Mosaik "Pinwheel"

Pinwheel flisebelægningen er en ikke -periodisk flisebelægning designet af Charles Radin og baseret på en konstruktion af John Conway . Mosaikken var den første ikke-periodiske mosaik, hvor fliserne er i et uendeligt antal forskellige orienteringer.

Conways fliselægning

Lade være en retvinklet trekant med sider , og . Conway bemærkede, at den kan opdeles i fem kopier svarende til den efter strækning med en faktor . $T$ $en$ $2$ ${\sqrt {5}}$ $T$ ${\sqrt {5}}$

Med korrekt skalering og translation/rotation kan denne operation gentages for at producere en uendeligt stigende sekvens af stigende trekanter, der består af kopier af . Ved at kombinere alle disse trekanter får man en mosaik af hele planet med identiske kopier . $T$ $T$

I denne mosaik er kopierne orienteret i et uendeligt antal forskellige retninger (dette er en konsekvens af, at vinkler og trekanter ikke står mål med ). På trods af dette har alle trekantspidser rationelle koordinater. $T$ $\arctan(1/2)$ $\arctan(2)$ $T$ $\pi$

Mosaik "Pinwheel"

Radin, der stolede på ovenstående konstruktion af Conway, foreslog en "pinwheel" mosaik. Formelt er en pinwheel flisebelægning en flisebelægning, hvis fliser er lige store kopier af en trekant, og en flise kan kun skære med en anden flise langs hele siden eller langs halvdelen af siden med længden , og den følgende egenskab skal holde. Givet et pinwheel , er der et pinwheel , der, hvis vi deler alle fliserne i fem dele i henhold til Conways konstruktion og derefter udvider med en faktor , vil være det samme som . Med andre ord kan mosaikfliserne grupperes i femmer for at producere (geometrisk) lignende fliser på en sådan måde, at disse forstørrede fliser danner (op til skalering) en ny "pinwheel" flisebelægning. $T$ $2$ $P$ $P'$ ${\sqrt {5}}$ $P$

Mosaikken designet af Conway er et "pinwheel", men der findes utallige andre "pinwheels". Alle disse fliser kan ikke skelnes lokalt ( dvs. de har de samme endeområder). De bevarer alle egenskaben til fælles med Conway-fliser, at fliserne har et uendeligt antal forskellige orienteringer (og hjørnerne har rationelle koordinater).

Hovedresultatet bevist af Radin er, at der er et begrænset (dog meget stort) sæt af såkaldte prototiler, som opnås ved at farve siderne . Så er pinwheel-fliser præcis de fliser, der er opnået fra (lige store) kopier af disse prototiler med den betingelse, at fliserne kun rører ved de samme farver [1] . $T$

Generaliseringer

Radin og Conway foreslog en 3D-analog, der kopierede kuppelfliser [2] [3] .

Du kan få en fraktal, hvis du sekventielt deler i fem identiske trekanter i henhold til Conways konstruktion og kasserer den midterste trekant ( til uendeligt ). Denne "pinwheel" fraktal har dimensionen af Hausdorff . $T$ $d={\frac {\ln 4}{\ln {\sqrt {5))))\ca. 1,7227$

Brug i arkitektur

Bygningskomplekset på Federation Square i Australien bruger en "pinwheel"-mosaik. Projektet brugte mosaikker til at skabe facadens strukturelle rammer, så de kunne laves på en fabrik og derefter samles på stedet. Mosaikken er baseret på trekantede elementer lavet af zink, perforeret zink, sandsten og glas, som er forbundet med 4 andre dele på en aluminiumsramme for at danne et "panel". Fem paneler blev monteret på en galvaniseret stålramme, der dannede et "megapanel", som derefter blev løftet og monteret på facadens bærende ramme. Flisernes rotationsposition giver facaden et mere tilfældigt udtryk, selvom hele montageprocessen er baseret på præparerede fliser af samme størrelse. Den samme "pinwheel" mosaik bruges i konstruktionen af "Atrium" på Federation Square, selvom mosaikken i dette tilfælde blev lavet "3-dimensionel" for at danne strukturen af hovedindgangen.

Noter

↑ Radin, 1994 , s. 661-702.
↑ Radin, Conway, 1998 , s. 179-188.
↑ Sadun, 1998 , s. 79-110.

Litteratur

C. Radin. The Pinwheel Tilings of the Plane // Annals of Mathematics . - 1994. - T. 139 , no. 3 (maj) . - doi : 10.2307/2118575 . — .
C. Radin, J. Conway. Quaquaversal flisebelægning og rotationer // Inventiones math. - 1998. - Udgave. 132 .
L. Sadun. Nogle generaliseringer af Pinwheel Tiling. - 1998. - T. 20 , no. 1 . - doi : 10.1007/pl00009379 .

Links

Pinwheel på Tilings Encyclopedia
Dynamisk Pinwheel lavet i GeoGebra

geometriske mosaikker

Periodisk

Pythagoras
Rhombic
Schwartz trekant
Rektangulær
- Dominobrikker
Femkantet
Homogen mosaik
Honeycombs
- Farvelægning
- Konveks
- Delt mosaik
Flad krystallografisk gruppe
Wythoff konstruktion

aperiodisk

Ammann-Binker
Aperiodisk sæt mosaikfliser
- Liste
En fliseudfordring
- Sokolara - Taylor
Gilbert
Penrose
pinwheel
Kuppelformet
Opdelings- og selvklæbende sæt
- Sphinx
Truche

Andet

Non- isohedral og isohedral
Arkitektonisk og reflekterende
Circle Limit III
Computer grafik
honningkager
Kant transitiv
Pakke
Opgaver
- Van
- heesh
- kvadrating
Mosaikfliser
- Conways kriterium
- Girih
Regelmæssig opdeling af flyet
Almindelig gitter
Udskiftninger
Voronoi diagram
Foderberg

Ved toppunktskonfiguration
_

Kugleformet	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
Korrekt	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
semi -korrekt	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2
Hyperbolsk _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4,14 2 4,16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6,16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8,6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2