Projektivt rum

Et projektivt rum over et felt $K$ er et rum, der består af linjer (endimensionelle underrum ) af et eller andet lineært rum over et givet felt. De lige rum kaldes punkter i det projektive rum. Denne definition kan generaliseres til et vilkårligt organ I det tilfælde, hvor feltet eller , kaldes det tilsvarende projektive rum henholdsvis reelt eller komplekst . $L(K)$ $L(K)$ $K.$ $K=\mathbb {R}$ $K=\mathbb {C}$

Hvis det har dimension , kaldes dimensionen af det projektive rum tallet , og selve det projektive rum betegnes og kaldes forbundet med (for at indikere dette, er notationen vedtaget ). $L$ $n+1$ $n$ $KP^n$ $L$ $P(L)$

Overgangen fra et vektorrum af dimension til det tilsvarende projektive rum kaldes rumprojektivisering . $L(K)$ $n+1$ $KP^n$ $L(K)$

Punkter kan beskrives ved hjælp af homogene koordinater . $KP^n$

Definition som et kvotientrum

Ved at identificere de punkter, hvor er forskellige fra nul, får vi et faktorsæt (ved ækvivalensrelationen ) $(x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$ $\lambda$ $\sim$

\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ):=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{\mathbf {0} \})/{\sim }

Punkterne i det projektive rum er betegnet som , hvor tallene kaldes homogene koordinater [1] . For eksempel og betegne det samme punkt i det projektive rum. $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ $x_{i}$ $[1:2:3]$ $[2:4:6]$

Aksiomatisk definition

Et projektivt rum kan også defineres af et system af Hilbert -type aksiomer . I dette tilfælde er et projektivt rum defineret som et system bestående af et sæt punkter , et sæt linjer og en incidensrelation , som normalt udtrykkes som "et punkt ligger på en linje", der opfylder følgende aksiomer: $P$ $L$ $jeg$

For to forskellige punkter er der en unik linje, der falder ind til begge punkter;
Hver linje er indfaldende til mindst tre punkter;
Hvis linjerne og skærer (har et fælles indfaldspunkt), punkterne og ligger på linjen , og punkterne og ligger på linjen , så skærer linjerne og hinanden. $L$ $M$ $s$ $q$ $L$ $s$ $r$ $M$ $ps$ $qr$

Et delrum af et projektivt rum er en delmængde af mængden, således at for enhver af denne delmængde tilhører alle punkter på linjen . Dimensionen af et projektivt rum er det største antal , således at der eksisterer en strengt stigende kæde af underrum af formen $T$ $P$ $p,q\i P$ $pq$ $T$ $P$ $n$

\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P

Klassifikation

Dimension 0: rummet består af et enkelt punkt.
Dimension 1 ( projektiv linje ): et vilkårligt ikke-tomt sæt af punkter og den eneste linje, hvorpå alle disse punkter ligger.
Dimension 2 ( projektivt plan ): i dette tilfælde er klassificeringen mere kompleks. Alle synsplaner for en eller anden krop opfylder Desargues' aksiom , men der er også ikke-Desarguesiske planer . $KP^n$ $K$
Store dimensioner: Ifølge Veblen -Young- sætningen [2] kan ethvert projektivt rum af dimension større end to opnås som en projektivisering af et modul over en eller anden divisionsring.

Relaterede definitioner og egenskaber

Lad der være et hyperplan i et lineært rum . Det projektive rum kaldes det projektive hyperplan i . $M$ $L$ $P(M)\undersæt P(L)$ $P(L)$
Der er en naturlig affin rumstruktur på komplementet af et projektivt hyperplan . $A=P(L)\omvendt skråstreg P(M)$
Hvis man omvendt tager det affine rum som grundlag , kan man opnå et projektivt rum som et affint, hvortil det såkaldte. peger på det uendelige. Det projektive rum blev oprindeligt introduceret på denne måde. $EN$
Lad og vær to projektive underrum. Sættet kaldes sættets projektive skrog og er betegnet med . [3] $P(L')$ $P(L'')$ $P(L' + L'')$ $P(L') \kop P(L'')$ $P(L' + L'') = \overline {P(L') \kop P(L'')}$

Tautologisk bundt

Et tautologisk bundt er et vektorbundt, hvis bundtrum er en delmængde af det direkte produkt $\gamma ^{n}\colon E\to \mathbb {R} P^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1))$

E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\time \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \))

og laget er en rigtig linje . Den kanoniske projektion kortlægger linjen gennem punkterne til det tilsvarende punkt i det projektive rum. Desuden er denne pakke ikke triviel . Når bundtpladsen er Möbius-strimlen . $\mathbb {R}$ $\gamma^n$ $\pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $n\geqslant 1$ $n=1$

Noter

↑ Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineær algebra og geometri, del 3, par. 6, M. : Nauka 1986
↑ Veblen, Oswald; Ung, John Wesley . projektiv geometri. bind. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn og Co. New York-Toronto-London, 1965 (genoptryk af 1910-udgaven)
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, kap. 9, stk. 1, - Fizmatlit, Moskva, 2009.

Litteratur

Artin E. Geometric Algebra - M .: Nauka, 1969.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri. Metoder og anvendelser. — M .: Nauka, 1979.
Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Linear Algebra and Geometry - M. : Nauka 1986.
Hartshorne R. Fundamentals of projective geometry - M. : Mir, 1970.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.
Alexandrov A. D. , Netsvetaev N. Yu. Geometri. — Nauka, Moskva, 1990.
Baer R. Lineær algebra og projektiv geometri. - URSS, Moskva, 2004.
Finikov S.P. Analytisk geometri: et kursus med forelæsninger. — URSS, Moskva, 2008.

Dimension af rummet
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik