Aperiodisk mosaik

En aperiodisk flisebelægning  er en ikke-periodisk flisebelægning med den yderligere egenskab, at flisebelægningen ikke indeholder uendeligt store periodiske stykker. Et sæt af flisetyper (eller prototiler ) er et sæt af ikke-periodiske prototiler hvis kopier af disse fliser kun kan danne aperiodiske fliser. Penrose flisebelægninger [1] [2] er de bedst kendte eksempler på aperiodiske fliser.

Aperiodiske flisebelægninger tjener som matematiske modeller for kvasikrystaller , fysiske legemer, som blev opdaget i 1982 af Dan Shechtman [3] , som modtog Nobelprisen i 2011 [4] . Imidlertid er den specifikke lokale struktur af disse materialer stadig dårligt forstået.

Nogle metoder til at konstruere aperiodiske mosaikker er kendte.

Definition og illustration

Overvej en periodisk flisedeling af enhedskvadrater (det ligner et uendeligt millimeterpapir ). Lad os nu opdele et kvadrat i to rektangler. Den således opnåede flisebelægning er ikke periodisk - der er ingen forskydning, der efterlader denne flisebelægning uændret. Det er klart, at dette eksempel er meget mindre interessant end Penrose-flisebelægningen. For at udelukke sådanne eksempler defineres en aperiodisk fliselægning som en, der ikke indeholder vilkårligt store periodiske dele.

En flisebelægning kaldes aperiodisk, hvis dens konvolut kun indeholder aperiodiske fliser. Konvolutten af ​​flisebelægningen indeholder alle oversættelserne T+x af flisebelægningen T sammen med alle flisebelægningerne, der kan tilnærmes ved oversættelsen T . Formelt er dette lukningen af ​​et sæt i den lokale topologi [5] . I en lokal topologi (svarende til metrikken) er to fliser -tæt, hvis de er ens i en cirkel med radius omkring oprindelsen (måske efter at en af ​​fliserne er blevet forskudt med en afstand mindre end ).

For at give et endnu enklere eksempel, overveje en endimensionel flisedeling T af en linje, der ligner ... aaaaaabaaaaa ... hvor a repræsenterer et interval med længden en og b repræsenterer et interval med længden to. Så består flisedelingen T af et uendeligt antal kopier af a og en kopi af b (f.eks. centreret ved 0). Nu er alle oversættelser af T fliser med et b et eller andet sted og et andet sted. En sekvens af fliser, hvor b er centreret i punkter, konvergerer (i den lokale topologi) til en periodisk flisedeling, der kun består af fliser a . T er således ikke en aperiodisk flisebelægning, da dens lukning indeholder en periodisk flisebelægning … aaaaaa ….

For mange "gode" tesselleringer (for eksempel substitutioner af fliser med et begrænset antal lokale mønstre) gælder udsagnet: hvis en flisedeling ikke indeholder en periode og gentages (det vil sige, at hver flise forekommer med samme sandsynlighed som den er flisebelagt), så er den aperiodisk [6] [5] .

Historie

Spørgsmålet om ikke-periodiske fliser opstod først i 1961, da logikeren Hao Wang forsøgte at finde ud af, om dominoproblemet kunne løses, dvs. om der var en algoritme til at bestemme, at et givet endeligt sæt af proto-fliser lagde fliser på en fly. Wang fandt algoritmer til at liste sæt af fliser, der ikke kan lægges på et plan, og sæt af fliser, der fliser flyet med jævne mellemrum. Således viste han, at en sådan algoritme eksisterer, hvis der for et hvilket som helst begrænset sæt af prototiler, der tillader fliselægning af planet, også eksisterer en periodisk fliselægning. I 1964 fandt Robert Berger et aperiodisk sæt, og viste derved, at fliseproblemet i virkeligheden er uløseligt [7] . Dette var det første sådant sæt, der blev brugt i hans bevis på uafgørelighed og indeholdt 20.426 Wang-fliser. Berger reducerede senere antallet af fliser til 104, og Hans Löichli fandt et aperiodisk sæt på 40 Van-fliser [8] . Selv et mindre sæt af seks aperiodiske fliser (baseret på Wang fliser) blev opdaget af Raphael Robinson i 1971 [9] . Roger Penrose fandt tre andre sæt i 1973 og 1974, hvilket reducerede antallet af nødvendige fliser til to, og Robert Ammann fandt flere andre sæt i 1977 8] . I 2010 fandt Sokolar og Taylor et sæt af to fliser af samme type (regelmæssige sekskanter), hvor den ene flise var symmetrisk med den anden [10] .

