Generaliseret firkant

En generaliseret firkant er en incidensstruktur, hvis hovedegenskab er fraværet af trekanter (strukturen indeholder dog mange firkanter). En generaliseret firkant er per definition et polært rum rang to. Generaliserede firkanter er generaliserede polygoner med n = 4 og næsten 2n-goner med n = 2. De er også nøjagtigt partielle geometrier pg( s , t ,α) med α = 1.

Definition

En generaliseret firkant er en incidensstruktur ( P , B , I), hvor er en incidensrelation, der opfylder visse aksiomer . Elementerne i P , per definition, er hjørner (punkter) af en generaliseret firkant, elementerne i B er rette linjer . Aksiomerne er: $\mathrm {I} \subseteq P\times B$

Der er et tal s ( s ≥ 1), således at der er nøjagtigt s + 1 punkter på enhver linje. Der er højst et punkt på to adskilte linjer.
Der er et tal t ( t ≥ 1), således at præcis t + 1 linjer passerer gennem ethvert punkt . Der er højst én linje gennem to adskilte punkter.
For ethvert punkt p , der ikke ligger på linjen L , er der en unik linje M og et unikt punkt q , således at p ligger på M og q ligger på M og L.

Et par tal ( s , t ) er parametrene for den generaliserede firkant. Mulighederne kan være uendelige. Hvis enten tallet s eller t er lig med én, kaldes den generaliserede firkant trivial . For eksempel er et 3x3 gitter med P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} og B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} en trivial generaliseret firkant med s = 2 og t = 1. En generaliseret firkant med parametre ( s , t ) betegnes ofte som GQ( s , t ) (fra det engelske G eneralized Q uadrangle).

Den mindste ikke-trivielle generaliserede firkant er GQ(2,2) , hvis repræsentation Stan Payne kaldte "serviet" i 1973.

Egenskaber

$|P|=(st+1)(s+1)$
$|B|=(st+1)(t+1)$
$(s+t)|st(s+1)(t+1)$
${\displaystyle s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2))$
${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2))$

Earls

Der er to interessante grafer, der kan fås fra en generaliseret firkant.

En collineær graf, der indeholder alle punkterne i en generaliseret firkant som hjørner, hvor de collineære punkter er forbundet med en kant. Denne graf er en meget regulær graf med parametre ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), hvor (s,t) er rækkefølgen af firkanten.
En incidensgraf, hvis toppunkter alle er punkter og linjer i en generaliseret firkant, og to toppunkter er tilstødende, hvis det ene toppunkt svarer til en linje og det andet til et punkt på den linje. Incidensgrafen for en generaliseret firkant er forbundet og er en todelt graf med diameter fire og omkreds otte. Således er en generaliseret firkant et eksempel på en celle . Incidensgraferne for konfigurationer kaldes i øjeblikket Levy-grafer , men den originale Levy-graf var incidensgrafen for den generaliserede firsidede GQ(2,2).

Dualitet

Hvis ( P , B ,I) er en generaliseret firkant med parametre ( s , t ), så er ( B , P ,I −1 ) også en generaliseret firkant (her betyder I −1 den inverse incidensrelation). Denne firkant kaldes den dobbelte generaliserede firkant . Dens parametre vil være parret ( t , s ). Selv for s = t er dobbeltstrukturen ikke nødvendigvis isomorf i forhold til den oprindelige struktur.

Generaliserede firkanter med linjestørrelse 3

Der er præcis fem (degenererede tilladte) generaliserede firkanter, hvor hver linje har tre punkter, der falder ind i den

firkant med tomt sæt linjer
firkant, hvor alle linjer går gennem et fast punkt, som svarer til vindmøllen Wd(3,n)
3x3 gitter
firkant W(2)
generaliseret firkant GQ(2,4)

Disse fem firkanter svarer til de fem rodsystemer i ADE-klasserne A n , D n , E 6 , E 7 og E 8 , dvs. enkelt-tråds rodsystemer (dette betyder, at elementer i Dynkin-diagrammer ikke har flere links) [1] [2] .

