Intervaller mellem primtal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. marts 2020; checks kræver 7 redigeringer .

Intervaller mellem primtal er forskellene mellem to på hinanden følgende primtal . Det n -te interval, betegnet med , er forskellen mellem ( n + 1)-te og n - te primtal, dvs. $g_{n}$

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.

Vi har :. Sekvensen af intervaller mellem primtal er godt undersøgt. Nogle gange overvejes en funktion i stedet $g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4$ $g_{n}$ $g(p_{n})$ $g_{n}$

De første 30 primeintervaller er som følger:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 sekvens A001223 i OEIS .

Simple bemærkninger

For ethvert primtal P vil vi med P # betegne primotallet af P , det vil sige produktet af alle primtal, der ikke overstiger P . Hvis Q er primtallet efter P , så sekvensen

P\#+2,P\#+3,\dots ,P\#+(Q-1)

er en sekvens af på hinanden følgende sammensatte tal, så der er intervaller mellem primtal af længde ikke mindre end . Derfor er der vilkårligt store intervaller mellem primtal, og for ethvert primtal P er der n sådan (selvfølgelig kan vi vælge n sådan, at det er det største primtal, der ikke overstiger .). En anden måde at se, at der er vilkårligt store intervaller mellem primtal, er at bruge det faktum, at sættet af primtal har tæthed nul, ifølge primtalssætningen . $Q-2$ $Q-1$ $g_{n}\geqslant P$ $p_n$ $P\#+2$

Faktisk kan intervallet mellem primtal P forekomme mellem primtal meget mindre end P #. For eksempel er den allerførste sekvens af 71 på hinanden følgende sammensatte tal mellem 31398 og 31468, mens 71# er et 27-cifret tal .

Allerede den gennemsnitlige værdi af intervallerne mellem primtal vokser som den naturlige logaritme af n .

På den anden side siger den simple tvillingeformodning , at for uendeligt mange n . $g_{n}=2$

Prime-intervaller kan estimeres ovenfra og nedefra ved hjælp af Jacobsthal-funktionen (sekvens A048670 i OEIS ).

Numeriske resultater

Fra den 16. april 2022 er det længste kendte interval mellem 208095-cifrede tal, der er bestemt til at være sandsynlige primtal , 7186572 og M = 14,9985. Det blev fundet af Michiel Jansen ved hjælp af et program skabt af JK Andersen. [1] [2]

Pr. 8. marts 2013 er det største kendte interval mellem 18662 beviste primtal 1113106 langt og M = 25,90. Den blev fundet af P. Cami, M. Jansen og JK Andersen. [4]

Forholdet M = g n /ln( p n ) viser, hvor mange gange det givne interval g n afviger fra det gennemsnitlige interval mellem primtal nær primtallet p n . На 2017 год наибольшее известное значение M =41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределенных вычислений Gapcoin [5] .

Relationen S = g n /ln 2 p n (Cramer-Shanks-Granville-relationen) studeres i forbindelse med Cramers hypotese om, at . Hvis vi ikke betragter de unormalt høje værdier af S observeret for, så blev den største kendte værdi af S = 0,9206386 fundet for et interval med længden 1132 efter det 16-cifrede primtal 1693182318746371. Denne post blev fundet i 1999 af Bertil Nyman [6] (sekvens A111943 i OEIS indeholder denne og alle foregående primtal svarende til rekordværdierne for S ). $g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})$ $p_{n}=2,3,7,$ $p_{n}\geq 23$

Vi vil sige, hvad det maksimale interval er, hvis for alle . Mellem de første primtal er der tilnærmelsesvis maksimale intervaller [7] ; se også OEIS -sekvens A005250 . $g_{n}$ $k<n$ ${\displaystyle g_{k}<g_{n))$ $n$ $2\ln n$

Første 82 maksimale intervaller ( n ikke givet; se OEIS A005669)

1 til 30

#	gn _	p n
en	en	2
2	2	3
3	fire	7
fire	6	23
5	otte	89
6	fjorten	113
7	atten	523
otte	tyve	887
9	22	1129
ti	34	1327
elleve	36	9551
12	44	15683
13	52	19609
fjorten	72	31397
femten	86	155921
16	96	360653
17	112	370261
atten	114	492113
19	118	1349533
tyve	132	1357201
21	148	2010733
22	154	4652353
23	180	17051707
24	210	20831323
25	220	47326693
26	222	122164747
27	234	189695659
28	248	191912783
29	250	387096133
tredive	282	436273009

31 til 60

#	gn _	p n
31	288	1294268491
32	292	1453168141
33	320	2300942549
34	336	3842610773
35	354	4302407359
36	382	10726904659
37	384	20678048297
38	394	22367084959
39	456	25056082087
40	464	42652618343
41	468	127976334671
42	474	182226896239
43	486	241160624143
44	490	297501075799
45	500	303371455241
46	514	304599508537
47	516	416608695821
48	532	461690510011
49	534	614487453523
halvtreds	540	738832927927
51	582	1346294310749
52	588	1408695493609
53	602	1968188556461
54	652	2614941710599
55	674	7177162611713
56	716	13829048559701
57	766	19581334192423
58	778	42842283925351
59	804	90874329411493
60	806	171231342420521