Aperiodiske Penrose-fliser kan genereres ikke kun af aperiodiske sæt af prototiler, men også ved substitution og cut-and-project- metoden . Efter opdagelsen af ​​kvasikrystaller begyndte aperiodiske mosaikker at blive intensivt studeret af fysikere og matematikere. N. G. de Bruijns "cut-and-project" metode til Penrose flisebelægning blev til sidst en del af Meyers mængdeteori [11] [12] . I øjeblikket findes der en stor mængde litteratur om aperiodiske fliser [5] .

Bygninger

Der er flere metoder til at konstruere aperiodiske mosaikker. Flere konstruktioner er baseret på uendelige familier af aperiodiske sæt fliser [13] [14] . Disse fundne konstruktioner fungerer i de fleste tilfælde på flere måder, hovedsageligt ved at bruge en form for aperiodisk hierarkisk struktur. På trods af dette sikrer dominoproblemets uløselighed , at der skal være uendeligt mange forskellige konstruktioner, og faktisk er der aperiodiske sæt af fliser, for hvilke det er umuligt at bevise deres aperiodicitet.

Aperiodiske hierarkiske tessellers

Til dato er der ingen formel definition, der beskriver, hvornår en mosaik har en hierarkisk struktur. Det er dog klart, at udskiftningerne af fliser har en sådan struktur, ligesom fliser af Berger, Knuth , Leuchli og Robinson . Ligesom med udtrykket "aperiodisk fliselægning" er udtrykket "aperiodisk hierarkisk fliselægning" en bekvem forkortelse for noget som "et sæt fliser, der kun tillader aperiodiske hierarkiske fliser".

Hvert af disse flisesæt tvinger enhver mosaik af disse fliser til at have en hierarkisk struktur. (I mange af de følgende eksempler kan denne struktur beskrives som et flisesubstitutionssystem, som beskrevet nedenfor). Ingen fliselægning af disse flisesæt kan være periodisk, simpelthen fordi ingen parallel overførsel kan efterlade hele den hierarkiske struktur intakt. Overvej Robinson-fliser fra 1971:

Enhver fliselægning med disse fliser kan kun give et hierarki af firkantede gitter - hver orange firkant i hjørnet af en større firkant, og så videre i det uendelige. Enhver parallel oversættelse skal være mindre end størrelsen af ​​et eller andet kvadrat og kan derfor ikke efterlade en sådan flisebelægning invariant.

Robinson beviste, at disse fliser skal danne et mønster induktivt. Som et resultat skal fliserne danne blokke, der tilsammen repræsenterer forstørrede versioner af de originale fliser, og så videre. Denne idé om at finde et sæt fliser, der kun kan udgøre hierarkiske strukturer, er nu brugt til at konstruere de fleste kendte aperiodiske flisesæt.

Udskiftninger

Flisesubstitutionssystemer giver en rig kilde til aperiodiske fliser. Et sæt fliser, der fremtvinger en substitutionsstruktur, siges at være en tvungen substitutionsstruktur. For eksempel tillader stolefliserne vist nedenfor substitutioner, og et flisesubstitutionsfragment er vist på figuren. Disse fliseudskiftninger er ikke nødvendigvis periodiske, men stoleflisen er ikke aperiodisk – det er nemt at finde en periodisk flisebelægning med disse fliser.

Fliserne vist nedenfor tvinger imidlertid stoleflisens substitutionsstruktur, og er derfor aperiodiske [15] .

Penrose-fliser, og kort derefter nogle sæt Amman-fliser [16] , var de første eksempler baseret på tvungen flisesubstitutionsstrukturer. Joshua Sokolar [17] [18] , Penrose, Roger [19] , Ludwig Danzer [20] og Chaim Goodman-Strauss [15] har fundet flere ekstra sæt. Shahar Moses gav den første generelle konstruktion, der viste, at ethvert produkt af endimensionelle substitutionssystemer kan fremtvinges af substitutionsregler [14] . Charles Radin fandt fremtvingende regler for flisesubstitutionssystemet for Conways Pinwheel-fliser [21] . I 1998 viste Goodman-Strauss, at lokale sammenføjningsregler kan findes for enhver flisesubstitutionsstruktur, der opfylder nogle milde betingelser [13] .

Klip-og-projekt metode

Mosaikker uden perioder kan opnås ved at projicere højdimensionelle strukturer ind i et rum med en lavere dimension, og under nogle omstændigheder kan der være fliser, der forhindrer disse strukturer i at have en periode, og derfor vil mosaikkerne være aperiodiske. Penrose-fliser er det første og bedst kendte eksempel på sådanne fliser, som det ses i de Bruijns banebrydende arbejde [22] . Der er en ufuldstændig (algebraisk) beskrivelse af klip-og-projektering af fliser, der kan gøres tvunget af sammenføjningsregler, selvom mange nødvendige og tilstrækkelige betingelser er kendt [23] .

Andre teknikker

Kun få andre typer konstruktioner er fundet. Især gav Jarkko Kari et aperiodisk sæt Wang-brikker baseret på produkter med 2 eller 2/3 af de reelle tal kodet af rækker af fliser (kodningen er relateret til Sturm-sekvenserne opnået som forskellene mellem successive elementer i Beatty-sekvensen ), med aperiodicitet hovedsageligt relateret på en måde til, at 2 n /3 m aldrig er lig med 1 for nogen af ​​de positive heltal n og m [24] . Denne metode blev senere tilpasset af Goodman-Strauss for at opnå et strengt aperiodisk sæt fliser på det hyperbolske plan [25] . Shahar Moses har fundet mange alternative konstruktioner af aperiodiske sæt af fliser, nogle i mere eksotiske omgivelser såsom semisimple Lie- grupper [26] . Block og Weinberger brugte homologiske metoder til at konstruere aperiodiske sæt fliser til alle ikke-modtagelige varianter [27] . Joshua Socolar gav også en anden måde at fremtvinge ikke-periodicitet i form af alternerende betingelser [28] . Dette fører generelt til meget mindre sæt fliser end det sæt, der opnås ved udskiftningerne.

Fysik af aperiodiske tessellers

Aperiodiske flisebelægninger blev betragtet som rent matematiske objekter indtil 1984, hvor fysikeren Dan Shechtman annoncerede opdagelsen af ​​en type aluminium-mangan-legering, der gav et skarpt diffraktionsmønster med utvetydig femdobbelt symmetri [3] . Dette stof skal således være et krystallinsk stof med icosohedrisk symmetri. I 1975 havde Robert Ammann allerede udvidet Penrose-konstruktionen til en tredimensionel icosohedral ækvivalent. I sådanne tilfælde får udtrykket "fliser" betydningen af ​​"rumfyldning". Fotoniske enheder er nu bygget som aperiodiske sekvenser af forskellige lag, som er aperiodiske i den ene retning og periodiske i de to andre. Strukturen af ​​Cd-Te kvasikrystaller viste sig at bestå af atomlag, hvor atomer er arrangeret i en flad aperiodisk form. Nogle gange manifesterer energiminimum eller entropimaksimum sig netop på sådanne aperiodiske strukturer. Steinhardt viste, at Hummelts forbundne dekagoner tillader anvendelsen af ​​ekstremum-princippet og dermed giver en forbindelse mellem matematiske ikke-periodiske tesseller og strukturen af ​​kvasikrystaller [29] . Et fænomen blev observeret, da Faraday-bølger dannede store fragmenter af aperiodiske mosaikker [30] . Fysikken bag denne opdagelse genoplivede interessen for ikke-proportionale strukturer og frekvenser, og en antagelse dukkede op om sammenhængen mellem aperiodiske mosaikker og fænomenet interferens [31] .

Terminologiforvirring

Begrebet aperiodisk bruges i den matematiske fliselægningslitteratur på mange måder (og også på andre områder af matematikken, såsom dynamiske systemer og grafteori, i en helt anden betydning). For flisebelægninger bruges udtrykket aperiodisk undertiden som et synonym for ikke-periodicitet. En ikke- periodisk fliselægning er en flisedeling, der ikke har en ikke-triviel paralleloversættelse. Nogle gange bruges udtrykket, eksplicit eller implicit, til at beskrive tesseller dannet af et aperiodisk sæt af prototiler. Ofte er udtrykket vagt blevet brugt til at beskrive strukturerne af fysiske aperiodiske stoffer, nemlig kvasikrystaller eller noget ikke-periodisk med en form for global orden.

