Generaliseret trigonometri

Generaliseret trigonometri er en samling af forskellige generaliseringer af definitioner og resultater af klassisk trigonometri .

Almindelig trigonometri studerer trekanter i det euklidiske plan . Der er flere måder at definere de sædvanlige trigonometriske funktioner i euklidisk geometri i reelle tal : gennem en retvinklet trekant , en enhedscirkel , serier , differentialligninger og funktionelle ligninger . Udviklingen af ​​generaliseringer af trigonometriske funktioner består ofte i at tilpasse en af ​​ovenstående metoder til en situation, hvor de reelle tal for euklidisk geometri ikke bruges. Generelt kan trigonometri opfattes som studiet af tripler af punkter i enhver geometri og ethvert rum . En trekant er en polygon med det mindste antal hjørner, så en retning for generalisering er at studere de højere-dimensionelle analoger af vinkler og polygoner: rumvinklen og polyedre , såsom tetraedre og -simplices .

Trigonometri

• I sfærisk trigonometri studeres trekanter på overfladen af ​​en kugle . Identiteterne for sfæriske trekanter er skrevet ud fra de sædvanlige trigonometriske funktioner, men adskiller sig fra identiteterne for plane trekanter.
• Hyperbolsk trigonometri:
  1. Undersøgelse af hyperbolske trekanter i hyperbolsk geometri med hyperbolske funktioner .
  2. Ved at bruge hyperbolske funktioner i euklidisk geometri - enhedscirklen er parametriseret af punktet , mens den ligesidede hyperbel er parametriseret af punktet .
  3. Gyrotrigonometri er en form for trigonometri, der bruges i gyro-vektortilgang til hyperbolsk geometri, med anvendelser i speciel relativitetsteori og kvanteberegning .
• Rationel trigonometri - teorien om den canadiske matematiker N. J. Wildberger, hvis hovedidé er at erstatte begrebet længde med en "kvadrant" (kvadrat euklidisk afstand ) og begrebet vinkel med "spredning" (kvadrat af sinus af tilsvarende vinkel).
• Trigonometri for geometrien af ​​byblokke [1] .
• Trigonometri af rum-tid [2] .
• Fuzzy kvalitativ trigonometri [3] .
• Operatørtrigonometri [4] .
• Gittertrigonometri [5] .
• Trigonometri på symmetriske rum [6] [7] [8] .

Højere dimensioner

• Polar sinus .
• Trigonometri af tetraederet [9] :
  • Sinus-sætning for tetraedre .
• Simplexer med en "ortogonal vinkel" - Pythagoras sætninger for -simplicer :
  • De Guas  sætning er Pythagoras sætning for et tetraeder med en kubisk vinkel .

Trigonometriske funktioner

• Trigonometriske funktioner kan defineres for brøkdifferentialligninger [10] .
• I tidsskalaregning kombineres differential- og differensligninger til dynamiske tidsskalaligninger, som også inkluderer q-differensligninger . Trigonometriske funktioner kan defineres på en vilkårlig tidsskala (en delmængde af reelle tal).
• Seriedefinitionerne af sinus og cosinus tillader disse funktioner at blive defineret på enhver algebra , hvor disse serier konvergerer, såsom over komplekse tal , p-adiske tal , matricer og forskellige Banach-algebraer .

Andet

• Polære/trigonometriske former for hyperkomplekse tal [11] [12] .
• Polygonometri  - trigonometriske identiteter for flere forskellige vinkler [13] .

Se også

• Pythagoras sætning i ikke-euklidisk geometri

Noter

1. ↑ Thompson, Kevin & Dray, Tevian (2000), City block angles and trigonometry , Pi Mu Epsilon Journal vol . 11(2): 87–96 , < http://www.physics.orst.edu/~tevian/taxicab /taxicab.pdf > Arkiveret 23. februar 2012 på Wayback Machine 
2. ↑ Francisco J. Erranz, Ramón Ortega, Mariano Santander (2000), Spacetime Trigonometry: A New Self-Dual Approach to Curvature/Signature Dependent Trigonometry , Journal of Physics AT 33(24): 4525–4551 , DOI 8/4070058 -4070058/4031005. /33/24/309 
3. ↑ Honghai Liu, George M. Coghill (2005), Fuzzy Qualitative Trigonometry , 2005 IEEE International Conference on Systems, Humans and Cybernetics , vol. 2, s. 1291–1296 , < http://userweb.port.ac.uk/~liuh/Papers/LiuCoghill05c_SMC.pdf > Arkiveret 25. juli 2011 på Wayback Machine 
4. ↑ K. E. Gustafson (1999), Computational trigonometry and relaterede værker af russiske matematikere Kantorovich, Krein, Kaporin , Computational technologies bind 4 (3): 73–83 , < http://www.ict.nsc.ru/jct/getfile .php?id=159 > Arkiveret 24. juni 2021 på Wayback Machine 
5. ↑ Oleg Karpenkov (2008), Elementary concepts of lattice trigonometry , Mathematical Scandinavia T. 102 (2): 161–205 , DOI 10.7146/math.scand.a-15058 
6. ↑ Aslaksen Helmer, Huyin Xue-Ling (1997), Laws of Trigonometry in Symmetric Spaces, Geometry of the Pacific Coast ( Singapore , 1994 ) , Berlin : de Gruyter , s. 23-36 
7. ↑ Enrico Leuzinger (1992), On the trigonometry of symmetric spaces , Helvetica Mathematical Comments T. 67 (2): 252–286 , DOI 10.1007/BF02566499 
8. ↑ Masala G. (1999), Regulære og isokliniske trekanter i Grassmann manifolds G 2 ( R N ) , Rapporter fra det matematiske seminar ved det polytekniske universitet i Torino . T. 57 (2): 91-104 
9. ↑ G. Richardson (1902-03-01). "Trigonometri of the Tetrahedron" (PDF) . Matematisk Bulletin . 2 (32): 149-158. DOI : 10.2307/3603090 . JSTOR  3603090 . Arkiveret (PDF) fra originalen 2021-08-28 . Hentet 2021-06-18 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
10. ↑ Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini (2003), The Physics of Fractal Operators , Institute for N-linear Sciences, New York : Springer Publishing , s. 101, ISBN 0387955542 , DOI 10.1007/9780387217468 
11. ↑ Harkin Anthony A., Harkin Joseph B. (2004), The geometry of generalized complex numbers , Mathematical Journal T. 77 (2): 118–129 , DOI 10.1080/0025570X.2004.11953236 
12. ↑ Yamaleev Robert M. (2005), Complex algebras on polynomials of order n and generalizations of trigonometry, the oscillator model and Hamiltonian dynamics , Advances in Applied Clifford Algebras V. 15 (1): 123–150, doi : 100 . /s00006- 005-0007-y , < http://www.clifford-algebras.org/v15/v151/YAMAL151.pdf > Arkiveret 22. juli 2011 på Wayback Machine 
13. ↑ Antippa Adele F. (2003), Combinatorial structure of trigonometry , International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences T. 2003 (8): 475–500, doi : 10.1155 /S0161171203106230 , < .de/journals.emis. /HOA /IJMMS/2003/8475.pdf > Arkiveret 28. juni 2021 på Wayback Machine