Betinget fordeling

En betinget fordeling i sandsynlighedsteori er fordelingen af en stokastisk variabel under den betingelse, at en anden stokastisk variabel får en bestemt værdi.

Definitioner

Vi vil antage, at der er givet et sandsynlighedsrum . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Diskrete tilfældige variabler

Lad og vær tilfældige variable således, at den tilfældige vektor har en diskret fordeling givet af sandsynlighedsfunktionen . Lad sådan at . Derefter funktionen $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (Y=y_{0})>0$

p_{X\mid Y}(x\midt y_{0})=\mathbb {P} (X=x\midt Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0} ) \over p_{Y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}

hvor er sandsynlighedsfunktionen af en stokastisk variabel , kaldes den betingede sandsynlighedsfunktion af en stokastisk variabel forudsat at . Fordelingen givet af den betingede sandsynlighedsfunktion kaldes den betingede fordeling. $p_{Y}$ $Y$ $x$ $Å=å_{0}$

Absolut kontinuerlige tilfældige variabler

Lad og vær stokastiske variable, således at den tilfældige vektor har en absolut kontinuert fordeling givet af sandsynlighedstætheden . Lade være sådan at , hvor er tætheden af den stokastiske variabel . Derefter funktionen $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $f_{Y}(y_{0})>0$ $f_{Y}$ $Y$

f_{X\mid Y}(x\midt y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}

kaldes den betingede sandsynlighedstæthed for en stokastisk variabel forudsat at . Fordelingen givet af den betingede sandsynlighedstæthed kaldes den betingede fordeling. $x$ $Å=å_{0}$

Egenskaber for betingede distributioner

Betingede sandsynlighedsfunktioner og betingede sandsynlighedstætheder er henholdsvis sandsynlighedsfunktioner og sandsynlighedstætheder, det vil sige, at de opfylder alle nødvendige betingelser. I særdeleshed,

$p_{X\mid Y}(x\midt y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,
$\sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\midt y_{0})=1,\;\foralt y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

$f_{X\mid Y}(x\midt y_{0})\geq 0$ næsten overalt _ $\mathbb {R} ^{m+n}$
$\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

Formlerne for total sandsynlighed er gyldige :

$p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\midt y)\,p_{Y}(y)$ ,
$f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\midt y)\,f_{Y}(y)\,dy$ .

Hvis de tilfældige variable og er uafhængige , så er den betingede fordeling lig med den ubetingede: $x$ $Y$

p_{X\mid Y}(x\midt y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}

eller

f_{X\mid Y}(x\midt y_{0})=f_{X}(x)

næsten overalt på .

\mathbb {R} ^{m}

Betingede sandsynligheder

Diskrete tilfældige variabler

Hvis er en tællig delmængde , så $EN$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\midt y_{0})

Absolut kontinuerlige tilfældige variabler

Hvis er en Borel- delmængde af , så sætter vi per definition $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\i A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\midt y_{0})\,dx

Kommentar. Den betingede sandsynlighed på venstre side af ligheden kan ikke defineres på klassisk vis, da . $\mathbb {P} (Y=y_{0})=0$

Betingede forventninger

Diskrete tilfældige variabler

Den betingede matematiske forventning af en stokastisk variabel under betingelsen opnås ved at summere med hensyn til den betingede fordeling: $x$ $Å=å_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\midt y_{0})

Den betingede matematiske forventning under betingelsen af en stokastisk variabel er den tredje stokastiske variabel givet af ligheden $x$ $Y$ $\mathbb {E} [X\midt Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \i \Omega

Absolut kontinuerlige tilfældige variabler

Den betingede matematiske forventning af en stokastisk variabel under betingelsen opnås ved at integrere med hensyn til den betingede fordeling: $x$ $Å=å_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\midt y_{0 })\,dx

Den betingede matematiske forventning under betingelsen af en stokastisk variabel er den tredje stokastiske variabel givet af ligheden $x$ $Y$ $\mathbb {E} [X\midt Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \i \Omega

Se også

Betinget forventning