Brugen af ​​ordene "mosaik" eller "fliser" er også problematisk, selv når begreberne er eksplicit defineret. For eksempel er der ingen enkelt Penrose flisebelægning  - Penrose diamanter indebærer et uendeligt antal fliser (som ikke kan skelnes lokalt). Forsøg normalt at undgå brugen af ​​disse termer i den tekniske litteratur, men termerne bruges i vid udstrækning som uformelle.

Se også

• Girih (matematik)
• Liste over ikke-periodiske flisesæt
• Kvasikrystal
• Zulliage

Noter

1. ↑ Gardner, 1977 , s. 111-119.
2. ↑ Gardner, 1988 .
3. ↑ 1 2 Schechtman, Blech, Gratias, Cahn, 1984 , s. 1951-1953
4. ↑ Nobelprisen i kemi 2011 .
5. ↑ 1 2 3 Baake, Grimm, 2013 .
6. ↑ Det kan se ud til, at der er en tautologi her, men fraværet af en periode betyder, at der i denne version af mosaikken ikke er nogen periode, og mosaikkens aperiodicitet betyder, at det er umuligt at skabe en periodisk mosaik ved hjælp af de samme fliser .
7. ↑ Berger, 1966 , s. 1-72.
8. ↑ 1 2 Grünbaum og Shephard 1986 , s. afsnit 11.1.
9. ↑ Robinson, 1971 , s. 177-209.
10. ↑ Socolar, Taylor, 2010 .
11. ↑ Lagarias, 1996 , s. 356-376.
12. ↑ Moody, 1997 , s. 403-441.
13. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1998 , s. 181-223.
14. ↑ 12 Mozes , 1989 , s. 39-186.
15. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1999 , s. 375-384.
16. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
17. ↑ Senechal, 1995 .
18. ↑ Socolar, 1989 , s. 10519-51.
19. ↑ Penrose, 1997 , s. 467-497.
20. ↑ Nischke og Danzer 1996 , s. 221-236.
21. ↑ Radin, 1994 , s. 661-702.
22. ↑ de Bruijn, 1981 , s. 39–52, 53–66.
23. ↑ Le, 1997 , s. 331-366.
24. ↑ Kari, 1996 , s. 259-264.
25. ↑ Goodman-Strauss, 2005 , s. 119-132.
26. ↑ Mozes, 1997 , s. 603-611.
27. ↑ Block, Weinberger, 1992 , s. 907-918.
28. ↑ Socolar, 1990 , s. 599-619.
29. ↑ Steinhardt .
30. ↑ Edwards, Fauve, 1993 .
31. ↑ Levy, Mercier, 2006 , s. 115.

