget fordeling .

Definitioner

Vi antager, at vi får et sandsynlighedsrum . Lad være en integrerbar tilfældig variabel , dvs. Lad også være en σ-subalgebra af σ-algebraen . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $\mathbb {E} \vert X\vert <\infty$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

ULV med hensyn til σ-algebraen

En stokastisk variabel kaldes en betinget forventning med hensyn til σ-algebraen if ${\hat {X}}$ $x$ ${\mathcal {G}}$

${\hat {X}}$ målbar mht . ${\mathcal {G}}$
$\forall A\in {\mathcal {G)),\quad \mathbb {E} \left[{\hat {X}}\mathbf {1} _{A}\right]=\mathbb {E} [X \mathbf {1} _{A}]$ ,

hvor er indikatoren for hændelsen (med andre ord, det er den karakteristiske funktion af set-hændelsen, hvis argument er en tilfældig variabel eller et elementært udfald). Den betingede matematiske forventning er betegnet med . $\mathbf {1} _{A}$ $EN$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$

Eksempel. Lad os sætte . Så er en σ-algebra, og . Lad den stokastiske variabel have formen $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ ${\mathcal {G}}=\{\varnothing ,\{1,2\},\{3,4\},\Omega \}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $x$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Derefter

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}](\omega )=\venstre\{{\begin{matrix}{\frac {5}{2)),&\omega =1,2 \\[5pt]{\frac {25}{2}},&\omega =3,4.\end{matrix}}\right.

UMO vedrørende begivenhedernes familie

Lad være en vilkårlig familie af begivenheder. Så kaldes den betingede matematiske forventning relativt ${\mathcal {C}}=\{C_{\alpha }\}\subset {\mathcal {F}}$ $x$ ${\mathcal {C}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}]\equiv \mathbb {E} [X\midt \sigma ({\mathcal {C}})]

hvor er den minimale sigma-algebra indeholdende . $\sigma ({\mathcal {C}})$ ${\mathcal {C}}$

Eksempel. Lad også . Så . Lad den stokastiske variabel have formen $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ $C=\{1,2,3\}$ $\sigma (C)=\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{4\},\Omega \}\subset {\mathcal {F))$ $x$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Derefter

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}](\omega )=\venstre\{{\begin{matrix}{\frac {14}{3)),&\omega =1,2 ,3\\[5pt]16,&\omega =4.\end{matrix}}\right.

ULV i forhold til en tilfældig variabel

Lad en anden tilfældig variabel. Så kaldes den betingede matematiske forventning relativt $Y:\Omega \to \mathbb {R}$ $x$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]\equiv \mathbb {E} [X\midt \sigma (Y)]

hvor er σ-algebraen genereret af den stokastiske variabel . $\sigma (Y)$ $Y$

En anden definition af ULV handler om : $x$ $Y$

$\mathbb {E} (X\mid Y)=\mathbb {E} (X\mid Y=y)\midt _{y=Y}$

Denne definition beskriver konstruktivt algoritmen til at finde ULV:

find den matematiske forventning til en tilfældig variabel ved at tage som en konstant ; $x$ $Y$ $y$
Erstat derefter tilbage med en tilfældig variabel i det resulterende udtryk . $y$ $Y$

Eksempel : $X\equiv N(a,\sigma ^{2})$

$\mathbb {E} \left[{\frac {X}{Y}}\mid Y\right]=\mathbb {E} \left[{\frac {X}{y}}\right]\mid _{ y=Y}={\frac {1}{y}}\mathbb {E} [X]\mid _{y=Y}={\frac {a}{y}}\mid _{y=Y} ={\frac {a}{Y}}$

Betinget sandsynlighed

Lad være en vilkårlig begivenhed og vær dens indikator. Så kaldes den betingede sandsynlighed relativt $B\in {\mathcal {F}}$ $\mathbf {1} _{B}$ $B$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G}})\equiv \mathbb {E} [\mathbf {1} _{B}\mid {\mathcal {G}}]

Noter

Den betingede forventning er en tilfældig variabel, ikke et tal.
Den betingede matematiske forventning er defineret op til nul sandsynlighedsbegivenheder . Således, hvis og - næsten overalt , så . Efter at have identificeret tilfældige variable, der kun adskiller sig på begivenheder med sandsynlighed nul, opnår vi det unikke ved den betingede matematiske forventning. ${\hat {X}}_{1}=\mathbb {E} [X\midt {\mathcal {G}}]$ ${\hat {X}}_{1}={\hat {X}}_{2}$ $\mathbb {P}$ ${\hat {X}}_{2}=\mathbb {E} [X\midt {\mathcal {G}}]$
Tager vi, får vi per definition: $A=\Omega$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]]

og især den samlede sandsynlighedsformel er gyldig :

\mathbb {P} (B)=\mathbb {E} [\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G)))]

Lad en σ-algebra genereres af en partition . Derefter ${\mathcal {G}}=\sigma (C_{1},\ldots ,C_{n})$ $\{C_{i}\}_{i=1}^{\infty }$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid C_{i}]\mathbf {1} _{C_{i}}

Især den samlede sandsynlighedsformel har den klassiske form:

