Riemanns hypotese

Riemann-hypotesen er en matematisk hypotese formuleret af den tyske matematiker Bernhard Riemann i 1859 om, at Riemann zeta-funktionen ( indført af Euler i 1737 ) kun antager nulværdier i negative lige tal: (hvor disse simple nuller kaldes " trivielle " nuller zeta-funktioner), og komplekse tal med en reel del (" ikke-trivielle " nuller af Riemann zeta-funktionen) $\displaystyle \zeta (s)$ $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\prikker$ ${1 \over 2}$ . Riemann-formodningen vedrører placeringen af disse ikke-trivielle nuller og siger, at :

Alle ikke-trivielle nuller i zeta-funktionen har en reel del lig med . ${1 \over 2}$

Således, hvis formodningen er sand, ligger alle ikke-trivielle nuller i Riemann zeta-funktionen (hvis tal er uendeligt ) på den kritiske linje, der består af komplekse tal , hvor er et reelt tal og er en imaginær enhed . $\operatørnavn {Re} \,s={\frac {1}{2}}$ ${1 \over 2}+it$ $t$ $jeg$

Den særlige betydning af Riemann-hypotesen ligger i det (formodede) forhold mellem fordelingsmønsteret på den kritiske linje af ikke-trivielle nuller i Riemann-zeta-funktionen og asymptotikken i fordelingen af primtal . Dette spørgsmål har implikationer for både ren matematik (i talteori ) og anvendt matematik (for eksempel kryptografi ). Selvom der ikke blev fundet nogen regelmæssighed i fordelingen af primtal blandt naturlige , fandt Riemann, at antallet af primtal, der ikke overstiger , fordelingsfunktionen af primtal, udtrykkes i form af fordelingen af ikke-trivielle nuller af zeta-funktionen. Formodningen blev grundlaget for yderligere bevis af Hadamard og de la Vallée-Poussin ( 1896 ) af teoremet om fordelingen af primtal . $x$ $\pi(x)$

Hypoteser blev også fremsat om en mulig sammenhæng mellem de statistiske egenskaber af ikke-trivielle nuller af Riemann zeta-funktionen (og dermed primtal) og kvantefysikkens fænomener , især med kvantekaos .

Riemann-hypotesen betragtes ofte som det vigtigste uløste matematiske problem [1] [2] [3] . Selve formodningen udgør sammen med Goldbach -formodningen det ottende Hilbert-problem - et af de få ubeviste Hilbert-problemer fra 2021 . Riemann-hypotesen er også den eneste af Hilbert-problemerne inkluderet i 2000 på listen over syv årtusindproblemer , for løsningen af hver af dem lovede Clay Mathematical Institute en belønning på en million amerikanske dollars. På trods af mange forsøg (udgivet periodisk) på at bevise hypotesen, er ingen af dem blevet anerkendt af det videnskabelige samfund [4] .

Der er mange matematiske problemer bevist under den antagelse, at Riemann-hypotesen er sand, så at bevise eller modbevise den vil have vidtrækkende konsekvenser for talteorien, især i fordelingen af primtal [5] [6] .

I 2004 blev det bekræftet med numeriske metoder , at mere end 10 13 (ti billioner) første ikke-trivielle nuller af Riemann zeta-funktionen opfylder denne hypotese, hvilket er et godt argument til fordel for sandheden af denne hypotese, men som ikke garanterer det .

Ordlyd

Riemann zeta-funktionen er defineret for alle komplekse og har nuller i negative lige tal, det vil sige , at sådanne nuller kaldes trivielle. $\zeta (s)$ $s\neq 1$ $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)\dots$

Af den funktionelle ligning og det eksplicitte udtryk for , hvor er Möbius-funktionen , følger det, at alle andre nuller (kaldet "ikke-trivielle") er placeret i striben symmetrisk i forhold til den såkaldte "kritiske linje" . $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{{s}}\sin {\pi s \over 2}{\frac 1{\sin \pi s\Gamma (s)))\zeta (1 -s)$ ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$ $\operatørnavn {Re}\,s>1$ $\mu(n)$ $0\leqslant \operatørnavn {Re}\,s\leqslant 1$ ${1 \over 2}+it,\;t\i {\mathbb {R}}$

Riemann-hypotesen

Riemann-hypotesen siger, at [7] [8] :

" Alle ikke-trivielle nuller i zeta-funktionen har en reel del lig med

{\frac {1}{2))

det vil sige, at de er komplekse tal placeret på linjen . $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$

Den generaliserede Riemann-hypotese

Den generaliserede Riemann-hypotese er en analog af Riemann-hypotesen for generaliseringer af zeta-funktioner, kaldet Dirichlet L-funktioner .

Historie

I 1859 udgav Bernhard Riemann sit værk "Om antallet af primtal, der ikke overstiger en given værdi" [9] . Som en del af antagelsen om, at hypotesen er korrekt, skrev Riemann (for nemheds skyld arbejdede han hovedsageligt med den afhængige xi-funktion ) [10] :

... Det er højst sandsynligt, at alle [nuller i xi-funktionen] er gyldige. Det ville naturligvis være ønskeligt at have et strengt bevis for denne kendsgerning, men efter adskillige frugtesløse forsøg udskød jeg søgningen efter et sådant bevis, da dette ikke er påkrævet til de umiddelbare formål med min forskning.

Originaltekst (tysk)[ Visskjule] ... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell synd. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

Dette Riemann-udsagn om xi-funktionen svarer til et lignende udsagn (formuleret i Riemann-hypotesen) om zeta-funktionen afhængig af den [8] .

Beviset fra Hadamard og Vallée-Poussin i 1896 af sætningen om fordelingen af primtal (hvor de uafhængigt viste, at zeta-funktionens nuller ikke kan ligge på linjer og ) gav en kraftig skub til udviklingen af analytisk talteori [11 ] . $\operatørnavn {Re}\,s=0$ $\operatørnavn {Re}\,s=1$

I 1900 inkluderede David Hilbert Riemann-hypotesen på listen over 23 uløste problemer som en del af det ottende problem, sammen med Goldbach-hypotesen .

I 1914 beviste Hardy , at der er uendeligt mange nuller på den kritiske linje, og senere gav han sammen med Littlewood et lavere estimat for den brøkdel af nuller, der lå på den kritiske linje, som derefter blev forbedret af forskellige matematikere.

Nogle ikke-trivielle nuller er ekstremt tæt på hinanden. Denne egenskab er kendt som " Lehmer-fænomenet " [12] .

Titchmarsh og Voros viste i 1987 , at zeta-funktionen kan indregnes i et produkt gennem dets ikke-trivielle nuller i Hadamard-faktoriseringen .

Tilsvarende formuleringer

Riemann præsenterede en ækvivalent formulering, som siger, at alle rødder til Riemann xi-funktionen ξ(s) er reelle.

I 1901 viste Helge von Koch , at Riemann-hypotesen svarer til følgende udsagn om fordelingen af primtal:

\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t))+O\venstre({\sqrt x}\ln x\right)

på

x\højrepil \infty .

Et par mere ækvivalente formuleringer:

For alle , uligheden $x\geqslant 2657$ $\left|\pi (x)-\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}\right|<{\frac {1}{8\pi } }{\sqrt {x}}\,\ln x,$

For alle gælder uligheden, hvor ψ ( x ) er den anden Chebyshev-funktion , $x\geqslant 73{,}2$ $|\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}(x),$

For alle gælder uligheden, hvor er summen af divisorerne af tallet , og er Euler-Mascheroni-konstanten . Uligheden bryder for n = 5040 og nogle mindre værdier (27 undtagelser i alt), men Guy Robin viste i 1984, at den gælder for alle større heltal, hvis og kun hvis Riemann-hypotesen er sand, og at rækkefølgen af undtagelser til betingelsen for Robins sætning uendeligt mange, hvis Riemann-hypotesen er forkert. Det er også kendt, at det mindste af sådanne udelukkelsesnumre n ≥ 5041 skal være et superredundant tal [13] . $n>5040$ $\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n,$ $\sigma(n)$ $n$ $\gamma$

For alle gælder uligheden, hvor er det -th harmoniske tal [14] . $n>1$ $\sigma (n)<H_{n}+e^{{H_{n}}}\ln H_{n},$ $H_n$ $n$

For enhver positiv ulighed , hvor er Mertens-funktionen , se også notationen O er stor . En stærkere hypotese blev tilbagevist i 1985 [15] . $\varepsilon$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$ $M(n)$ $|M(n)|<{\sqrt {n))$

Riemann-hypotesen svarer til følgende lighed: . $\int \limits _{{0}}^{{\infty }}{\frac {(1-12t^{2})}{(1+4t^{2})^{3}}}\int \ grænser _{{1/2}}^{{\infty }}\log |\zeta (\sigma +it)|\,d\sigma \,dt={\frac {\pi (3-\gamma )} {32}}$

Det er vist, at Riemann-hypotesen er sand, hvis og kun hvis integralligningen

\int _{{0}}^{\infty }{\frac {z^{{-\sigma -1}}\phi (z)\,dz}{{e^{{x/z}}}+ 1}}=0

har ingen ikke-trivielle løsninger til . $\phi$ $1/2<\sigma <1$

Relaterede problemer

De to Hardy-Littlewood-hypoteser

I 1914 beviste Godfrey Harold Hardy [16] , at en funktion har uendeligt mange reelle nuller. $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$

Lade være antallet af reelle nuller, og antallet af ulige nuller af funktionen , der ligger på intervallet . $N(T)$ $N_{0}(T)$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ $(0,T]$

To hypoteser af Hardy og Littlewood [17] (om afstanden mellem reelle nuller og om tætheden af nuller på intervaller for tilstrækkeligt store og så små som muligt , hvor et vilkårligt lille tal), bestemte to retninger i studiet af Riemann zeta funktion : $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ $(T,T+H]$ $T>0$ $H=T^{{a+\varepsilon }}$ $a>0$ $\varepsilon >0$

For enhver , der eksisterer , sådan at for og , intervallet indeholder et nul af ulige rækkefølge af funktionen . $\varepsilon >0$ $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ $T\geqslant T_{0}$ $H=T^{{0{,}25+\varepsilon }}$ $(T,T+H]$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$
For enhver der eksisterer og sådan at for og , er uligheden sand . $\varepsilon >0$ $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ $c=c(\varepsilon )>0$ $T\geqslant T_{0}$ $H=T^{{0{,}5+\varepsilon }}$ $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geqslant cH$

A. Selbergs hypotese

I 1942 undersøgte Atle Selberg Hardy-Littlewood-problemet 2 og beviste, at der for enhver eksisterer og , sådan at for og . $\varepsilon >0$ $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ $c=c(\varepsilon )>0$ $T\geqslant T_{0}$ $H=T^{{0{,}5+\varepsilon }}$ $N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T$

Selberg antog [18] at det er muligt at reducere eksponenten for mængden . $a=0{,}5$ $H=T^{{0{,}5+\varepsilon }}$

I 1984 beviste A. A. Karatsuba [19] [20] [21] at for en fast tilstand , tilstrækkelig stor og , indeholder intervallet mindst reelle nuller af Riemann zeta-funktionen . Dermed bekræftede han Selbergs hypotese. $\varepsilon$ $0<\varepsilon <0{,}001$ $T$ $H=T^{{a+\varepsilon }}$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ $(T,T+H)$ $CH\ln T$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2))+it{\Bigr )}$

Selberg- og Karatsuba-estimaterne kan ikke forbedres i rækkefølge efter vækst for . $T\til +\infty$

I 1992 beviste Karatsuba [22] at en analog af Selberg-formodningen er gyldig for "næsten alle" intervaller , , hvor er et vilkårligt lille fast positivt tal. Metoden udviklet af Karatsuba gør det muligt at undersøge nullerne af Riemann zeta-funktionen på "ultra-korte" intervaller af den kritiske linje, det vil sige på intervaller , hvis længde vokser langsommere end nogen, endda vilkårligt lille, grad . Især beviste han, at for ethvert givet tal , med betingelsen, indeholder næsten alle intervaller ved mindst nuller af funktionen . Dette skøn er meget tæt på det, der følger af Riemann-hypotesen. $(T,T+H]$ $H=T^{{\varepsilon ))$ $\varepsilon$ $(T,T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\varepsilon_{1}$ $0<\varepsilon ,\varepsilon _{{1}}<1$ $(T,T+H]$ $H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{{\varepsilon }}\}}$ $H(\ln T)^{{1-\varepsilon _{{1}}}}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$

Mulig forbindelse til kvantemekanik

Omkring begyndelsen af det 20. århundrede formulerede den ungarske matematiker György Pólya (i 1912-1914), og formodentlig (men ikke pålideligt) David Hilbert [23] , Hilbert-Polyi formodningen , hvilket indikerer en mulig sammenhæng mellem de ikke-trivielle nuller af Riemann zeta-funktionen og kvantemekanikkens fænomener [24] [25] [26] [27] :

De ikke -trivielle nuller i Riemann zeta-funktionen (deres imaginære dele) svarer til egenværdierne for en eller anden hermitisk operator ( en ubegrænset selvadjoint-operator i et Hilbert-rum ).

Poya foreslog, at en måde at udlede Riemann-hypotesen på er at finde en selvadjoint-operator, fra hvis eksistens en erklæring om de reelle dele af de ikke-trivielle nuller i Riemann zeta-funktionen vil følge. Hilbert-Polyi formodningen finder en vis støtte i en række analoger af Riemann zeta-funktionen, hvis nuller svarer til egenværdierne for en eller anden operator: nullerne af zeta-funktionen af en manifold over et endeligt felt svarer til egenværdierne af Frobenius-elementet på étale kohomologigruppen , nullerne i Selberg-zeta-funktionen er egenværdierne for Laplace-operatoren af Riemann-overfladen , og nullerne i den p-adiske zeta-funktion svarer til til egenvektorerne for Galois-handlingen på de ideelle klassegrupper .

I 1973 formulerede den amerikanske matematiker Hugh Montgomery (efter en samtale i 1972 med Freeman Dyson ) parkorrelationshypotesen (ikke bevist, men bekræftet ( Odlyzhko , 1987 ) ved storstilede numeriske beregninger), hvorefter korrelationen funktioner ( formfaktoren for parkorrelationer) henholdsvis normaliserede nuller af Riemann zeta-funktionen skal være de samme som egenværdierne for den Gaussiske tilfældige Hermitian matrix [28] [29] .

John Derbyshire gør opmærksom på følgende ligheder, når han sammenligner opførselen af nullerne i Riemann zeta-funktionen og egenværdierne af en Gaussisk tilfældig hermitisk matrix [30] :

Hverken nullerne i Riemann zeta-funktionen eller egenværdierne af en Gaussisk tilfældig Hermitian matrix er som tilfældigt spredte punkter (forskellig fra en perfekt tilfældig spredning);
Zeta-funktionens nuller og egenværdierne for den hermitiske matrix opfører sig på samme måde;
Både for zeta-funktionens nuller og for egenværdierne af den hermitiske matrix observeres en frastødningseffekt.

Efter at have afklaret situationen med nogle uoverensstemmelser mellem resultaterne af Odlyzhko og forudsigelserne af den gaussiske enhedsensemblemodel (GUA) (Odlyzhko viste sig at have lidt flere små intervaller end i GUA-modellen), blev Montgomerys parkorrelationshypotese (for den første gang i en artikel af Nicholas Katz og Peter Sarnak, 1999 ) "Montgomery-Odlyzhko-loven" [31] :

Fordelingen af intervaller mellem successive ikke-trivielle nuller af Riemann zeta-funktionen (i den korrekte normalisering) er statistisk identisk med fordelingen af egenværdier for GUA-operatoren.

Betydningen af "normalisering" i "Montgomery-Odlyzhko-loven" er at foretage en korrektion i form af at strække den øverste del af det valgte interval ved at multiplicere hvert tal med dets logaritme (hvilket er nødvendigt for at udligne den gennemsnitlige afstand mellem nullerne af Riemann zeta-funktionen - på grund af det faktum, at nullerne, når de bevæger sig op ad den kritiske linje, bliver de tættere på hinanden) [32] .

Det centrale spørgsmål , der opstår i denne form for forskning, formulerer Derbyshire som følger [33] :

Ikke-trivielle nuller af Riemann zeta-funktionen dukkede op i undersøgelsen af fordelingen af primtal. Egenværdier af tilfældige hermitiske matricer dukkede op i undersøgelsen af adfærden af systemer af subatomære partikler , der adlyder kvantemekanikkens love. Fortæl mig venligst, hvad der kan være til fælles mellem primtal og subatomære partiklers opførsel?

I 1986 (selv før offentliggørelsen af Odlyzhkos arbejde i 1987), den engelske specialist inden for matematisk fysiker Michael Berry i artiklen "The Riemann Zeta Function: A Model of Quantum Chaos ?" studeret spørgsmålet om eksistensen af en Riemann-operator - en operator, hvis egenværdier nøjagtigt falder sammen med de ikke-trivielle nuller i Riemann-zeta-funktionen. Berry antog, at en sådan riemannsk operatør (riemannsk operatør) eksisterer, og inden for rammerne af denne antagelse stillede han følgende spørgsmål: hvilket dynamisk system kan sådan en riemannsk operatør repræsentere? Hans version var, at sådan en Riemannsk operatør kunne modellere et kaotisk system [34] .

Berry viste, at i tilfælde af sin eksistens Riemannian operatør skal model en af de såkaldte. semiklassiske kaotiske systemer (hvor et semiklassisk system forstås som et system, hvor et klassisk kaotisk system er forbundet med lignende i kvanteverdenen ved at tage grænsen i kvantemekanikkens ligninger, hvor kvantefaktoren - Plancks konstant - tenderer til nul), hvor egenværdierne for en sådan Riemann-operator er imaginære dele af de ikke-trivielle nuller i Riemann zeta-funktionen er energiniveauerne i dette semiklassiske kaotiske system. Hvor det er bemærkelsesværdigt, at periodiske kredsløb i et lignende klassisk kaotisk system ville svare til primtal (deres logaritmer ) [35] .

Ifølge Berry ville der i et sådant kvasi-klassisk kaotisk system ikke være nogen symmetriegenskab med hensyn til tidsvending (som er en egenskab ved kaotiske systemer modelleret af operatører som GUA-operatører, i modsætning til kaotiske systemer, der tillader tidsvending og modelleret af operatører som GOA-operatører - et Gaussisk ortogonalt ensemble ) [35] .

I 1988 Berry [36] , og i 1999 Berry og Jonathan Keating [37] forudsagde og beskrev detaljeret afvigelser fra GUA-statistikken i korrelationer mellem vidt spredte nuller (tidligere bemærket af Odlyzhko i den numeriske varians af positionerne af nuller ), hvor det viste sig, at afvigelser svarer nøjagtigt til kvanteteorien , med undtagelse af småskalaoscillationer , som senere blev forklaret (1999) af Keating og E. B. Bogomolny [38] Ifølge Berry er denne forklaring "det stærkeste bevis i favoriserer Riemann-hypotesen", og bortset fra "placerer den undvigende operator i klassen af kvantesystemer med klassisk kaos, og ikke i klassen af tilfældige matricer" [39] .

Den franske matematiker Alain Conne tog i stedet for at søge efter en (Riemannsk) operator, hvis egenværdier ville falde sammen med de ikke-trivielle nuller i Riemann zeta-funktionen, vejen til at konstruere en sådan operator, for hvilken han "formede" en adele plads som platform for den riemannske operatør. Et træk ved det adeliske rum er, at de operatører, der handler på det, grundlæggende er baseret på primtal. Denne tilgang gjorde det muligt at konstruere en riemannsk operator, hvis egenværdier nøjagtigt er de ikke-trivielle nuller i Riemann zeta-funktionen, og hvor primtal er indlejret i det adeliske rum, som en sådan operator virker på på en speciel matematisk måde, men som på samme tid er relateret til virkelige fysiske systemer - virkelige sæt af subatomære partikler [40] .

For at bevise Riemann-hypotesen inden for rammerne af Connes' tilgang, er det nødvendigt at bevise en bestemt sporformel - en formel af typen Gutzwiller -formlen (der forbinder egenværdierne for den Riemannske operator, der virker i adele-rummet med periodiske kredsløb i det analoge klassiske system) [41] .

Et af de vigtigste spørgsmål i teorien om kvantekaos er at etablere en overensstemmelse mellem fordelingen af egenværdier for den Hamiltonske operator , som definerer klassisk dynamik, og klassiske ustabile periodiske baner, hvor denne overensstemmelse er givet af sporformlerne fra Selberg og Gutzwiller [26] .