Litteratur

• Nobelprisen i kemi 2011 . — Nobelprize.org.
• Martin Gardner . Matematiske spil  // Scientific American. - 1977. - Januar ( bind 236 ). — S. 111–119 .
• Martin Gardner . Penrose fliser til Trapdoor Ciphers. - W. H. Freeman & Co, 1988. - ISBN 0-7167-1987-8 .
• Schechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn JW Metallisk fase med langtrækkende orienteringsrækkefølge og ingen translationel symmetri // Physical Review Letters. - 1984. - T. 53 , no. 20 . — S. 1951–1953 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 . — .
• Baake M., Grimm U. Aperiodisk Orden. Vol 1: En matematisk invitation. — Cambridge University Press, 2013.
• Robert Berger. Dominoproblemets ubeslutsomhed // Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - T. 66 . — S. 1–72 .
• Raphael M. Robinson. Uafgørlighed og uperiodicitet for flisebelægninger af planet // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 12 , no. 3 . — S. 177–209 . - doi : 10.1007/BF01418780 . - .
• Lagarias JC Meyers begreb om kvasikrystal og kvasiregulære sæt  // Commun. Matematik. Phys.. - 1996. - Vol. 179 , no. 2 . — S. 356–376 .
• Moody RV Meyer-sæt og deres dualer // The Mathematics of Long Range Aperiodic Order, NATO ASI Series C. - 1997. - T. 489 . — S. 403–441 .
• Chaim Goodman Strauss. Matchingsregler og substitutionsfliser  // Annals of Mathematics . - Annals of Mathematics, 1998. - V. 147 , no. 1 . — S. 181–223 . - doi : 10.2307/120988 . — .
• Chaim Goodman Strauss. Et lille aperiodisk sæt plane fliser // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , no. 5 . — S. 375–384 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0281 .
• Branko Grünbaum , Geoffrey C. Shephard. Flisebelægning og mønstre. - W. H. Freeman & Company, 1986. - ISBN 0-7167-1194-X .
• Marjorie Senechal. Kvasikrystaller og geometri. - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0-521-57541-9 .
• Socolar JES Simple ottekantede og dodekagonale kvasikrystaller // Fysisk. Rev. F. - 1989. - T. 39 . — S. 10519–51 . - doi : 10.1103/PhysRevB.39.10519 . — .
• Penrose R. Bemærkninger om fliselægning: detaljer om et 1 +  ε  +  ε 2 -aperiodisk sæt // Mathematics long range aperiodic order, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Matematik. Phys. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 467–497 .
• Nischke K.-P., Danzer L. En konstruktion af inflationsregler baseret på n -fold symmetri // Disc. og Comp. Geom.. - 1996. - V. 15 , no. 2 . — S. 221–236 . - doi : 10.1007/BF02717732 .
• Mozes S. Fliselægninger, substitutionssystemer og dynamiske systemer genereret af dem // Journal d'Analyse Mathématique. - 1989. - T. 53 , no. 1 . — S. 139–186 . - doi : 10.1007/BF02793412 .
• Charles Radin. Flyets pinwheel flisebelægninger  // Annals of Mathematics . - Annals of Mathematics, 1994. - V. 139 , no. 3 . — S. 661–702 . - doi : 10.2307/2118575 . — .
• de Bruijn NG Algebraisk teori om Penroses ikke-periodiske flisebelægninger af planet, I, II // Nederl. Akad. Wetensch. Indeks. Math.. - 1981. - T. 43 . — S. 39–52, 53–66 .
• Le TTQ Lokale regler for kvasiperiodiske flisebelægninger // The mathematics long range aperiodic order, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Matematik. Phys. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 331–366 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_13 .
• Jarkko Kari. Et lille aperiodisk sæt Wang-fliser // Diskret matematik . - 1996. - T. 160 , no. 1-3 . — S. 259–264 . - doi : 10.1016/0012-365X(95)00120-L .
• Chaim Goodman Strauss. Et stærkt aperiodisk sæt fliser i det hyperbolske plan  // Inventiones Mathematicae . - 2005. - T. 159 , udg. 1 . — S. 119–132 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
• Shahar Moses. Aperiodiske flisebelægninger  // Inventiones Mathematicae . - 1997. - T. 128 , no. 3 . — S. 603–611 . - doi : 10.1007/s002220050153 . - .
• Blok J., Weinberger S. Aperiodiske flisebelægninger, positiv skalarkrumning og rumlighed // Journal of the AMS. - 1992. - V. 5 , no. 4 . — S. 907–918 . - doi : 10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x .
• Joshua Socolar. Svage matchingsregler for kvasikrystaller  // Komm. Matematik. Phys.. - 1990. - Vol. 129 , no. 3 . — S. 599–619 . - doi : 10.1007/BF02097107 . - .
• Paul J. Steinhardt. Et nyt paradigme for strukturen af ​​kvasikrystaller . Arkiveret fra originalen den 23. februar 2007.
• Edwards WS, Fauve S. Parametrisk exciterede kvasikrystallinske overfladebølger // Physical Review E. - 1993. - V. 47 , no. 2 . - C. R788 - R791 .
• Levy JC. S., Mercier D. Stabile kvasikrystaller // Acta Phys. superficierum. - 2006. - T. 8 . - S. 115 .
• Joshua ES Socolar1, Joan M. Taylor2. En aperiodisk hexagonal flise  // Journal of Combinatorial Theory Series A. - 2010. - arXiv : 1003.4279v1 .

Links

• Geometrisk skrotplads
• Aperiodiske flisebelægninger