Wythoff konstruktion

Wythoffs konstruktion , eller Wythoffs konstruktion [1]  er en metode til at konstruere ensartede polyedre eller flisebelægninger på et plan. Metoden er opkaldt efter matematikeren W. A. ​​Wiethoff . Wythoffs byggemetode omtales ofte som kalejdoskopkonstruktion .

Konstruktion

Konstruktionen er baseret på ideen om fliser på en kugle ved hjælp af sfæriske trekanter  - se Schwartz trekanter . Denne konstruktion bruger refleksioner om siderne af en trekant som et kalejdoskop . I modsætning til et kalejdoskop er reflekserne dog ikke parallelle, men skærer hinanden på et punkt. Flere refleksioner danner flere kopier af trekanten. Hvis hjørnerne af en sfærisk trekant er valgt korrekt, fliser trekanter kuglen en eller flere gange.

Ved at placere et punkt på et passende sted inde i en sfærisk trekant omgivet af spejle kan man opnå, at dette punkts refleksioner giver et ensartet polyeder. For en sfærisk trekant ABC er der fire positioner, der giver et ensartet polyeder:

1. Punktet er placeret i toppunktet A . Det giver et polyeder med Wythoff-symbolet a | b  c , hvor a er lig med π divideret med vinklen på trekanten ved toppunkt A . Tilsvarende for b og c .
2. Punktet er placeret på segment AB ved bunden af ​​vinkelhalveringslinjen ved toppunktet C . Det giver et polyeder med Wythoff-symbolet a  b | c .
3. Punktet er placeret i midten af ​​trekant ABC . Det giver et polyeder med Wythoff-symbolet a  b  c |.
4. Punktet er placeret på en sådan måde, at når det drejer rundt om trekantens spidser med en dobbelt vinkel ved disse spidser, bevæger det sig den samme afstand. Der bruges kun lige refleksioner. Polyederet har Wythoff-symbolet | a  b  c .

Processen er generelt anvendelig til at opnå regulære polytoper i rum med højere dimensioner, herunder 4-dimensionelle homogene polytoper .

Ikke-Wiethoff konstruktion

Ensartede polyedre , der ikke kan konstrueres ved hjælp af Wythoffs spejlkonstruktion, kaldes ikke-Wythoff polyedre. De kan i det generelle tilfælde fås fra Wythoff-konstruktioner enten ved at veksle (slette hjørner gennem en) eller ved at indsætte skiftende rækker af nogle figurer. Begge typer af sådanne figurer har rotationssymmetri. Cutoffs betragtes nogle gange som Withoff, selvom de kan opnås ved at skiftevis cutoff - tallene på alle sider.

Se også

• Wythoff-symbolet  er et symbol for Wythoffs konstruktion af ensartede polyedre og ensartede tesseller .
• Coxeter-Dynkin diagrammer  er et generaliseret symbol for Wythoffs konstruktion af ensartede polyedre og honningkager.

Noter

1. ↑ Vesnin, 2017 .

Litteratur

• HSM Coxeter. Kapitel 5: Kalejdoskopet, afsnit: 5.7 Wythoffs konstruktion // Regular Polytopes . - Dover udgave, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• Coxeter . Kapitel 3: Wythoffs konstruktion for ensartede polytoper // Geometriens skønhed: tolv essays . - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0-486-40919-1 .
• Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra  // Geometriae Dedicata . - 1993. - Nr. 47 . - S. 57-110 . Arkiveret fra originalen den 15. juli 2009. Afsnit 4: Kalejdoskopet.
• W. A. ​​Wythoff En relation mellem polytoperne i C600-familien // Proceedings of the Section of Sciences. - Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1918. -Nr. 20. -S. 966-970.
• A. Yu. Vesnin . Rektangulære polytoper og tredimensionelle hyperbolske manifolder // Uspekhi Mat. - 2017. - T. 72. - S. 147-190. doi :/ rm9762 .

Links

• Weisstein, Eric W. Wythoff Construction  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
• Olshevsky, George Wythoff konstruktion på Ordliste for Hyperspace
• Ensartede polygoner opnået ved brug af Wythoff-konstruktionen
• Beskrivelse af Wythoffs konstruktion
• "Jenn" , software til at se (sfæriske) polygoner og 4D polytoper fra deres symmetrigrupper