Direkte produkt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Et direkte eller kartesisk produkt af to sæt er et sæt, hvis elementer alle er mulige ordnede par af elementer af de originale sæt.

Begrebet et direkte produkt generaliserer naturligvis til et produkt af mængder med en yderligere struktur ( algebraisk , topologisk og så videre), da produktet af mængder ofte arver de strukturer, der var til stede på de oprindelige sæt.

Direkte produkt i mængdelære

Produktet af to sæt

Produktet af sættet {at, u, k} af regnbuens farver

i	i	i	i	i	i	i	i
og	og	og	og	og	og	og	og
til	til	til	til	til	til	til	til

Lad to sæt og få . Det direkte produkt af et sæt og et sæt er et sæt, hvis elementer er bestilt par for alle mulige og . Et ordnet par dannet af elementerne og er normalt skrevet med parenteser: . Elementet kaldes den første koordinat (komponent) af parret , og elementet kaldes den anden koordinat (komponent) af parret. $x$ $Y$ $x$ $Y$ $X \ gange Y$ $(x,y)$ $x\i X$ $y\i Y$ $-en$ $b$ $(a,b)$ $-en$ $b$

Det direkte produkt af to sæt kan visualiseres som en tabel, hvis rækker definerer elementerne i henholdsvis det første sæt og kolonnerne i det andet. Alle celler i denne tabel i dette tilfælde vil være elementer af det kartesiske produkt.

Ordet "bestilt" betyder, at for , . Således parrer og er lige hvis og kun hvis og . $x\ney$ $(x,y)\neq (y,x)$ $(a,b)$ $(c,d)$ $a=c$ $b=d$

Betydningen af "orden" kan illustreres ved eksemplet med den sædvanlige notation af tal: ved hjælp af to cifre 3 og 5, kan du skrive fire to-cifrede tal: 35, 53, 33 og 55. På trods af at tallene 35 og 53 er skrevet med de samme tal, disse tal er forskellige. I det tilfælde, hvor rækkefølgen af elementerne er vigtig, taler man i matematik om ordnede sæt af elementer.

I et bestilt par kan det være at . Så skrivning af tallene 33 og 55 kan betragtes som ordnede par (3; 3) og (5; 5). $(a,b)$ $a=b$

Afbildninger af produktet af mængder i dets faktorer - og - kaldes koordinatfunktioner . $\varphi\colon X\ gange Y\til X,\; \varphi(x,y)=x$ $\psi\kolon X\gange Y\til Y,\; \psi(x,y)=y$

Produktet af en endelig familie af mængder er defineret på samme måde.

Kommentarer

Strengt taget holder associativitetsidentiteten ikke, men på grund af eksistensen af en naturlig en-til-en korrespondance (bijection) mellem sæt , kan denne forskel ofte negligeres. $A \ gange (B \ gange C) = (A \ gange B) \ gange C$ $A \ gange (B\ gange C)$ $(A \ gange B) \ gange C$

Kartesisk grad

{0, 1, 2} 3 , 3 3 = 27 elementer
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

$n$ Den -te kartesiske potens af et sæt er defineret for ikke-negative heltal som det -fold kartesiske produkt med sig selv [1] : $x$ $n$ $n$ $x$

\begin{matrix} \underbrace{X\ gange X\ gange \ldots \ gange X}. \\ n \end{matrix}

Normalt betegnet som eller . $X^n$ $X^{\ gange n}$

Når den er positiv, består den kartesiske grad af alle ordnede sæt af længdeelementer . Så det reelle rum - sættet af tupler af tre reelle tal - er 3. potens af sættet af reelle tal $n$ $X^n$ $x$ $n$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb{R}.$

When , en kartesisk grad pr. definition, indeholder et enkelt element - en tom tupel. $n=0$ $X^0,$

Direkte produkt af en familie af sæt

Generelt, for en vilkårlig familie af sæt (ikke nødvendigvis forskellige) ( sættet af indekser kan være uendeligt ), er det direkte produkt defineret som det sæt af funktioner, der tildeler hvert element til et element i sættet : $\{X_i\}_{i\in I}$ $X = \prod_{i\in I} X_i$ $i\i I$ $X_{i}$

X=\prod _{i\in I}X_{i}=\{f\colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\in I\}.

Mappings kaldes projektioner og defineres som følger: . $\pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i)$ $\pi_i\kolon (a_1,\prikker a_n) \mapto a_i$

Især for en endelig familie af mængder, er enhver funktion med en betingelse ækvivalent med en tupel af længde , sammensat af elementer i mængderne , således at den i -te plads i tupelen er elementet i mængden . Derfor kan det kartesiske (direkte) produkt af et endeligt antal sæt skrives som følger: $\{A_1, \dots ,A_n\}$ $f:\{1,\dots ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i$ $f(i) \i A_i$ $n$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$ $jeg$ $A_{i}$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$

A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \i A_i, i \i \{1, \dots ,n\}\}.

Direkte produkt af kortlægninger

Lad være en kortlægning fra til , og være en kortlægning fra til . Deres direkte produkt er en kortlægning fra til : . $f$ $EN$ $B$ $g$ $x$ $Y$ $f\ gange g$ $A\ gange X$ $B\ gange Y$ $(f\ gange g)(a,\;x) = (f(a),\;g(x))$

I lighed med ovenstående kan denne definition generaliseres til flere og uendelige produkter.

Effekter på matematiske strukturer

Direkte produkt af grupper

Det direkte (kartesiske) produkt af to grupper og er gruppen af alle par af elementer med operationen af komponentvis multiplikation :. Denne gruppe omtales som . Associativiteten af multiplikationsoperationen i en gruppe følger af associativiteten af operationer af multiplicerede grupper. Faktorer og er isomorfe til to normale undergrupper af deres produkt, og hhv. Skæringspunktet mellem disse undergrupper består af et element , som er enheden i produktgruppen. Koordinatfunktionerne af produktet af grupper er homomorfier . $(G*)$ $(H,\cirkel)$ $(g,h)$ $(g_1,h_1)\time(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)$ $G\ gange H$ $G\ gange H$ $G$ $H$ $\{(g,1_H)\midt g\in G\}$ $\{(1_G,h)\midt h\in H\}$ $(1_G,1_H)$

Denne definition strækker sig til et vilkårligt antal multiplicerede grupper. I tilfælde af et endeligt tal er det direkte produkt isomorft med den direkte sum. Forskellen opstår ved et uendeligt antal faktorer.

Generelt, , hvor og . (Handlingen i højre side er gruppeoperationen ). Enheden for produktgruppen vil være en sekvens sammensat af enheder af alle multiplicerede grupper: . For eksempel for et tælleligt antal grupper: , hvor på højre side er mængden af alle uendelige binære sekvenser. $\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}$ $f(i)\isin G_i$ $(f_1\gange f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)$ $G_{i}$ $(1_i),\; i\i I$ $\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatørnavn{xor})$

En undergruppe på mængden af alle , hvis støtte (det vil sige mængden ) er endelig , kaldes en direkte sum . For eksempel indeholder den direkte sum af det samme sæt af mængder alle binære sekvenser med et endeligt antal enere, og de kan behandles som binære repræsentationer af naturlige tal. $f$ $\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\midt f(i)\ne 1_i\}$ $\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatørnavn{xor})$

Det kartesiske produkt af et indekseret gruppesystem er dets direkte produkt i kategorien Grp.

Den direkte sum af et indekseret gruppesystem er dets biprodukt i kategorien Grp.

Direkte produkt af andre algebraiske strukturer

På samme måde som produktet af grupper, kan man definere produkterne af ringe , algebraer , moduler og lineære rum , og i definitionen af det direkte produkt (se ovenfor) bør erstattes af nul . Definitionen af et produkt af to (eller et endeligt antal) objekter er den samme som for en direkte sum . Generelt adskiller den direkte sum sig dog fra det direkte produkt: for eksempel er det direkte produkt af et tælleligt sæt kopier rummet af alle sekvenser af reelle tal , mens den direkte sum er rummet af de sekvenser, der kun har en endeligt antal ikke-nul medlemmer (de såkaldte endelige sekvenser ). $1_i$ $\mathbb {R}$

Direkte produkt af vektorrum

Det kartesiske produkt af to vektorrum og over et fælles felt er et sæt ordnede par af vektorer , det vil sige et mængdeteoretisk kartesisk produkt af sæt af vektorer fra og , med linearitet givet koordinatmæssigt: , . $U\times V$ $U$ $V$ $F$ ${\displaystyle \venstre\{(u,v)\midt u\i U\kile v\i V\højre\))$ $U$ $V$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $\mathrm {\alpha } \left(a,b\right)=\left(\mathrm {\alpha } a,\mathrm {\alpha } b\right)$

Denne definition gælder for ethvert indekseret system af lineære (vektor) rum: det kartesiske produkt af et indekseret system af vektorrum over et fælles felt er det mængdeteoretiske kartesiske produkt af sæt af faktorvektorer, hvorpå koordinatmæssig linearitet er specificeret, det vil sige, at når man summerer, summeres alle fremskrivninger, når de ganges med et tal, ganges alle fremskrivninger med dette tal: , . ${\displaystyle c=a+b\leftrightarrow \forall i:c_{i}=a_{i}+b_{i))$ ${\displaystyle b=\mathrm {\alpha } a\leftrightarrow \forall i:b_{i}=\mathrm {\alpha } a_{i))$

Det kartesiske produkt af et indekseret system af lineære rum er dets direkte produkt i kategorien , hvor der er et emnefelt for systemet. $\operatorname {Vec} _{F}$ $F$

Den direkte sum af vektorrum er en sådan delmængde af deres direkte produkt, hvis elementer kun har et begrænset antal ikke-nul projektioner , hvor er indekssættet af det indekserede system . For et begrænset antal led adskiller den direkte sum sig ikke fra det direkte produkt. $\coprod {A}=\left\{a\in \prod {A}\mid \left\vert \left\{i\i \operatørnavn {dom} A\mid a_{i}\neq 0\ højre\}\right\vert <\aleph _{0}\right\}$ $\operatørnavn {dom} A$ $EN$