61 til 82

#	gn _	p n
61	906	218209405436543
62	916	1189459969825483
63	924	1686994940955803
64	1132	1693182318746371
65	1184	43841547845541059
66	1198	55350776431903243
67	1220	80873624627234849
68	1224	203986478517455989
69	1248	218034721194214273
70	1272	305405826521087869
71	1328	352521223451364323
72	1356	401429925999153707
73	1370	418032645936712127
74	1442	804212830686677669
75	1476	1425172824437699411
76	1488	5733241593241196731
77	1510	6787988999657777797
78	1526	15570628755536096243
79	1530	17678654157568189057
80	1550	18361375334787046697
81	1552	18470057946260698231
82	1572	18571673432051830099
83
84
85
86
87
88
89
90

De største intervaller af de første ti tusinde

Allerede i det andet tusinde er der et interval, 34 tal langt, hvori der ikke er primtal - (1327-1361). Desuden holder dette interval sin længderekord op til tiende tusinde. Kun i det niende tusinde er der et andet interval af samme længde - (8467-8501), og i det tiende - et længere interval (36 numre) - (9551-9587), som er det længste interval af de første ti tusinde . Der er også et interval med en længde på 32 numre - (5591-5623).

Yderligere resultater

Øvre grænser

Bertrands postulat siger, at der for enhver k altid eksisterer mindst et primtal mellem k og 2 k , så især , hvorfra . ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n))$ ${\displaystyle g_{n}<p_{n))$

Primtalsfordelingssætningen siger, at den "gennemsnitlige længde" af intervallerne mellem et primtal p og det næste primtal er af orden . Den faktiske intervallængde kan være større eller mindre end denne værdi. Men fra sætningen om fordelingen af primtal kan man udlede en øvre grænse for længden af intervaller af primtal: for enhver er der sådan N , der for alle vil være . $\ln s$ $\varepsilon >0$ $n>N$ $g_{n}<\varepsilon p_{n}$

Hoheisel var den første til at vise [8] , at der eksisterer en sådan konstant $\theta<1$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

på

x\til +\infty

deraf følger det

g_{n}<p_{n}^{\theta },

for stor nok n .

Det følger heraf, at intervallerne mellem primtal bliver vilkårligt mindre i forhold til primtal: kvotienten har en tendens til nul, da n har en tendens til uendelig. $\frac{g_n}{p_n}$

Hoheisel fik en mulig værdi på 32999/33000 for . Denne binding er blevet forbedret til 249/250 af Heilbron [9] , og til enhver af Chudakov [10] . $\theta$ $\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$ $\varepsilon >0$

Den største forbedring blev foretaget af Ingham [11] , som viste, at if

\zeta (1/2+it)=O(t^{c})

for en eller anden konstant , hvor O bruges i betydningen af notationen O er stor , så $c>0$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

for enhver . Her betegner som sædvanlig Riemann zeta-funktionen , og betegner fordelingsfunktionen af primtal, der ikke overstiger x . Det er kendt, at det er tilladt , hvorfra ethvert tal større end . Det følger umiddelbart af Inghams resultat, at der altid eksisterer et primtal mellem tallene og for tilstrækkeligt store n . Bemærk, at Lindelöf-formodningen endnu ikke er blevet bevist , som siger, at ethvert positivt tal kan vælges som c , men det følger af den, at der altid eksisterer et primtal mellem og for tilstrækkeligt stort n (se også Legendre-formodning ). Hvis denne formodning er korrekt, er det muligt, at der er behov for en endnu mere stringent Cramers formodning . En af de opnåede tilnærmelser til Legendres formodning er det beviste faktum, at . [12] $\theta > \frac{1+4c}{2+4c}$ $\zeta$ $\pi(x)$ $c > \frac{1}{6}$ $\theta$ $\frac{5}{8}$ $n^3$ $(n+1)^3$ $n^{2}$ $(n+1)^2$ $g(p_{n})=O({p_{n))^{\frac {21}{40)))$

Martin Huxley viste, at man kan vælge [13] . $\theta = \frac{7}{12}$

Det sidste resultat skyldes Backer, Harman og Pinz , som viste, at 0,525 kan tages. [12] $\theta$

I 2005 beviste Daniel Goldston , Janos Pinc og Cem Yildirim det

\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0

og senere forbedrede dette [14] til

\liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}({\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2} }}<\infty

I 2013 indsendte Zhang Yitang en artikel, der beviste, at [15]

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.

Dette resultat er gentagne gange blevet forbedret op til

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.

Især følger det herfra, at mængden af alle par af primtal, hvis forskel ikke overstiger 246, er uendelig [16] [17] .

Nedre grænser

Robert Rankin beviste, at der eksisterer en konstant sådan, at uligheden $c>0$

g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2 }}}

varer ved i uendeligt mange værdier af n . Den bedst kendte værdi for c indtil videre er , hvor er Euler-Mascheroni-konstanten . [18] Paul Erdős tilbød en præmie på $5.000 for at bevise eller modbevise, at konstanten c i ovenstående ulighed kan være vilkårligt stor. [19] $c=2e^{\gamma }$ $\gamma$

Hypoteser om intervaller mellem primtal

Endnu bedre resultater er mulige her end dem, der kan opnås ved at antage Riemann-hypotesens sandhed . Harald Cramer beviste, at hvis Riemann-hypotesen er sand, så opfylder intervallerne forholdet $g(p_{n})$

g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n),

(her bruges notationen O big ). Han foreslog senere, at intervallerne voksede meget mindre. Det antog han groft sagt

g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).

I øjeblikket er dette angivet ved numeriske beregninger. Se Cramers hypotese for flere detaljer .

Andrica-hypotesen siger det

g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.

Dette er en svag styrkelse af Legendre-formodningen , som siger, at der er mindst et primtal mellem ethvert par af kvadrater af naturlige tal.