Multiplikation

Multiplikation

Fremhævet på	multiplikationstegn
Betegnelse	multiplikationstegn
Modsatte	division
neutralt element	en
Mediefiler på Wikimedia Commons

Multiplikation er en af de grundlæggende matematiske operationer på to argumenter , som kaldes multiplikatorer eller multiplikatorer (nogle gange kaldes det første argument multiplikator , og det andet multiplikator ). Resultatet af multiplikation kaldes deres produkt [1] .

Historisk set blev multiplikation først defineret for naturlige tal som multiplikation [1] - for at gange et tal med et tal , skal du tilføje tallene (multiplikation er yderligere angivet med en hævet prik mellem faktorerne): $-en$ $b$ $b$ $-en$

{\displaystyle a\cdot b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b))

Senere blev multiplikation udvidet til heltal , rationelle , reelle , komplekse og andre typer af tal ved systematisk generalisering .

På nuværende tidspunkt er multiplikation i matematik defineret ikke kun for tal, den har en anden specifik betydning og følgelig forskellige definitioner og egenskaber for forskellige matematiske objekter [2] .

Multiplikation af tal er en kommutativ operation , det vil sige, at den rækkefølge, som multiplikatorer skrives i, ikke påvirker resultatet af deres multiplikation. For eksempel kan multiplikation af tal og skrives som og (udtales også "fem tre", "tre gange fem"), og resultatet er et tal under alle omstændigheder . Tilføjelsestjek: $3$ $5$ $3\cdot 5$ $5\cdot 3$ $femten$

\underbrace {3+3+3+3+3} _{5}=15

\underbrace {5+5+5} _{3}=15

Multiplikation af ikke-numeriske matematiske, fysiske og abstrakte størrelser (såsom matricer , vektorer , mængder , kvaternioner osv.) er ikke altid en kommutativ operation. en vigtig rolle .

Studiet af multiplikationsoperationens generelle egenskaber indgår i problemerne med generel algebra , især teorien om grupper og ringe [2] .

Former og terminologi

Multiplikation skrives ved hjælp af multiplikationstegnet (∙, ×, ∗) mellem argumenterne, denne form for notation kaldes infix notation . I denne sammenhæng er multiplikationstegnet en binær operator . Multiplikationstegnet har ikke noget særligt navn, mens for eksempel additionstegnet hedder "plus".

Det ældste symbol i brug er skråstreg (×). Det blev første gang brugt af den engelske matematiker William Oughtred i hans Clavis Mathematicae i 1631. Den tyske matematiker Leibniz foretrak det hævede priktegn (∙). Han brugte dette symbol i et brev fra 1698. Johann Rahn introducerede stjernen (∗) som et multiplikationstegn, det optrådte i hans Teutsche Algebra fra 1659.

I russiske lærebøger i matematik bruges tegnet i form af en hævet prik (∙) hovedsageligt. Stjernen (*) bruges som regel i tekster til computerprogrammer .

Resultatet skrives med lighedstegnet " ", for eksempel: $=$

a\cdot b=c

6\cdot 3=18

("seks gange tre er lig atten" eller "seks gange tre er lig atten").

Ofte i matematiske udtryk er multiplikationstegnet udeladt (ikke skrevet), hvis dette ikke forårsager en tvetydig læsning. For eksempel i stedet for at skrive . Som regel udelades multiplikationstegnet, hvis en af faktorerne er en enkeltbogstavsvariabel , funktion eller udtryk i parentes: , , . $y=6\cdot x+3\cdot z$ $y=6x+3z$ $b^{2}-4ac$ $n\sin x$ $a(b+c)$

Traditionelt, når man skriver produktet af flere faktorer, skrives tal før variable og variable før funktioner. Så udtrykket ville blive skrevet som . Udtryk i parentes skrives traditionelt sidst, det vil sige, at udtrykket bliver skrevet som . $n\cdot \sin x\cdot 5\cdot m$ $5nm\sin x$ $x\cdot (a+b)\cdot 2$ $2x(a+b)$

Egenskaber

Det følgende beskriver de vigtigste egenskaber ved multiplikationsoperationen på numeriske mængder . $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Multiplikation er kommutativ, det vil sige, at ændring af faktorernes steder ikke ændrer produktet. Egenskaben er også kendt som den kommutative multiplikationslov [3] :

Kommutativitet :

a\cdot b=b\cdot a;

Multiplikation er associativ, det vil sige, når man multiplicerer tre eller flere tal sekventielt, er rækkefølgen af operationer ligegyldig. Egenskaben er også kendt som den associative lov om multiplikation [3] :

Associativitet :

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c);

Multiplikation er distributiv, det er konsistensegenskaben af to binære operationer defineret på samme sæt. Ejendommen er også kendt som distributionsloven [3] :

Distributivitet :

x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A;

Med hensyn til multiplikation er der kun ét neutralt element i mængden - ( tallet "en"). Multiplicering af et hvilket som helst tal med (neutralt element) giver et tal lig med originalen: $EN$ $en$ $en$

Neutralt element :

x\cdot 1=1\cdot x=x,\quad \exists !1\in A;

Multiplikation med er idempotent, det vil sige, at gentagen anvendelse af operationen på et objekt giver det samme resultat som et enkelt: $en$

Idempotens :

x=x\cdot 1=(x\cdot 1)\cdot 1=((x\cdot 1)\cdot 1)\cdot ...\cdot 1,\quad \forall x\in A,\ quad \eksisterer !1\i A;

Multiplikation med (nul element) giver (nul): $0$ $0$

Nul element:

x\cdot 0=0\cdot x=0,\quad \exists !0\in A.

Operationen med at gange tal defineret på mængder giver et produkt, der tilhører samme mængde. Derfor refererer multiplikationsoperationen til lukkede operationer , det vil sige sæt tal danner ringe i forhold til multiplikationsoperationen. $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$

På sproget for generel algebra siger ovenstående additionsegenskaber, at de er abelske grupper med hensyn til multiplikationsoperationen. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{-0},\mathbb {Q} _{-0},\mathbb {R} _{-0))$

I matematiske udtryk har multiplikationsoperationen en højere forrang end additions- og subtraktionsoperationerne, det vil sige, den udføres før dem, men lavere forrang end eksponentieringsoperationen .

På sættet af reelle tal ser rækkevidden af multiplikationsfunktionen grafisk ud som en overflade, der passerer gennem oprindelsen og er buet på begge sider i form af en parabel .

Udfører multiplikation

I den praktiske løsning af problemet med at gange to tal er det nødvendigt at reducere det til en sekvens af enklere operationer: "simpel multiplikation", addition, sammenligning osv. Til dette er der udviklet forskellige multiplikationsmetoder, f.eks. tal, brøker, vektorer osv. På sættet af naturlige tal bruges på nuværende tidspunkt den bitvise multiplikationsalgoritme . I dette tilfælde skal multiplikation betragtes som en procedure (i modsætning til en operation).

Tilnærmet algoritme til bitvis multiplikation af to tal

Fremgangsmåden er ret kompliceret, består af et relativt stort antal trin, og når man multiplicerer store tal, kan det tage lang tid.

"Simpel multiplikation" henviser i denne sammenhæng til operationen med at multiplicere etcifrede tal, som let kan reduceres til addition . Er hyperoperatoren for addition:

$a\cdot b=\operatørnavn {hyper2} (a,b)=\operatørnavn {hyper} (a,2,b)=a^{(2)}b.$

$a{^{(2)}}b=a\cdot b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b}.$

hvor er den sekventielle tilføjelse af elementer. $a+a+\dots+a$ $b$

For at forenkle og fremskynde multiplikationsprocessen bruges den tabelformede metode til "simpel multiplikation", til dette er alle kombinationer af produkter af tal fra 0 til 9 beregnet på forhånd, og det færdige resultat er taget fra denne tabel [4] :

Tabel til multiplikation i decimaltalssystem

*	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
en	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9
2	2	fire	6	otte	ti	12	fjorten	16	atten
3	3	6	9	12	femten	atten	21	24	27
fire	fire	otte	12	16	tyve	24	28	32	36
5	5	ti	femten	tyve	25	tredive	35	40	45
6	6	12	atten	24	tredive	36	42	48	54
7	7	fjorten	21	28	35	42	49	56	63
otte	otte	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	atten	27	36	45	54	63	72	81

Denne procedure er anvendelig til multiplikation af naturlige tal og heltal (med forbehold for fortegn) tal. For andre tal bruges mere komplekse algoritmer.

