Euklid
| Euklid | |
|---|---|
| anden græsk Εὐκλείδης | |
| Statue til ære for Euclid på Oxford University Museum of Natural History. | |
| Fødselsdato | omkring 325 f.Kr. e. |
| Fødselssted |
|
| Dødsdato | indtil 265 f.Kr. e. |
| Et dødssted | Alexandria , det hellenistiske Egypten |
| Land | |
| Videnskabelig sfære | matematik |
| Studerende | Diocleides af Athen [d] [1] |
| Kendt som | "Geometriens fader" |
 Citater på Wikiquote | |
 Arbejder hos Wikisource | |
| Mediefiler på Wikimedia Commons | |
Euklid eller Euklid ( andre græsk Εὐκλείδης , fra "god berømmelse" [2] ; storhedstid - omkring 300 f.Kr.) - en gammel græsk matematiker , geometer, forfatter til den første teoretiske afhandling om matematik , der er kommet ned til os . Biografiske oplysninger om Euklid er yderst sparsomme. Det kan kun anses for pålideligt, at hans videnskabelige aktivitet fandt sted i Alexandria i det 3. århundrede f.Kr. e. [3]
Euklid er den første matematiker i den alexandrinske skole . Hans hovedværk " Principles " ( Στοιχεῖα , i latiniseret form - "Elementer") indeholder en præsentation af planimetri , stereometri og en række spørgsmål inden for talteori ; i den opsummerede han den tidligere udvikling af oldgræsk matematik og skabte grundlaget for den videre udvikling af denne videnskab. Af hans andre værker er det værd at bemærke "On the Division of Figures", bevaret i arabisk oversættelse, 4 bøger "Conic Sections", hvis materiale blev inkluderet i værket af samme navn af Apollonius af Perga , samt "Porisms", en idé om, som kan fås fra Pappus ' "Matematisk samling" . Euclid er også forfatter til værker om astronomi , optik , musik osv. [4]
Biografi
De mest pålidelige oplysninger om Euklids liv tilskrives sædvanligvis det lille, der er givet i kommentarerne fra Proclus til den første bog af Euklids elementer (selvom det skal tages i betragtning, at Proclus levede næsten 800 år efter Euklid). Proclus bemærker, at "matematikere, der skrev om historien" ikke bragte udviklingen af denne videnskab til Euklids tid, påpeger Proclus , at Euklid var yngre end den platoniske cirkel, men ældre end Arkimedes og Eratosthenes , "levede på Ptolemæus ' tid I Soter ”, “fordi Arkimedes, som levede under Ptolemæus den Første, nævner Euklid og især fortæller, at Ptolemæus spurgte ham, om der var en kortere vej til at studere geometri end Begyndelsen ; og han svarede, at der ikke er nogen kongelig vej til geometri” [5] [6] .
Yderligere detaljer til portrættet af Euklid kan hentes fra Pappus og Stobeus . Papp rapporterer, at Euklid var blid og elskværdig over for alle, der selv i den mindste grad kunne bidrage til udviklingen af matematiske videnskaber, og Stobaeus fortæller en anden anekdote om Euklid. Efter at have påbegyndt studiet af geometri og efter at have analyseret den første sætning, spurgte en ung mand Euklid: "Og hvad vil være fordelen for mig fra denne videnskab?" Euklid kaldte slaven og sagde: "Giv ham tre oboler , da han vil tjene på sine studier" [7] . Historiens historicitet er tvivlsom, da der fortælles en lignende historie om Platon.
Nogle moderne forfattere fortolker Proclus' udtalelse - Euklid levede under Ptolemæus I Soters tid - i den forstand, at Euklid boede ved Ptolemæus' hof og var grundlæggeren af Museion of Alexandria [8] . Det skal dog bemærkes, at denne idé blev etableret i Europa i det 17. århundrede, mens middelalderlige forfattere identificerede Euklid med eleven af Sokrates , filosoffen Euklid af Megara .
Arabiske forfattere troede, at Euklid boede i Damaskus og udgav Apollonius ' elementer der . [9] Et anonymt arabisk manuskript fra det 12. århundrede rapporterer:
Euclid, søn af Naucrates, kendt under navnet "Geometer", en videnskabsmand fra den gamle tid, græsk af oprindelse, syrisk af bopæl, oprindeligt fra Tyrus ...
Dannelsen af alexandrinsk matematik (geometrisk algebra) som videnskab er også forbundet med navnet Euklid [10] . Generelt er mængden af data om Euklid så sparsom, at der er en version (dog ikke særlig almindelig), at vi taler om et kollektivt pseudonym for en gruppe alexandrinske videnskabsmænd [11] .
Elementer af Euclid
Euklids hovedværk kaldes begyndelsen. Bøger med samme titel, som successivt præsenterede alle de grundlæggende fakta inden for geometri og teoretisk aritmetik, blev kompileret tidligere af Hippokrates fra Chios , Leontes og Theeudius . Imidlertid tvang Euklids elementer alle disse værker ud af brug og forblev i mere end to årtusinder den grundlæggende lærebog i geometri. I skabelsen af sin lærebog inkluderede Euklid meget af det, der var blevet skabt af hans forgængere, idet han bearbejdede dette materiale og bragte det sammen.
Begyndelsen består af tretten bøger. Den første og nogle andre bøger er forudgået af en liste med definitioner. Forud for den første bog er der også en liste over postulater og aksiomer. Som regel definerer postulater grundlæggende konstruktioner (f.eks. "det kræves, at en linje kan trækkes gennem to vilkårlige punkter"), og aksiomer giver generelle regler for slutninger, når man arbejder med mængder (f.eks. "hvis to størrelser er lige store til en tredjedel er de lige indbyrdes").
Bog I studerer egenskaberne ved trekanter og parallelogrammer; denne bog er kronet af den berømte Pythagoras sætning for retvinklede trekanter. Bog II, der går tilbage til Pythagoræerne, er helliget den såkaldte "geometriske algebra". Bog III og IV omhandler cirklers geometri samt indskrevne og omskrevne polygoner; når han arbejdede på disse bøger, kunne Euklid bruge Hippokrates fra Chios ' skrifter . Bog V introducerer den generelle teori om proportioner bygget af Eudoxus af Cnidus , og i Bog VI anvendes den på teorien om lignende figurer. Bøgerne VII-IX er viet til teorien om tal og går tilbage til pythagoræerne; forfatteren til bog VIII kan have været Archytas fra Tarentum . I disse bøger overvejes sætninger om proportioner og geometriske progressioner, en metode introduceres til at finde den største fælles divisor af to tal (nu kendt som Euklids algoritme ), selv perfekte tal konstrueres , og uendeligheden af sættet af primtal er bevist . I X-bogen, som er den mest omfangsrige og komplekse del af Begyndelsen , opbygges en klassifikation af irrationaliteter; det er muligt, at dens forfatter er Theaetetus fra Athen . Bog XI indeholder det grundlæggende i stereometri. I bog XII, ved hjælp af udmattelsesmetoden, bevises sætninger om forholdet mellem cirklernes områder såvel som volumen af pyramider og kegler; forfatteren til denne bog er ganske vist Eudoxus af Cnidus . Til sidst er bog XIII viet konstruktionen af fem regulære polyedre; det menes, at nogle af bygningerne er tegnet af Theaetetus fra Athen .
I de manuskripter, der er kommet ned til os, er der tilføjet yderligere to til disse tretten bøger. Bog XIV tilhører de Alexandriske Hypsikler (ca. 200 f.Kr.), og Bog XV blev skabt under livet af Isidore af Milet , bygmesteren af kirken St. Sophia i Konstantinopel (begyndelsen af det 6. århundrede e.Kr.).
Begyndelsen giver et fælles grundlag for efterfølgende geometriske afhandlinger af Archimedes , Apollonius og andre antikke forfattere; de i dem beviste påstande anses for at være velkendte. Kommentarer til principperne i antikken blev komponeret af Heron , Porfiry , Pappus , Proclus , Simplicius . En kommentar af Proclus til Bog I er bevaret, samt en kommentar af Pappus til Bog X (i arabisk oversættelse). Fra gamle forfattere går kommentartraditionen til araberne og derefter til middelalderens Europa.
I skabelsen og udviklingen af den nye tids videnskab spillede Begyndelsen også en vigtig ideologisk rolle. De forblev et eksempel på en matematisk afhandling, der strengt og systematisk forklarede de vigtigste bestemmelser i en bestemt matematisk videnskab.