Den direkte sum af et indekseret system af lineære rum er dets biprodukt i kategorien , hvor der er et emnefelt for systemet. $\operatorname {Vec} _{F}$ $F$

Direkte produkt af topologiske rum

Lad og være to topologiske rum . Topologien af det kartesiske produkt er givet på deres mængdeteoretiske produkt, som strukturløse mængder, ved at basen består af alle mulige produkter , hvor er en åben delmængde og er en åben delmængde af . $x$ $Y$ $X\ gange Y$ $U\ gange V$ $U$ $x$ $V$ $Y$

Definitionen generaliseres let til tilfældet med et produkt af flere rum.

For produktet af et uendeligt sæt af faktorer bliver definitionen mere kompliceret: lad der være et indekseret system af topologiske rum, - et strukturløst produkt af elementer som mængder. Lad os definere en cylinder rejst over som mængden af alle punkter, fra hvis ‑th projektioner ligger i , dvs. hvor og er indekssættet for det indekserede system . Topologien af produktet vil blive givet på en præbase af cylindre konstrueret over alle åbne sæt af alle topologier fra sættet : , hvor er samlingen af alle åbne sæt (topologi) af rummet , dvs. givet af en base sammensat af alle mulige skæringspunkter mellem et begrænset antal åbne cylindre. Denne topologi er "kontravariant" induceret af projektorer - det er den minimale topologi på det sætteoretiske kartesiske produkt, for hvilket alle projektorer er kontinuerte (en sådan topologi ligner den kompakt-åbne topologi af kortlægningsrum, hvis vi betragter indekset sat til har en diskret topologi). $x$ $B=\prod {\overline {X}}$ $x$ ${\displaystyle U\subseteq X_{i))$ $B$ $jeg$ $U$ $\operatørnavn {Cyl} \left(i,\;U\right)=\venstre\{x\in B\mid x_{i}\in U\right\}$ $i\in \operatørnavn {dom} X$ $\operatørnavn {dom} X$ $x$ $x$ $\left\{\operatørnavn {Cyl} \left(i,\;U\right)\mid i\in \operatørnavn {dom} X\land U\in \operatørnavn {T} \left(X_{i }\right)\right\}$ $\operatørnavn {T} \left(X_{i}\right)$ $X_{i}$ $jeg$

Det kartesiske produkt af et indekseret system af topologiske rum er dets direkte produkt i kategorien . $\operatørnavn {Top}$

Den direkte sum af topologier er bygget på den strukturløse direkte sum af rum som sæt af punkter. Åbne i det er alle sæt, hvis skæringspunkter med alle led er åbne. Denne topologi er "kovariant" induceret af coprojektorer - det er den maksimale topologi på den mængdeteoretiske direkte sum, under hvilken alle coprojektorer (dvs. indlejringer af termer i summen) er kontinuerte.

Den direkte sum af et indekseret system af topologiske rum er dets biprodukt i kategorien . $\operatørnavn {Top}$

Tikhonovs teorem hævder kompaktheden af produkter af et hvilket som helst antal kompakte rum; for uendelige produkter kan det dog ikke bevises uden at bruge valgaksiomet (eller udsagn om mængdeteori svarende til det).

Også Aleksandrovs teorem viser, at ethvert topologisk rum kan indlejres i et (uendeligt) produkt af forbundne koloner , så længe Kolmogorovs aksiom gælder .

Direkte produkt af grafer

	—	
	—	
		
	—	

Sættet af hjørner af det direkte produkt af to grafer og er defineret som produktet af hjørnerne af faktorgraferne. Kanter forbinder følgende par af hjørner: $G$ $H$

$(g,\;h)(g',\;h)$ , hvor og er hjørnerne på grafen forbundet med en kant , og er et vilkårligt toppunkt på grafen ; $g$ $g'$ $G$ $h$ $H$
$(g,\;h)(g,\;h')$ , hvor er et vilkårligt toppunkt på grafen , og og er grafens toppunkter forbundet med en kant . $g$ $G$ $h$ $h'$ $H$

Med andre ord er sættet af kanter af et produkt af grafer foreningen af to produkter: kanterne af den første til hjørnerne af den anden, og hjørnerne af den første til kanterne af den anden.

Variationer og generaliseringer

Ideen om et direkte produkt blev videreudviklet i kategoriteorien , hvor det tjente som grundlag for konceptet om et produkt af objekter . Uformelt er produktet af to objekter og er det mest generelle objekt i denne kategori, for hvilket der er projektioner på og . I mange kategorier (sæt, grupper, grafer, ...) er produktet af objekter deres direkte produkt. Det er vigtigt, at det i de fleste tilfælde ikke så meget er den konkrete definition af det direkte produkt, der er vigtig, men den ovennævnte universalitetsegenskab. Forskellige definitioner vil så give isomorfe objekter. $EN$ $B$ $EN$ $B$