Multiplikation af tal

Naturlige tal

Lad os bruge definitionen af naturlige tal som ækvivalensklasser af endelige mængder. Lad os betegne ækvivalensklasserne af endelige mængder genereret af bijektioner ved hjælp af parenteser: . Så er den aritmetiske operation "multiplikation" defineret som følger: $\mathbb {N}$ $C,A,B$ $[C],[A],[B]$

[C]=[A]\cdot [B]=[A\ gange B];

hvor: et direkte produkt af sæt er et sæt, hvis elementer er ordnet par for alle mulige . Denne operation på klasser er indført korrekt, det vil sige, den afhænger ikke af valget af klasseelementer og falder sammen med den induktive definition. $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$ $C$ $(a,b)$ $a\in A,b\in B$

En en-til-en afbildning af et endeligt sæt på et segment kan forstås som en opregning af sættets elementer . $EN$ ${\displaystyle N_{a))$ ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a))$

For at gange naturlige tal i positionsnotationen for tal bruges en bitvis multiplikationsalgoritme. Givet to naturlige tal og sådan, at: $-en$ $b$

a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \ forall a_{k},b_{k}\in \{P\},\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0,\quad \exists 0\in \mathbb {N } ;

hvor ; ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k))$

n

- antallet af cifre i nummeret ;

n\in \{1,2,\dots ,n\}

k

- serienummer på kategorien (positionen), ;

k\in \{0,1,\dots ,n-1\}

P

- grundlaget for talsystemet;

\{P\}

et sæt numeriske tegn (cifre), et specifikt talsystem:

\{P_{2}\}=\{0,1\}

\{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

{\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\))

; derefter:

c=a\cdot b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}\ cdot b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0};

ganges bitvis, får vi mellemresultater: $n$

$t_{n-1,~0}=mod(a_{n-1}\cdot b_{0}+r_{n-1},P),\quad r_{n}=div(a_{n -1}\cdot b_{0}+r_{n-1},P)~,~~t_{0}\cdot ~P^{k};$
$t_{n-1,~1}=mod(a_{n-1}\cdot b_{1}+r_{n-1},P),\quad r_{n}=div(a_{n -1}\cdot b_{1}+r_{n-1},P)~,~~t_{1}\cdot ~P^{k};$
$...\qquad \qquad ...\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ...\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ...$
$t_{n-1,~k}=mod(a_{n-1}\cdot b_{k}+r_{n-1},P),\quad r_{n}=div(a_{n -1}\cdot b_{k}+r_{n-1},P)~,~~t_{k}\cdot ~P^{k};$

hvor: - værdien af overførslen, - funktionen til at finde resten af divisionen , - funktionen til at finde den partielle kvotient . $r$ $mod()$ $div()$

Derefter tilføjer vi de opnåede mellemresultater: $n$ $c=t_{0}+t_{1}+...+t_{k}.$

Multiplikationsoperationen reduceres således til proceduren med sekventiel simpel multiplikation af enkeltcifrede tal , med dannelse af en carry, hvis det er nødvendigt, som udføres enten ved den tabelformede metode eller ved sekventiel addition. Og så til tilføjelse. ${\displaystyle a_{k}\cdot b_{k))$

Aritmetiske operationer på tal i ethvert positionelt talsystem udføres efter de samme regler som i decimalsystemet , da de alle er baseret på reglerne for udførelse af operationer på de tilsvarende polynomier . I dette tilfælde skal du bruge multiplikationstabellen, der svarer til den givne basis i talsystemet. $P$