Andre værker af Euclid
Fra andre skrifter af Euklid overlevede:
- Data ( δεδομένα ) - om hvad der skal til for at sætte figuren;
- Om deling ( περὶ διαιρέσεων ) - delvist bevaret og kun i arabisk oversættelse; giver opdelingen af geometriske figurer i dele, der er lig med eller bestående af hinanden i et givet forhold;
- Fænomener ( φαινόμενα ) - anvendelser af sfærisk geometri til astronomi;
- Optik ( ὀπτικά ) handler om lysets retlinede udbredelse.
De korte beskrivelser er:
- Porismer ( πορίσματα ) - om de forhold, der bestemmer kurver;
- keglesnit ( κωνικά );
- Overfladesteder ( τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - om egenskaberne ved keglesnit;
- Pseudarius ( ψευδαρία ) - om fejl i geometriske beviser ( matematiske sofismer );
Euclid er også krediteret med:
- Catoptrica ( κατοπτρικά ) - teorien om spejle; en behandling af Theon af Alexandria overlever ;
- Division of the Canon ( κατατομὴ κανόνος ) er en afhandling om elementær musikteori [12] .
Euklid og oldtidens filosofi
Allerede siden Pythagoræernes og Platons tid blev aritmetik, musik, geometri og astronomi (de såkaldte "matematiske" videnskaber; senere kaldt quadrivium af Boethius ) betragtet som et eksempel på systematisk tænkning og et indledende stadium for studiet af filosofi . Det er ikke tilfældigt, at der opstod en legende, ifølge hvilken inskriptionen "Lad ingen, der ikke kender geometri komme ind her", blev placeret over indgangen til det platoniske akademi.
De geometriske tegninger, hvori den implicitte sandhed bliver tydelig, når hjælpelinjerne tegnes, tjener som illustration til erindringslæren udviklet af Platon i Meno og andre dialoger. Geometriens forslag kaldes derfor teoremer , for for at forstå deres sandhed er det nødvendigt at opfatte tegningen ikke med simpelt sansesyn, men med "fornuftens øjne". Enhver tegning til en sætning er en idé: vi ser denne figur foran os, og vi ræsonnerer og drager konklusioner for alle figurer af samme type på én gang.
Noget "platonisme" af Euklid er også forbundet med det faktum, at i Platons Timaeus betragtes læren om fire elementer, som svarer til fire regulære polyedre (tetraeder - ild, oktaeder - luft, icosahedron - vand, terning - jord), det femte polyeder, dodecahedron, faldt i loddet for universets figur. I denne henseende kan principperne betragtes som en udvidet doktrin med alle de nødvendige præmisser og bundter om konstruktionen af fem regulære polyedre - de såkaldte "platoniske faste stoffer", der kulminerer med beviset for det faktum, at andre regulære kroppe, undtagen for disse fem eksisterer ikke.
Til den aristoteliske bevisdoktrin, udviklet i Anden Analytics , giver Elementerne også rigt materiale. Geometry in the Beginnings er bygget som et inferentielt vidensystem, hvor alle sætninger er sekventielt udledt efter hinanden langs en kæde baseret på et lille sæt indledende udsagn accepteret uden bevis. Ifølge Aristoteles skal der være sådanne begyndelsesudsagn, da inferenskæden skal starte et sted for ikke at være uendelig. Ydermere forsøger Euklid at bevise udsagn af generel karakter, som også svarer til Aristoteles' yndlingseksempel : "hvis det er iboende i hver ligebenet trekant at have vinkler lig i alt to rette linjer, så er dette iboende i det, ikke fordi det er ligebenet, men fordi det er en trekant” (An. Post. 85b12).
Pseudo-Euklid
To vigtige afhandlinger om gammel musikteori tilskrives Euklid: "Den harmoniske introduktion" (" Harmonica ") og "Kanonens opdeling" ( latin: Sectio canonis ). Traditionen med at tilskrive "kanonens division" til Euklid kommer fra Porfiry . I de gamle manuskripter af Harmonica tilskrives forfatterskabet Euklid, en vis Cleonides, og også til den alexandrinske matematiker Pappus . Heinrich Meybom (1555-1625) forsynede den "harmoniske introduktion" med detaljerede noter og tilskrev dem sammen med "kanonens afdeling" værkerne af Euklid.
Under den efterfølgende detaljerede analyse af disse afhandlinger blev det fastslået, at den første blev skrevet i den aristoksenske tradition (for eksempel i den betragtes alle halvtoner som lige), og den anden i stilen er klart pythagoræisk (for eksempel muligheden for at dividere tonen nøjagtigt i halvdelen nægtes). Præsentationsstilen for "Harmonic Introduction" er kendetegnet ved dogmatisme og kontinuitet, stilen for "Division of the Canon" ligner noget "Principles" af Euclid, da den indeholder teoremer og beviser.
Efter den kritiske udgivelse af Harmonica af den berømte tyske filolog Karl Jahn (1836-1899), blev denne afhandling universelt tilskrevet Kleonides og dateret til det 2. århundrede f.Kr. n. e. I russisk oversættelse (med kommentarer) blev den først udgivet af G. A. Ivanov (Moskva, 1894). "Kanonens afdeling" anses nu af en del af forskerne for at være et autentisk værk af Euklid [13] , og af en anden del - et anonymt værk i Euklids tradition [14] . De seneste russiske oversættelser af "Division of the Canon" blev udgivet (i versionen af Porfiry) af V. G. Tsypin og (i versionen af Boethius ) af S. N. Lebedev [15] . En kritisk udgave af den originale tekst til "Division of the Canon" blev lavet i 1991 af A. Barbera [16] .
Tekster og oversættelser
Gamle russiske oversættelser
- Euklidiske elementer fra tolv neftonske bøger udvalgt og forkortet i otte bøger gennem professor i matematik A. Farhvarson. / Per. fra lat. I. Satarova. SPb., 1739. 284 sider.
- Elements of Geometry, det vil sige det første grundlag for videnskaben om at måle længde, bestående af otte euklidiske bøger. / Per. fra fransk N. Kurganova. SPb., 1769. 288 s.
- Euklidiske elementer otte bøger, nemlig: 1., 2., 3., 4., 5., 6., 11. og 12. / Per. fra græsk SPb., 1784 . 370 s.
- 2. udg. ... Bog 13 og 14 er knyttet hertil. 1789. 424 sider.
- Euklidiske begyndte otte bøger, nemlig de første seks, den 11. og den 12., der indeholder grundlaget for geometri . / Per. F. Petrushevsky. SPb., 1819. 480 sider.
- Euklidiske begyndte tre bøger, nemlig den 7., 8. og 9., indeholdende den generelle teori om tal for de gamle geometre. / Per. F. Petrushevsky. SPb., 1835. 160 sider.
- De otte bøger om Euklids geometri . / Per. med ham. elever af en rigtig skole ... Kremenchug, 1877. 172 s.
- Euklids begyndelse . / Fra input. og fortolkninger af M. E. Vashchenko-Zakharchenko . Kiev, 1880. XVI, 749 sider.
Middelalderlige armenske oversættelser
I det 11. århundrede oversatte Gregor Magistros Euklids elementer fra græsk til armensk . En mere omfattende oversættelse af Euklid er fra den sene middelalder og tilskrives det 17. århundredes forfatter Gregor af Kesaratsi .
Moderne udgaver af Euklids skrifter
- Euklids begyndelse . Om. og komm. D. D. Mordukhai-Boltovsky , red. deltagelse af I. N. Veselovsky og M. Ya. Vygodsky . I 3 bind (Serien "Naturvidenskabens Klassikere"). M.: GTTI, 1948-50. 6000 eksemplarer
- Bøger I-VI (1948. 456 sider) på www.math.ru eller på mccme.ru
- Bøger VII—X (1949. 512 s.) på www.math.ru eller på mccme.ru
- Bøger XI—XIV (1950. 332 s.) på www.math.ru eller på mccme.ru
- Oliver Byrne . De første seks bøger om Euklids begyndelse, som bruger farveskemaer og tegn i stedet for bogstaver for større bekvemmelighed for studerende / oversat fra engelsk af Sergey Slyusarev. - 2018. - 278 s.
- Euklidisk korpus. opdeling af kanon. Oversættelse af A. Shchetnikov. ΣΧΟΛΗ , 6 , 2012, s. 98-110.
- Euklid. Optik. Oversættelse af A. Shchetnikov. ΣΧΟΛΗ , 13 , 2019, s. 771-822.
- Euclidus Opera Omnia . Ed. I. L. Heiberg & H. Menge. 9 bind. Leipzig: Teubner, 1883-1916.
- Vol. I-IX på www.wilbourhall.org
- Heath TL De tretten bøger om Euklids elementer. 3 bind. Cambridge UP, 1925. Udgaver og oversættelser: Græsk (red. JL Heiberg) , Engelsk (red. Th. L. Heath)
- Euklid. Færre elementer . 4 bind. Trad. et komm. B. Vitrac; intr. M. Caveing. P.: Presses universitaires de France, 1990-2001.
- Barbera A. Kanonens euklidiske inddeling: græske og latinske kilder // Græsk og latinsk musikteori. Vol. 8. Lincoln: University of Nebraska Press, 1991.
Litteratur
Biografi
- Euclid / Zubov A. Yu. // Atmosfærisk dynamik - Jernbanekryds. - M .: Great Russian Encyclopedia, 2007. - S. 510. - ( Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / chefredaktør Yu. S. Osipov ; 2004-2017, v. 9). - ISBN 978-5-85270-339-2 .
- Khramov Yu. A. Euclid // Fysikere: Biografisk opslagsbog / Ed. A. I. Akhiezer . - Ed. 2. rev. og yderligere — M .: Nauka , 1983. — S. 109. — 400 s. - 200.000 eksemplarer.
Bibliografi
- Max stak. Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der "Elemente" des Euklid (um 365-300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20. Jahrhundert) . Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.
Antikke kommentarer startede
- Proclus Diadochus. Kommentar til den første bog af Euklids elementer. Introduktion . Om. og komm. Yu. A. Shichalina. M.: GLK, 1994.
- Proclus Diadoch . Kommentar til den første bog af Euklids "Begyndelser" / Oversættelse af A. I. Shchetnikov . - M . : Russian Foundation for the Promotion of Education and Science, 2013.
- Thompson W. Pappus' kommentar til Euklids elementer . Cambridge, 1930.
Forskning
Om Euklids principper- Alimov N. G. Værdi og relation i Euklid // Historisk og matematisk forskning . Problem. 8. - 1955. - S. 573-619.
- Bashmakova I. G. Aritmetiske bøger af Euklids "Begyndelser" // Historisk og matematisk forskning . Problem. 1. - 1948. - S. 296-328.
- Van der Waerden B. L. Awakening Science . — M.: Fizmatgiz, 1959.
- Vygodsky M. Ya. "Begyndelser" af Euklid // Historisk og matematisk forskning . Problem. 1. - 1948. S. 217-295.
- Glebkin V.V. Videnskab i kultursammenhæng: ("Begyndelser" af Euklid og "Jiu zhang suan shu"). — M.: Interpraks, 1994. — 188 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-85235-097-4
- Euclid, hans efterfølgere og kommentatorer // Kagan V.F. Foundations of Geometry . Del 1. - M., 1949. - S. 28-110.
- Raik A. E. Den tiende bog af Euklids "Begyndelser" // Historisk og matematisk forskning . Problem. 1. - 1948. - S. 343-384.
- Rodin A. V. Euklids matematik i lyset af Platons og Aristoteles' filosofi . — M.: Nauka, 2003.
- Zeiten GG Matematikkens historie i antikken og i middelalderen . — M.-L.: ONTI, 1938.
- Shchetnikov A.I. Den anden bog af Euklids "Begyndelser": dens matematiske indhold og struktur // Historisk og matematisk forskning . Problem. 12 (47). - 2007. - S. 166-187.
- Shchetnikov AI Værker af Platon og Aristoteles som bevis på dannelsen af et system af matematiske definitioner og aksiomer. ΣΧΟΛΗ . Problem. 1. - 2007. - S. 172-194.
- Artmann B. Euklids "Elementer" og dens forhistorie. Apeiron , v. 24, 1991, s. 1-47.
- Brooker MIH, Connors JR, Slee A.V. Euclid . CD ROM. Melbourne, CSIRO-Publ., 1997.
- Burton HE Euklids optik. J. Opt. soc. amer. , v. 35, 1945, s. 357-372.
- Itard J. Lex livres arithmetiqués d'Euclide . P.: Hermann, 1961.
- Fowler DH En invitation til at læse Bog X af Euclid's Elements. Historia Mathematica , v. 19, 1992, s. 233-265.
- Knorr WR Udviklingen af de euklidiske elementer . Dordrecht: Reidel, 1975.
- Mueller I. Matematikfilosofi og deduktiv struktur i Euklids elementer . Cambridge (Mass.), MIT Press, 1981.
- Schreiber P. Euklid . Leipzig: Teubner, 1987.
- Seidenberg A. Udviklede Euklids Elementer, Bog I, geometri aksiomatisk? Arkiv for eksakt videnskabshistorie , v. 14, 1975, s. 263-295.
- Staal JF Euclid og Panini // Filosofi øst og vest, 1965. nr. 15. s. 99-115.
- Taisbak CM Division og logoer. En teori om ækvivalente par og sæt af heltal, fremsat af Euklid i de aritmetiske bøger om elementerne . Odense UP, 1982.
- Taisbak CM Farvede firkanter. En guide til den tiende bog af Euklids elementer . København, Museum Tusculanum Press, 1982.
- Garveri P. La geometrie grecque . Paris: Gauthier-Villars, 1887.
- Zverkina G. A. Gennemgang af Euklids afhandling "Data" // Mathematics and Practice, Mathematics and Culture . - M., 2000. - S. 174-192.
- Ilyina E. A. Om Euklids "data" // Historisk og matematisk forskning . Problem. 7 (42). - 2002. - S. 201-208.
- Shal M. Om Euklids porismer // Historisk gennemgang af geometriske metoders oprindelse og udvikling . - M., 1883.
- Berggren JL, Thomas RSD Euklids fænomener: en oversættelse og undersøgelse af en hellenistisk afhandling i sfærisk astronomi . NY, Garland, 1996.
- Schmidt R. Euclids modtagere, almindeligvis kaldet dataene . Golden Hind Press, 1988.
- S. Kutateladze Euklids undskyldning
Se også
- Aksiom
- Påstå
- Euklids algoritme
- Euklidisk geometri
- Ikke-euklidisk geometri
- Femte postulat
- Euklidisk rum
Noter
- ↑ Natorp P. Diokleides 4 (tysk) // Kategorie: RE: Band V, 1 - 1903.
- ↑ etymonline.com Arkiveret 27. september 2013 på Wayback Machine Hentet 2011-12-04
- ↑ Zubov, 2007 , s. 510.
- ↑ Euclid // Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M. : Sov. Encyclopedia, 1988. - S. 214-215 .
- ↑ Prokl. II-8 Kommentar til den første bog af Euklids begyndelse. Introduktion Arkiveret 6. januar 2010 på Wayback Machine .
- ↑ Proclus . s. 57 Arkiveret 10. december 2016 på Wayback Machine
- ↑ Cajorie F. A History of Elementary Mathematics . Odessa, 1917. S. 70-71
- ↑ Se for eksempel Rosenfeld B. A. Apollonius af Perga. M., 2004. C. 10
- ↑ Cajorie F. A History of Elementary Mathematics . Odessa, 1917, s. 71; Rozhanskaya M. M. og andre. Nasir ad-Din at-Tusi . M., 1999. C. 51
- ↑ Euklids biografi . Hentet 1. juni 2017. Arkiveret fra originalen 21. maj 2017.
- ↑ I. Stuart. Truth and Beauty: The World History of Symmetry, - M .: Astrel: CORPUS, 2010, s. 47
- ↑ Oversættelse til russisk af A. I. Shchetnikov Arkiveksemplar dateret 6. maj 2008 på Wayback Machine offentliggjort i bogen. "Pythagorean Harmony: Studier og tekster". Novosibirsk: ANT, 2005, ss. 81-96.
- ↑ Zubov A. Yu. Euclid // Great Russian Encyclopedia . T.9. M., 2007, s. 510.
- ↑ Barker A. Græske musikskrifter. Vol. 2. Cambridge, 1989, s. 190-191.
- ↑ Claudius Ptolemæus. Harmonika i tre bøger. Porfiry. Kommentar til Ptolemæus' Harmonika. Publikationen er udarbejdet af V. G. Tsypin. M.: Videnskabeligt og forlagscenter "Moscow Conservatory", 2013, s.111-114; Boethius. Fundamentals of Music / Forberedelse af teksten, oversættelse fra latin og kommentarer af S. N. Lebedev. - M .: Videnskabeligt og forlagscenter "Moscow Conservatory", 2012, s. 167-177.
- ↑ Barbera A. Kanonens euklidiske afdeling: græske og latinske kilder. Lincoln, NE, 1991.
 Foto, video og lyd | ||||
|---|---|---|---|---|
| Tematiske steder | ||||
| Ordbøger og encyklopædier |
| |||
| ||||