\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid C_{i})\mathbf { 1 }_{C_{i}}

og følgelig

\mathbb {E} [\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A \ mid C_{i})\mathbb {E} [\mathbf {1} _{C_{i}}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\ mid C_{i})\,\mathbb {P} (C_{i})=\mathbb {P} (A)

Grundlæggende egenskaber

Hvis , så eksisterer der en Borel-funktion sådan ${\hat {X}}=\mathbb {E} [X\midt Y]$ $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

{\hat {X}}=h(Y)

Den betingede forventning til en begivenhed er per definition lig med $x$ $\{Y=y\}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y]\equiv h(y)

Hvis a.s. , så a.s. $X\geq 0$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\geq 0$
Hvis uafhængig af , så $x$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Især hvis uafhængige tilfældige variabler, så $X,Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Hvis er to σ-algebraer sådan, at , Så ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2}$ ${\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$

\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\mathbb {E} [X\ mid {\mathcal {G}}_{1}]

Hvis — er målbar, og — er en tilfældig variabel, således at , så $x$ ${\mathcal {G}}$ $Y$ $Y,XY\i L^{1}$

\mathbb {E} [XY\mid {\mathcal {G}}]=X\,\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {G}}]

"Forventning fjerner tilstanden." Denne regel gælder for ULV med hensyn til en stokastisk variabel (ULV i dette tilfælde vil være en stokastisk variabel) og for den betingede sandsynlighed for en stokastisk variabel

\mathbb {E} [\mathbb {E} (X\mid Y)]=\mathbb {E} (X)

Yderligere egenskaber

ULV for diskrete mængder

Lade være en diskret stokastisk variabel, hvis fordeling er givet af sandsynlighedsfunktionen . Så er hændelsessystemet en partition , og $Y$ $\mathbb {P} (Y=y_{j})\equiv p_{Y}(y_{j})=p_{j}>0,\;j=1,2,\ldots$ $\{Y=y_{j}\}$ $\Omega$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\sum \limits _{j=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]\mathbf {1} _{ \{Y=y_{j}\}}

-en

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\mathbb {E} _{j}[X]

hvor betyder den matematiske forventning , taget i forhold til den betingede sandsynlighed . $\mathbb {E} _{j}$ $\mathbb {P} _{j}(\cdot )=\mathbb {P} (\cdot \mid Y=y_{j})$

Hvis den stokastiske variabel også er diskret, så $x$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,\mathbb {P} (X=x_{i} \mid Y=y_{j})=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y_{j})

hvor er den betingede sandsynlighedsfunktion af en stokastisk variabel med hensyn til . $p_{X\midt Y}$ $x$ $Y$

ULV for absolut kontinuerte tilfældige variable

Lade være tilfældige variable sådan, at vektoren er absolut kontinuert , og dens fordeling er givet af sandsynligheden tæthed . Lad os introducere den betingede tæthed , indstilling per definition $X,Y$ $(X,Y)^{\top }$ $f_{{X,Y}}(x,y)$ $f_{X\midt Y}$

f_{X\mid Y}(x\midt y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)))

hvor er sandsynlighedstætheden af den stokastiske variabel . Derefter $f_{Y}$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=h(Y)

hvor funktionen har formen $h$

h(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\midt y)\,dx

I særdeleshed,

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\midt y_{j} )\,dx

UMO i L 2

Overvej rummet af stokastiske variable med endeligt andet moment . Det definerer det skalære produkt $L^{2}$

\langle X,Y\rangle \equiv \mathbb {E} [XY],\;\foralt X,Y\in L^{2}

og den norm , der genereres af det

\|X\|={\sqrt {\mathbb {E} \venstre[X^{2}\right]}},\;\forall X\in L^{2}

Sættet af alle tilfældige variable med endeligt andet moment og målbare med hensyn til , Hvor , er et underrum af . Så operatøren givet af ligheden $L_{\mathcal {G}}^{2}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $L^{2}$ $\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}:L^{2}\til L^{2}$

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}(X)=\mathbb {E} [X\midt {\mathcal {G}}]

er den ortogonale projektionsoperator på . I særdeleshed: $L_{\mathcal {G}}^{2}$

Den betingede forventning er den bedste middel-kvadrat-approksimation ved -målbare tilfældige variable: $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ $x$ ${\mathcal {G}}$

\|X-\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\|=\inf \limits _{Z\in L_{\mathcal {G}}^{2}}\|XZ\ |

Den betingede forventning redder prikproduktet:

\langle X,Z\rangle =\langle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}],Z\rangle ,\;\forall Z\in L_{\mathcal {G}}^{2 }

Betinget forventning er idempotent :

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}^{2}=\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}

Se også

Betinget fordeling

Betyde
Matematik	Effektmiddel ( vægtet ) harmonisk middel vægtet geometrisk middelværdi vægtet Gennemsnit vægtet geometriske middelværdi Gennemsnitlig kubik glidende gennemsnit Aritmetisk-geometrisk middelværdi Funktion Middel Kolmogorov mener
Geometri	geometrisk centrum Barycenter
Sandsynlighedsteori og matematisk statistik	Winsoriseret middelværdi prøvegennemsnit Forventet værdi Median Mode standardafvigelse Afkortet middelværdi Betinget forventning
Informationsteknologi	Medoid k-median metode
Sætninger	Første middelsætning Anden middelsætning Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi
Andet	Distributionscenter-metrics