Et eksempel på multiplikation af naturlige tal i binære , decimale og hexadecimale talsystemer , for nemheds skyld skrives tallene under hinanden i henhold til cifrene, overførslen skrives ovenpå:

{\begin{array}{cccccccccccc}&&&&&&&&\\&&&1&1&0&1&1&0\\&&&*&&1&1&0&1\\\\hline &&&&1&1&0&1&1&0\\&&&0&0&0&0&0&0&}1}\farve {\0&0&}1}\farve {\0&0&}1}\farve {\0&0&}1 +&1&1&0&1&1&0&{\color {Grå}0}&{\color {Grå}0}&{\color {Grå}0}\\\hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&1&0\end{array));\ quad \quad {\begin{array} {cccccccccc}&&&&_{2}&_{2}&_{3}&_{3}&\\&&&&_{1}&_{2}&_{2}&_{2}&\\ &&&&8&4&5&6&7\\&&&*&&5&4&1\\\ hline &&&0&8&4&5&6&7\\&&3&3&8&2&6&8&{\color {Gray}0}\\+&4&2&2&8&3&5&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}\\\hline &4&5&7&5&0&7&4&quad\d\d\d\d\d\d\d\d\7)); {\begin{array}{ccccccccc}&&&&_{8}&_{8}&_{2}\\&&&&_{D}&_{D}&_{3}\\&&&&6&D&E&4\\&&&{*}&&A&1&F\\\hline &&&6&7&0&5&C \\&&0&6&D&E&4&{\color {Grå}0}\\+&4&4&A&E&8&{\color {Grå}0}&{\color {Grå}0}\\\hline &4&5&8&3&6&9&C\end{array }}~~.

Heltal

Heltalssættet er en forlængelse af mængden af naturlige tal , opnået ved at tilføje negative tal [5] af formen . Sættet af heltal betegnes Aritmetiske operationer på heltal er defineret som en kontinuerlig fortsættelse af de tilsvarende operationer på naturlige tal. $\mathbb {N}$ $-n$ $\mathbb{Z}.$

Forskellen fra naturlige tal er, at negative tal på tallinjen er rettet i den modsatte retning, dette ændrer en del på multiplikationsproceduren. Det er nødvendigt at tage højde for den gensidige retning af tal, flere tilfælde er mulige her:

Hvis begge argumenter er positive, så: $c=a\cdot b;$
Hvis et af argumenterne er negativt, så enten $c=-a\cdot b=-(a\cdot b),$ $c=a\cdot (-b)=-(a\cdot b);$
Hvis begge argumenter er negative, så: $c=(-a)\cdot (-b)=a\cdot b.$

Her og nedenfor bruges også den bitvise multiplikationsalgoritme. Overvej f.eks. udtrykket: ; da tallene og har forskellige fortegn, sætter vi minus ud af parentes: , beregner vi videre får vi svaret :. $-6\cdot 4=-24$ $-6$ $fire$ $-6\cdot 4=-(6\cdot 4)$ $-24$

Rationale tal

Sættet af rationelle tal er betegnet (fra den engelske kvotient "private") og kan skrives i denne form: $\mathbb {Q}$

{\mathbb {Q}}=\venstre\{{\frac {m}{n}}\midt m\in {\mathbb {Z}},n\in {\mathbb {N}}\right\}.

For at gange rationelle tal i form af almindelige (eller simple) brøker af formen:, skal brøkernes tællere og nævnere ganges med hinanden. $\pm {\frac {m}{n}}$

Hvis der er givet to rationelle tal og sådan, at: (ikke-reducerbare brøker), så [6] : $-en$ $b$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_ {a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$

c=a\cdot b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_ {a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.

Eksempel på multiplikation:

{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2}{ 15));\quad {\frac {3}{7}}\cdot {\frac {4}{6}}={\frac {3\cdot 4}{7\cdot 6}}={\frac { 12}{42}}={\frac {6}{21}}.

Den aritmetiske operation "multiplikation" over rationelle tal refererer til lukkede operationer.

Reelle tal

Aritmetiske operationer på reelle tal repræsenteret ved uendelige decimalbrøker er defineret som en kontinuerlig fortsættelse [7] af de tilsvarende operationer på rationelle tal.

Givet to reelle tal, der kan repræsenteres som uendelige decimaler :

\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

defineret af de fundamentale sekvenser af rationelle tal (der opfylder Cauchy-betingelsen ), betegnet som: og , så er deres produkt tallet defineret af produktet af sekvenserne og : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]\cdot [b_{n}]=[a_{n}\time b_{ n}];

reelt tal , opfylder følgende betingelse: $\gamma =\alpha \cdot \beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \times \beta \leqslant a''\cdot b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \gamma \ leqslant a''\cdot b'').

Produktet af to reelle tal er således et reelt tal , der er indeholdt mellem alle formens produkter på den ene side og alle formens produkter på den anden side [8] . $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $a'\cdot b'$ $a''\cdot b''$

I praksis, for at gange to tal og , er det nødvendigt at erstatte dem med den nødvendige nøjagtighed med omtrentlige rationelle tal og . For den omtrentlige værdi af produktet af tal, tag produktet af de angivne rationelle tal . Samtidig er det lige meget fra hvilken side (ved mangel eller ved overskud) de optagne rationelle tal tilnærmer sig og . Multiplikation udføres i henhold til den bitvise multiplikationsalgoritme. $\alfa$ $\beta$ $-en$ $b$ $\alpha \cdot \beta$ $a\cdot b$ $\alfa$ $\beta$

Den absolutte fejl af produktet af omtrentlige tal: , den absolutte fejl af et tal tages lig med halvdelen af det sidste ciffer i dette tal. Produktets relative fejl er lig med summen af argumenternes relative fejl: . Det opnåede resultat rundes op til det første korrekte signifikante ciffer, det signifikante ciffer i det omtrentlige tal er korrekt, hvis tallets absolutte fejl ikke overstiger halvdelen af enheden af cifferet svarende til dette ciffer. $\Delta (a\cdot b)=|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b+\Delta a\cdot \Delta b\ca. |b|\cdot \Delta a+|a|\ cdot\delta b$ $\delta (a\cdot b)=\delta a+\delta b$

Eksempel på multiplikation , op til 3 decimaler: $\gamma =\pi \cdot e$

Vi afrunder disse tal til 4. decimal (for at forbedre nøjagtigheden af beregninger);
Vi får: ; $\pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183$
Vi multiplicerer bit for bit: ; $\gamma =\pi \cdot e\approx 3.1416\cdot 2.7183\ca. 8.5398$
Afrunding op til 3. decimal: . $\gamma \approx 8.540$

Tidsplan

På sættet af par af reelle tal er grafen for multiplikationsfunktionen en hyperbolsk paraboloid , der passerer gennem oprindelsen . $\mathbb {R} ^{2}$

Komplekse tal

Sættet af komplekse tal med aritmetiske operationer er et felt og er normalt angivet med symbolet . $\mathbb {C}$

Produktet af to komplekse tal i algebraisk notation er et komplekst tal lig med:

c+fi=(a+di)\cdot (b+ei)=(a\cdot bd\cdot e)+(a\cdot e+b\cdot d)i,

hvor: , er den imaginære enhed . $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$ $jeg$

For at gange to komplekse tal i trigonometrisk notation, skal du gange deres moduler og tilføje argumenterne:

$c=a\cdot b=r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})\cdot r_{2}(\cos \varphi _{2}+ i\sin \varphi _{2})=r_{1}\cdot r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1} +\varphi _{2})),$

hvor: modul og argument for et komplekst tal. $r=|z|=|a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}};~~~\varphi =\arg(z)=\operatørnavn {arctg} {\biggl (}{\frac {b}{a}}{\biggr )},$

Multiplikation af et komplekst tal i eksponentiel form med et komplekst tal kommer ned til at rotere vektoren svarende til tallet med en vinkel og ændre dens længde med en faktor på . For produktet af komplekse tal i eksponentiel form er ligheden sand: $a=r_{1}e^{i\varphi _{1}}$ $b=r_{2}e^{i\varphi _{2))$ $-en$ $\arg(b)$ $|b|$

