Koniske koordinater

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. februar 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Keglekoordinater er et tredimensionelt ortogonalt koordinatsystem bestående af koncentriske kugler (radius r ) og to familier af vinkelrette kegler rettet langs z- og x -akserne .

Grundlæggende definitioner

De kegleformede koordinater er defineret af udtrykkene $(r,\mu,\nu)$

x={\frac {r\mu \nu }{bc)),

y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}- b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}},

z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}- c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}},

mens der pålægges restriktioner på koordinaterne

\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.

Overflader med konstant r er kugler med radius r centreret ved oprindelsen:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},

overflader af konstanter og er indbyrdes vinkelrette kegler : $\mu$ $\nu$

{\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}+b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0

{\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\nu ^{2}+c^{2}}}=0.

Skalafaktorer

Skaleringsfaktoren for radius r er én ( h r = 1 ), som i sfæriske koordinater. For keglekoordinater er skalafaktorerne

h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\mu ^{2}\right) \left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}

h_{\nu}=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\nu ^{2}\right) \venstre(c^{2}-\nu ^{2}\højre)}}}.

En anden definition

Der er et andet sæt keglekoordinater: [1]

${\begin{aligned}\xi &=r\cos \phi \sin \theta ,\\\psi &=r\sin \phi \sin \theta ,\\\zeta &=\theta ,\end {aligned}}$

hvor er sfæriske polære koordinater. Omvendt konvertering: $\{r,\theta ,\phi \}$

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\xi ^{2}+\psi ^{2}}},\\\phi &={\frac {1}{\sin \zeta }} \operatørnavn {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )),\\\theta &=\zeta .\end{aligned))$

Lille euklidisk afstand mellem to punkter i givne koordinater:

{\begin{aligned}ds^{2}&=d\xi ^{2}+d\psi ^{2}+(\xi ^{2}+\psi ^{2})(1+ \operatørnavn {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))^{2}\operatørnavn {ctg} \zeta ^{2})d\zeta ^{2}+\\&+2\psi \operatørnavn {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))\operatørnavn {ctg} \zeta d\xi d\zeta -2\xi \operatørnavn {arctg} ({\frac {\psi }{ \xi }})\operatørnavn {ctg} \zeta d\psi d\zeta .\end{aligned}}

Hvis vejen mellem to punkter er begrænset af overfladen af en kegle givet af , så er den geodætiske afstand mellem to punkter og udtrykt som $\zeta ={\frac {\pi }{4))$ ${\displaystyle \{\xi _{1},\psi _{1},\zeta _{1}={\frac {\pi }{4))\))$ ${\displaystyle \{\xi _{2},\psi _{2},\zeta _{2}={\frac {\pi }{4))\))$ $s_{12}^{2}=(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\psi _{1}-\psi _{2})^{2 }.$

Noter

↑ Drake, Samuel Picton; Anderson, Brian D.O.; Yu, Changbin. Årsagssammenhæng mellem elektromagnetiske signaler ved hjælp af Cayley-Menger-determinanten (engelsk) // Applied Physics Letters : journal. - 2009. - 20. juli ( bind 95 , nr. 3 ). — P. 034106 . — ISSN 0003-6951 . - doi : 10.1063/1.3180815 .

Litteratur

Morse PM, Feshbach H. Metoder til teoretisk fysik, del I (neopr.) . - New York: McGraw-Hill Education , 1953. - S. 659. - ISBN 0-07-043316-X .
Margenau H., Murphy GM Matematikken i fysik og kemi (uspecificeret) . - New York: D. van Nostrand, 1956. - S. 183-184 .
Korn GA, Korn TM Matematisk håndbog for videnskabsmænd og ingeniører (engelsk) . - New York: McGraw-Hill Education , 1961. - S. 179.
Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (neopr.) . - New York: Springer Verlag , 1967. - S. 991-100.
Arfken G. Matematiske Metoder for Fysikere (ubestemt) . — 2. - Orlando, FL: Academic Press , 1970. - s. 118-119.
Moon P., Spencer DE Koniske koordinater (r, θ, λ) // Felteorihåndbog, inklusive koordinatsystemer, differentialligninger og deres løsninger (engelsk) . rettede 2. udg., 3. tryk. - New York: Springer-Verlag , 1988. - S. 37-40 (Tabel 1.09). — ISBN 978-0-387-18430-2 .

Links

Beskrivelse af keglekoordinater i MathWorld

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor