Legendre hypotese

Legendres formodning (Landaus 3. opgave) er en matematisk formodning fra en familie af resultater og hypoteser om intervaller mellem primtal , ifølge hvilken der for enhver naturlig eksisterer et primtal mellem og . Det er et af Landaus problemer . Formuleret af Legendre i 1808, [1] fra 2022 hverken bevist eller afkræftet. $n$ $n^{2}$ $(n+1)^2$

Prime ranges

Det følger af sætningen om fordelingen af primtal , at antallet af primtal mellem og [2] asymptotisk har en tendens til . Da dette tal stiger med stigende , giver dette grundlag for Legendres hypotese. $n^{2}$ $(n+1)^2$ $n/\ln n$ $n$

Hvis formodningen er sand, skal intervallet mellem et hvilket som helst primtal og det næste primtal altid være i orden [3] , og i notation er intervallet . To stærkere hypoteser, Andritz ' formodning og Oppermans formodning, antager den samme opførsel af intervaller. Hypotesen giver ikke en løsning på Riemann-hypotesen , men styrker en af konsekvenserne, hvis hypotesen er sand. $s$ $\sqrt{p}$ $O$ $O(\sqrtp)$

Hvis Cramers formodning er sand (at intervallerne har orden ), så vil Legendres formodning følge af den for tilstrækkeligt store . Cramer viste også, at en svagere binding til størrelsen af det største interval mellem primtal følger af Riemann-hypotesen [4] . $(\log p)^{2}$ $n$ $O({\sqrt {p}}\log p)$

Et modeksempel omkring 10 18 skulle have et interval på 50 millioner gange det gennemsnitlige interval.

Det følger af Legendres formodning, at mindst én primtal kan findes i hver halve omgang af Ulam-spiralen .

Delvise resultater

I begyndelsen af 2000'erne blev det fastslået, at der er et primtal i intervallet for alle store [5] . $[x,\,x+O(x^{21/40})]$ $x$

Tabellen over maksimale intervaller af primtal viser [6] , at hypotesen holder op til . $n^{2}=4\cdot 10^{18}$

Det er blevet bevist, at for et uendeligt antal tal , $n \i \mathbb N$

\left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)))-{\frac {n ^{2}}{\log n}}\højre)-{\frac {(\log n)^{2}}{\log \log n}}\højre\rgulv \leq \pi \venstre((n +1)^{2}\højre)-\pi \venstre(n^{2}\højre),

hvor er fordelingsfunktionen af primtal [7] . $\pi$

Se også

Noter

↑ BEVIS OG UDVIDELSE AF LEGANDRE-HYPOTESEN I PRIMTALTEORIEN
↑ OEIS -sekvens A014085 . _
↑ Dette er en konsekvens af, at forskellen mellem to på hinanden følgende kvadrater er af størrelsesordenen af deres kvadratrødder.
↑ Stewart, 2013 , s. 164.
↑ Baker, Harman, Pintz, Pintz, 2001 , s. 532-562.
↑ Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014 , s. 2033-2060.
↑ Hassani, Mehdi (2006), Tællende primtal i intervallet ( n 2 , ( n + 1) 2 ), arΧiv : math/0607096 .

Litteratur

Baker RC, Harman G., Pintz G., Pintz J. Forskellen mellem på hinanden følgende primtal, II // Proceedings of the London Mathematical Society. - 2001. - Bd. 83 , iss. 3 . - s. 532-562 . - doi : 10.1112/plms/83.3.532 .
Tomás Oliveira og Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Empirisk verifikation af den jævne Goldbach-formodning og beregning af primgab op til // Mathematics of Computation. - 2014. - Bd. 83 , iss. 288 . - S. 2033-2060 . - doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . $4\cdot 10^{18}$
Ian Stewart. Visions of Infinity: De store matematiske problemer (engelsk) . - Grundbøger, 2013. - ISBN 9780465022403 . .

Links

Weisstein, Eric W. Legendres formodning (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
Hashimoto, Tsutomu (2008), Om et vist forhold mellem Legendres formodning og Bertrands postulat, arΧiv : 0807.3690 .
Mitra, Adway; Paul, Goutam & Sarkar, Ushnish (2009), Nogle formodninger om antallet af primtal i visse intervaller, arΧiv : 0906.0104 .
Paz, German (2013), Om Legendres, Brocards, Andircas og Oppermanns formodninger, arΧiv : 1310.1323 .

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Siden - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotese Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotese Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problemer Goldbach Legendre Tvillingtal Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Hypotese H Waringa