$c=re^{i\varphi }=a\cdot b=r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}} =r_{1}\cdot r_{2}\cdot e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})},$

hvor: er tallet e . $e=2{,}718281828\dots$

Eksponentiel notation

I eksponentiel notation skrives tal som , hvor er mantissen , er karakteristikken for tallet , er talsystemets basis, . For at gange to tal, der er skrevet i eksponentiel form, skal du gange mantissen og karakteristika: ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $x$ $P^{n}$ $P$ $n\i \mathbb{Z }$ $(a\cdot P^{n})\cdot (b\cdot P^{k})=(a\cdot b)\cdot P^{n}\cdot P^{k}=ab\cdot P^{n+k}.$

For eksempel:

2{,}34\cdot 10^{-5}\cdot 5{,}67\cdot 10^{6}=2{,}34\cdot 5{,}67\cdot 10^{-5 }\cdot 10^{6}\ca. 13{,}27\cdot 10^{(-5+6)}\ca. 13{,}27\cdot 10^{1}\ca. 1{,}33\cdot 10^{2}.

Multiplikation af vilkårlige tal

Når man multiplicerer tal, der hører til forskellige sæt, for eksempel , er det nødvendigt at konvertere (cast) en af faktorerne til typen af den anden (hvis en sådan mulighed eksisterer). For at gøre dette "udvides" et tal fra en mængde med en lavere potens mod et tal fra en mængde med en højere potens: . I dette eksempel skal du bruge det faktum, at naturlige tal er en delmængde af rationelle og behandle et naturligt tal som et rationelt tal . Det oprindelige udtryk bliver til en multiplikation af to rationelle tal: . $1{,}5(\in \mathbb {Q} )\cdot 5(\in \mathbb {N} )$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$ $5$ $5{,}0$ $1{,}5(\in \mathbb {Q} )\cdot 5{,}0(\in \mathbb {Q} )=7{,}5(\in \mathbb {Q} )$

Multiplikation af fysiske mængder

Måleenheden for en fysisk størrelse har et specifikt navn ( dimension ), for eksempel for længde - meter (m), for tid - sekund (s), for masse - gram (g) og så videre. Resultatet af at måle en bestemt størrelse er ikke bare et tal, men et tal med en dimension [9] , for eksempel 10 m, 145 s, 500 g. Dimensionen er et selvstændigt objekt, der ligeligt deltager i multiplikationsoperationen. Når du multiplicerer fysiske mængder, ganges både de numeriske værdier og deres dimensioner, hvilket genererer et nyt tal med en ny dimension. For eksempel har et rektangel med sider på 5 m og 3 m et areal opnået ved at gange længderne af siderne:

5 m 3 m \u003d 5 3 m m \u003d 15 m m, eller 15 m².

Multiplikationen af fysiske størrelser bør således betragtes som at finde en ny fysisk størrelse, der adskiller sig fra de mængder, vi multiplicerer. Hvis det er fysisk muligt at skabe et sådant produkt, for eksempel ved at finde arbejde, hastighed eller andre mængder, danner denne mængde et sæt forskelligt fra de oprindelige. I dette tilfælde tildeles sammensætningen af disse størrelser en ny betegnelse (nyt udtryk ), for eksempel: tæthed , acceleration , kraft osv. [10] .

For eksempel, hvis du multiplicerer hastigheden af en ensartet og retlinet bevægelig krop , lig med 5 m/s, med en tid lig med 3 s, får du et navngivet tal (fysisk størrelse), som kaldes "længde" eller " afstand " og måles i meter:

5 m/s 3 s = 15 (m/s) s = 15 m.

Ud over dimensionelle fysiske størrelser er der dimensionsløse størrelser. Dimensionsløse størrelser definerer enten blot en bestemt mængde (målt i "stykker", "tider" og lignende), eller er forhold mellem fysiske størrelser af samme dimension, for eksempel er relativ tæthed forholdet mellem en krops massefylde og en referencedensitet (normalt tætheden af vand). Når man multiplicerer en mængde med en dimension med en dimensionsløs mængde, bevarer resultatet den oprindelige dimension. For eksempel, hvis vi tager 5 meter skinner i mængden af 3 stykker, får vi som et resultat af multiplikation en samlet længde af skinner på 15 meter:

5 m 3 = 15 m.

Antallet af skinner (dimensionsløs værdi) her afhænger hverken af måden, de tælles på, eller af måleenheden for deres længde. For eksempel, hvis du måler længden ikke i meter, men i fod , så vil længden af den samme skinne være 16,4 fod, og den samlede længde af de tre skinner:

16,4 fod 3 = 49,2 fod.

Multiplikation af sekvenser

Produktet af elementerne i en sekvens kan skrives kompakt ved hjælp af et specielt multiplikationssymbol, der går tilbage til det store bogstav Π (pi) i det græske alfabet, som vist i eksemplet:

\prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.

Nedenfor er symbolet på en fri variabel (i dette tilfælde ) kaldet "multiplikeringsindekset" sammen med startværdien (i dette tilfælde 1). Den endelige værdi (i dette tilfælde 4) skrives øverst som et tal eller en variabel, eller et uendeligt symbol, hvis der antages et uendeligt produkt . En sådan post kan "udvides" til et udtryk, hvor værdierne af multiplikationsindekset er sekventielt substitueret fra den initiale til den endelige værdi: $jeg$ $\infty$

\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \, \,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},

hvor m og n er heltal eller udtryk, der evalueres til heltalsværdier.

Hvis indeksværdierne er givet af et eller andet sæt, kan multiproduktet f.eks. skrives ved hjælp af det

\prod _{i\in A}x_{i}

En sådan notation betyder, at variablen "løber igennem" alle de værdier, der hører til sættet . $jeg$ $EN$

Se også

Noter

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics, 1985 .
↑ 1 2 Multiplikation // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ 1 2 3 Sådan kaldes denne egenskab normalt i skolebøger
↑ Istomina, 2005 , s. 165.
↑ Vygodsky, 2003 , s. 116-117.
↑ Gusev, 1988 , s. tyve.
↑ Da den lineære ordensrelation allerede er blevet introduceret på mængden af reelle tal, kan vi definere topologien af den reelle linje: som åbne mængder tager vi alle mulige foreninger af intervaller af formen $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , s. 46.
↑ Volinskaya N. I. Integreret lektion i fysik og matematik, Måling af fysiske mængder og deres enheder, skole 7, Brest (utilgængeligt link) . brestschool7.iatp.by. Hentet 18. april 2016. Arkiveret fra originalen 7. august 2016. (ubestemt)
↑ Makarov Vladimir Petrovich. Om "dimensionen" af fysiske mængder . lithology.ru, Lithology.RF. Hentet 18. april 2016. Arkiveret fra originalen 6. maj 2016. (ubestemt)

Litteratur

Barsukov A. N. Algebra. Lærebog for klasse 6-8. . - Oplysningstiden, 1966. - 296 s. (Russisk)
Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6 . (Russisk)
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik. Opslagsmateriale, en bog for studerende. . - Oplysning, 1988. - 416 s. (Russisk)
Ilyin V. A. og andre. Matematisk analyse. Indledende kursus. . - Moscow State University, 1985. - 662 s. (Russisk)
Enderton G. Elements of Set Theory. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 s. — ISBN 0-12-238440-7 .
Ivanova OA Multiplikation af tal // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 495-496. — 1248 s.
Istomina N. B. Metoder til undervisning i matematik i folkeskolen: Udviklingsundervisning. . - Association XXI århundrede, 2005. - 272 s. - ISBN 5-89308-193-5 . (Russisk)

Links

Multiplikation: på japansk, på italiensk og efter Maya-metoden

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNF : 11976399g GND : 4170732-1 J9U : 987007550960505171 LCCN : sh85088381 NDL : 00575007 NKC : ph896352