Klassiske generaliserede firkanter

Hvis vi betragter forskellige slags polære rum med mindst tre rang og ekstrapolerer dem til rang 2, kan vi finde disse (endelige) generaliserede firkanter:

Den andenordens hyperbolske overflade (kvadrisk) , parabolsk kvadrisk og elliptisk kvadrisk er de eneste mulige kvadrikker i projektive rum over endelige felter med projektivt indeks 1. Parametrene for disse kvadrikker er: $Q^{+}(3,q)$ $Q(4,q)$ $Q^{-}(5,q)$

Q(3,q):\ s=q,t=1

(det er bare et gitter)

Q(4,q):\ s=q,t=q

{\displaystyle Q(5,q):\ s=q,t=q^{2))

En hermitisk manifold har projektivt indeks 1, hvis og kun hvis n er 3 eller 4. Vi har: $H(n,q^{2})$

H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q

{\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3))

Den symplektiske polaritet i har et maksimalt isotropt underrum af dimension 1 hvis og kun hvis . Her har vi en generaliseret firkant med parametre . $PG(2d+1,q)$ $d=1$ $W(3,q)$ $s=q,t=q$

Den generaliserede firkant afledt af er altid isomorf til den dobbelte struktur til , begge strukturer er selv-duale og er derfor isomorfe for hinanden, hvis og kun hvis er lige. $Q(4,q)$ $W(3,q)$ $q$

Ikke-klassiske eksempler

Lad O være en hyperoval i med q lig med en lige potens af et primtal , og en indlejring af dette projektive (Desarguesian) plan i . Overvej nu incidensstrukturen , hvor alle punkter er punkter, der ikke ligger på . Linjerne i denne struktur er punkter, der ikke ligger i og skærer hinanden i punktet O , og forekomsten er defineret på en naturlig måde. Dette er en (q-1,q+1) -generaliseret firkant. $PG(2,q)$ $\pi$ $PG(3,q)$ $T_{2}^{*}(O)$ $\pi$ $\pi$ $\pi$
Lad q være en potens af et primtal (ulige eller lige). Overvej den symbolske polaritet i . Vi vælger et tilfældigt punkt p og bestemmer . Lad linjerne i vores indfaldsstruktur alle være absolutte linjer [3] der ikke ligger i , sammen med alle de linjer der går gennem punktet p , men ikke ligger på , og punkterne - alle punkter der ikke ligger på . Incidensrelationen vil være den naturlige forekomst. Vi fik igen (q-1,q+1) -generaliseret firkant. $\theta$ $PG(3,q)$ ${\displaystyle \pi =p^{\theta ))$ $\pi$ $\pi$ $PG(3,q)$ $\pi$

Parameterbegrænsninger

For gitter og dobbeltgitter er der for ethvert heltal z , z ≥ 1 generaliserede firkanter med parametre (1, z ) og ( z ,1). Bortset fra dette tilfælde er det kun de følgende parametre, der er tilladt (her er q en vilkårlig potens af et primtal ):

(q,q)

(q,q^{2})

(q^{2},q)

(q^{2},q^{3})

(q^{3},q^{2})

(q-1,q+1)

(q+1,q-1)

Noter

↑ Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976 , s. 305-327.
↑ Brower .
↑ Lad rummet være udstyret med polaritet (en kortlægning af punkter til linjer af orden to med bevarelse af incidens). I dette tilfælde kan punktet ligge på sit billede (på linjen), men det er ikke nødvendigt. Et punkt er absolut, hvis det ligger på sit billede, og en linje er absolut, hvis det passerer gennem sit billede (punkt).

Litteratur

Payne SE, Thas JA Finite generaliserede firkanter . - Boston, MA: Pitman (Advanced Publishing Program), 1984. - V. 110. - P. vi+312. — (Forskningsnotater i matematik). - ISBN 0-273-08655-3 .
- Payne SE, Thas JA Finite generaliserede firkanter. - European Mathematical Society, 2009. - (EMS Series of Lectures in Mathematics). - ISBN 978-3-03719-066-1 .

Cameron PJ, Goethals JM, Seidel JJ, Shult EE Linjegrafer, rodsystemer og elliptisk geometri // Journal of Algebra. - Academic Press, 1976. - V. 43 , no. 1 .
Brouwer A.E. Algebra og geometri . – Kursus 2WF02 / 2WF05. (ubestemt)