Komposit nummer

Et sammensat tal er et naturligt tal , der har andre divisorer end en og sig selv. Hvert sammensat tal er produktet af to eller flere naturlige tal større end et [1] . Alle naturlige tal er opdelt i tre ikke-overlappende kategorier: primtal , sammensat og en [2] .

Start af sekvens af sammensatte tal ( A002808 )::

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100,. .

Relaterede begreber

Hvert naturligt tal større end et har mindst to divisorer, som kaldes trivielle : en og sig selv. Et tal er sammensat, hvis det har ikke-trivielle divisorer.

Et sammensat naturligt tal kaldes:

semisimple , hvis det kan repræsenteres som et produkt af to primtal (ikke nødvendigvis adskilt);
sphenic , hvis det kan repræsenteres som et produkt af tre primtal (ikke nødvendigvis forskellige);
fuld multiplum , hvis det kan repræsenteres som et produkt, hvor er naturlige tal. En ækvivalent definition: et tal er et fuldt multiplum, hvis tallet for nogen af dets primtalsdelere også er en divisor ; $a^{2}b^{3},$ $a,b$ $N$ $s$ $p^{2}$ $N$
superkomponent , hvis den har flere divisorer end et hvilket som helst mindre tal (de første to superkomponenttal er ikke sammensatte, de er 1 og 2).

Egenskaber

Den grundlæggende aritmetiske sætning siger, at ethvert sammensat tal kan dekomponeres til et produkt af primfaktorer og på en unik måde (op til rækkefølgen af faktorerne).

Lad os vise, at man i den naturlige række kan finde sekvenser af på hinanden følgende sammensatte tal af enhver længde. Lad n være et vilkårligt naturligt tal. Angiv:

N=(n+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots \cdot (n+1).

Så indeholder n på hinanden følgende tal kun sammensatte tal: deleligt med 2, deleligt med 3 osv. $N+2,N+3,N+4\dots N+(n+1)$ $N+2$ $N+3$

Faktorering af et tal

For at bestemme, om et givet naturligt tal er primtal eller sammensat, skal man finde dets ikke-trivielle divisorer eller bevise, at der ikke er nogen. I tilfælde af et lille tal er det en simpel opgave at finde dets divisorer; til dette kan du bruge delelighedskriterierne [3] eller specielle algoritmer angivet i artiklerne Simplicity test og Factorization of heltal . At finde divisorer af store tal (et faktisk problem i kryptografi ) kan være et problem, der overstiger moderne computeres muligheder. $N$ $N$

Variationer og generaliseringer

Begreberne primtal og sammensat tal kan defineres ikke kun for naturlige tal, men også for andre algebraiske strukturer; oftest overvejes kommutative ringe uden nuldelere ( integritetsdomæner ).

Eksempel 1. Heltalsringen indeholder to enhedsdelere (invertible elementer): og derfor har alle heltal, med undtagelse af enhedsdelere, ikke to, men mindst fire trivielle divisorer; for eksempel har tallet 7 divisorer. I denne henseende skal formuleringen af aritmetikkens hovedsætning rettes: ethvert sammensat tal kan dekomponeres til et produkt af primfaktorer og på en unik måde op til størrelsesordenen faktorer og deler af enhed. $+1$ $-en.$ $1;7;-1;-7.$

Prime heltal, som før, er dem, der ikke har nogen ikke-trivielle divisorer. Således er ringen af heltal opdelt i tre ikke-overlappende dele: primtal, kompositter og enhedsdelere.

Eksempel 2 . Ringen af Gaussiske heltal er dannet af komplekse tal, som er almindelige heltal. For tal af denne art kan man definere division med heltal efter generelle regler. Der er fire enhedsdelere: $a+bi,$ $a,b$ $1;-1;i;-i.$

Gaussiske primtal er en del af de almindelige primtal og "primtals-gaussians" (f.eks. ). Se Gaussisk talprimalitetskriterium . Et naturligt primtal er måske ikke et simpelt gaussisk tal; for eksempel er tallet 5 som et gaussisk tal sammensat: Aritmetikkens grundlæggende sætning er formuleret på nøjagtig samme måde som ovenfor for heltal [4] . $1+i$ $5=(2+i)(2-i).$

Eksempel 3 . Ringen af polynomier er dannet af polynomier med reelle koefficienter. Enhedsdelere her er numeriske konstanter, der ikke er nul (betragtes som polynomier af grad nul). Analogerne af primtal her vil alle være uopløselige ( irreducible ) polynomier, det vil sige polynomier af 1. grad og de polynomier af 2. grad, der ikke har reelle rødder (fordi deres diskriminant er negativ). Følgelig fungerer alle polynomier af grad større end den anden, såvel som polynomier af anden grad med en ikke-negativ diskriminant, som en analog af sammensatte tal. Og her foregår aritmetikkens hovedsætning og er formuleret på nøjagtig samme måde som angivet ovenfor for heltal [5] . $R[x]$

Noter

↑ BDT, 2004-2017 .
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 20-21.
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 21-22.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K. Algebra og aritmetik af komplekse tal. En guide til lærere. - M . : Uchpedgiz, 1939. - S. 147-149. — 187 s.
↑ Vinberg E. B. Algebra af polynomier. - M . : Uddannelse, 1980. - S. 122-124, 67-68. — 176 s.

Litteratur

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Sammensat nummer // Great Russian Encyclopedia [Elektronisk ressource]. - 2004-2017.

Links

Lister over primtal og faktoriserede sammensatte tal

Tal efter delelighedskarakteristika
Generel information	Faktorisering af heltal Delbarhed enhedsdeler Divisor funktion primtal Grundlæggende sætning for aritmetik Aritmetisk tal
Faktoriseringsformer	primtal Komposit nummer Semiprime rektangulært tal Sphenisk tal Kvadratløst tal Fuld multiple Perfekt grad Achilles nummer glat nummer Almindelig nummer groft tal usædvanligt antal
Med begrænsede divisorer	perfekt tal Lidt utilstrækkelige tal Lidt overflødige tal Multiperfekt tal Hemiperfekte tal hyperperfekt tal super perfekt nummer enhedsprimtal semiperfekt tal pararytmisk tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med mange divisorer	Overskydende tal Primitive overskydende tal Meget overflødige tal Super redundante numre Enormt overflødige tal supersammensat tal Et meget supersammensat tal mærkeligt nummer
Relateret til aliquot -sekvenser	helligt tal venlige tal offentlige numre Kvasivenlige tal
Andet	Ikke nok tal ven tal sublimerede tal Malmtal ydmygt nummer Lige cifre ekstravagant nummer