Algebraisk system

Et algebraisk system i universel algebra er et ikke-tomt sæt ( bærer ) med et sæt operationer og relationer ( signatur ) angivet på det. Et algebraisk system med et tomt sæt af relationer kaldes en algebra , og et system med et tomt sæt af operationer kaldes en model . $G$

$n$ -ary operation on er en kortlægning af det direkte produkt af forekomster af et sæt til selve sættet . Per definition er en nul-operation simpelthen et fornemt element i et sæt. Oftest betragtes unære og binære operationer, da de er lettere at arbejde med, men på grund af behovene for topologi , algebra , kombinatorik , akkumuleres teknikken til at arbejde med operationer med større aritet gradvist , her, som et eksempel, kan citere teorien om operader (kloner af multilineære operationer) og algebraer over dem ( af multioperatoralgebraer ). $G$ $n$ $G^{n}\til G$

Begrebet opstod fra observationer af almenheden af konstruktioner, der er karakteristiske for forskellige generelle algebraiske strukturer, såsom grupper , ringe , gitter ; det drejer sig især om konstruktionerne af et undersystem (generaliserer begreberne henholdsvis en undergruppe , underring , undergitter ), homomorfi , isomorfisme , faktorsystem (hhv . generalisering af konstruktionen af en faktagruppe , faktorring , faktorgitter ). Denne generalitet studeres i et uafhængigt afsnit af generel algebra - universel algebra , mens der opnås en række meningsfulde resultater, der er karakteristiske for alle algebraiske systemer, for eksempel, sådan er homomorfismesætningen , som i tilfælde af et algebraisk system uden givet relationer - algebra - er forfinet til isomorfismesætninger kendt tidligere fra gruppeteori og ringteori .

I matematik bruges begrebet " algebraisk struktur " også med varierende grad af stringens . Især Bourbaki formaliserer det som et sæt udstyret med operationer; i dette tilfælde betragtes et sæt med relationer (hvis tilstedeværelsen er mulig for et algebraisk system) allerede som en matematisk struktur af en anden art - en ordensstruktur . Det er dog ikke alle algebraiske strukturer, der er beskrevet af algebraiske systemer uden yderligere konstruktioner , coalgebraer , bialgebraer , Hopf algebraer og comoduler over dem kan nævnes som et eksempel på sådanne; derudover, selv for at definere sådanne klassiske strukturer som et modul over en ring eller en algebra over et felt , bruger universel algebra sådanne kunstige konstruktioner som definitionen for hvert element i en ring (felt) af en unær operation af multiplikation med dette element.

Hovedklasser af algebraiske systemer

Sættet kan betragtes som et degenereret algebraisk system med et tomt sæt af operationer og relationer [1] .

Groupoids, semigroups, groups

En groupoid er et sæt med én binær operation , normalt kaldet multiplikation . $\cdot :G\gange G\til G$
Den rigtige kvasigruppe er en gruppeoid, hvor højredeling er mulig, det vil sige, at ligningen har en unik løsning for enhver og . $x\cdot a=b$ $-en$ $b$
En kvasigruppe er både en højre og en venstre kvasigruppe.
En løkke er en kvasigruppe med et neutralt element, sådan at . $e\in G$ $a\cdot e=e\cdot a=a$
En semigruppe er en gruppeoid, hvor multiplikation er associativ : . $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
En monoid er en halvgruppe med et neutralt element.
En gruppe er en monoid, hvor man for hvert element a i gruppen kan definere et omvendt element a −1 , således at . $a\cdot a^{{-1}}=a^{{-1}}\cdot a=e$
En abelsk gruppe er en gruppe, hvor operationen er kommutativ , dvs. Operationen på en abelsk gruppe kaldes ofte addition ('+'). $a\cdot b=b\cdot a$

Ringe

En ring er en struktur med to binære operationer (en Abelsk gruppe ved addition med en given anden associativ binær operation, multiplikation), hvor fordelingsloven er opfyldt : . $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
En kommutativ ring er en ring med kommutativ multiplikation.
En integral ring er en ring, hvor produktet af to ikke-nul elementer ikke er lig med nul.

Et legeme er en ring, hvor ikke-nul elementer danner en multiplikationsgruppe.
Et felt er en kommutativ ring, der er en krop.

En semiring ligner en ring, men uden reversibilitet af tilføjelse.
En nærring er også en generalisering af en ring, som adskiller sig fra en almindelig ring i fraværet af kravet om, at addition skal være kommutativ, og fraværet af kravet om, at multiplikation skal være distributiv over addition (venstre eller højre)

Algebraer

Algebra er et lineært rum med en bilineær distributiv multiplikationsoperation, med andre ord en ring med en konsistent lineær rumstruktur
Associativ algebra - algebra med associativ multiplikation
Algebra af udtryk
Kommutativ algebra
Graderet algebra
En Lie -algebra er en algebra med antikommutativ multiplikation (normalt betegnet ), der opfylder Jacobi-identiteten $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
Leibniz- algebraen er en algebra med multiplikation (normalt betegnet ), der opfylder Jacobi-identiteten $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
Jordan-algebraen er en kommutativ algebra med den svage associativitetsidentitet : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$
En ikke-kommutativ jordansk algebra er en ikke-kommutativ algebra med den svage associativitetsidentitet: og elasticitetsidentiteten : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$ $x(yx)=(xy)x$
Alternativ Algebra - Algebra med identiteter $x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x$
Maltsev-algebraen er en antikommutativ algebra med identiteten : $(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x$
Kommutativ-associativ algebra
En algebra over en operad er en af de mest generelle typer af algebraiske systemer. Her spiller operaden selv rollen som algebraens signatur.

Grids

Et gitter er en struktur med to kommutative, associative, idempotente operationer, der opfylder absorptionsloven .
boolsk algebra .

Noter

↑ Kurosh A. G. Generel algebra. - M.: Nauka, 1974. S.15

Litteratur

Artamonov V. A. . Kapitel VI. Universal Algebraer // Generel Algebra / Udg. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. - 480 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 25.000 eksemplarer. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Universal Algebra. - M .: Mir , 1969. - 351 s.
Maltsev AI algebraiske systemer. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17.500 eksemplarer.