I 1999 foreslog Berry og Keating, at der er en ukendt kvantisering af den klassiske Hamiltonian H = xp , således at $\hat H$

\zeta (1/2+i{\hat {H)))=0

og endnu stærkere falder de Riemannske nuller sammen med operatørens spektrum . Dette er i modstrid med kanonisk kvantisering , hvilket fører til Heisenbergs usikkerhedsprincip og naturlige tal som spektret af en kvanteharmonisk oscillator . Den vigtige pointe er, at Hamiltonianeren skal være en selvadjoint operator, for at kvantiseringen er en realisering af Hilbert-Polyi-hypotesen. I forbindelse med dette kvantemekaniske problem foreslog Berry og Alain Connes , at Hamiltonianerens gensidige potentiale er relateret til funktionens semi-afledte funktion. $1/2+i{\hat {H}}$ $[x,p]=1/2$

N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatørnavn {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})

hvor så i Berry-Conn tilgangen [42] ,

{\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2))))

Dette giver en Hamiltonian, hvis egenværdier er kvadratet af den imaginære del af de Riemannske nuller, og også at den funktionelle determinant for denne Hamiltonian operator er Riemann xi-funktionen . Faktisk ville Riemann xi-funktionen være proportional med den funktionelle determinant (Hadamard-produkt)

\det(H+1/4+s(s-1))

hvor, som bevist af Conn og andre, i denne tilgang

{\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1 /fire)}}.

I 2017 bestemte Carl Bender, Dorge Brody og Markus Müller kvantiseringsbetingelserne for Berry-Keating Hamiltonian [43] , men den resulterende Hamiltonian svarer naturligvis ikke til noget fysisk system [44] .

Overvejelser om sandheden eller falskheden af en hypotese

Review papers ( Bombieri 2000 , Conrey 2003 , Sarnak 2008 ) bemærker, at beviserne for Riemann-hypotesen er stærke, men efterlader plads til rimelig tvivl. Nogle forfattere er dog overbeviste om hypotesens falskhed (især John Littlewood mente det ).

Blandt de data, der tillader os at antage sandheden af formodningen, kan man fremhæve det vellykkede bevis for lignende formodninger (især Riemann-formodningen om mangfoldigheder over begrænsede felter [45] ). Dette er det stærkeste teoretiske argument, der antyder, at Riemann-betingelsen er opfyldt for alle zeta-funktioner forbundet med automorfe kortlægninger, som omfatter den klassiske Riemann-hypotese. Sandheden af en lignende formodning er allerede blevet bevist [46] for Selberg zeta-funktionen, i nogle henseender ligner Riemann-funktionen og for Goss zeta-funktionen(en analog til Riemann zeta-funktionen for funktionsfelter).

På den anden side fungerer nogle af Epstein zeta-funktionerneikke opfylder Riemann-betingelsen, selvom de har et uendeligt antal nuller på den kritiske linje. Disse funktioner er dog ikke udtrykt i form af Euler-serier og er ikke direkte relateret til automorfe kortlægninger.

De "praktiske" argumenter til fordel for sandheden af den Riemannske hypotese inkluderer beregningsmæssig verifikation af et stort antal ikke-trivielle nuller af zeta-funktionen inden for rammerne af ZetaGrid- projektet . I 2004 bekræftede Yannick Sauter og Patrick Demichel numerisk, at mere end 1013 (mere end ti billioner) første ikke-trivielle nuller af Riemann zeta-funktionen opfylder denne hypotese, hvilket er et godt argument for, at hypotesen er sand, men ikke garantere det [47] [48] . Den beregningsmæssige verifikation af et vilkårligt stort antal ikke-trivielle nuller nærmer sig dog slet ikke det egentlige bevis. For eksempel viste Mertens formodning i lang tid også et stort løfte om at være sandt, idet den bestod alle mulige beregningsmæssige tests, men senere viste det sig at blive tilbagevist. Dette er et glimrende eksempel på et matematisk bevis, der modsiger en stor mængde beregningsbevis til fordel for en hypotese.

Fakta

Gilberts svar på spørgsmålet om, hvad hans handlinger vil være, hvis han af en eller anden grund sover i fem hundrede år og pludselig vågner, er berømt. Matematikeren svarede, at det første, han ville spørge, var, om Riemann-hypotesen var blevet bevist.
Riemann-hypotesen refererer til de berømte åbne problemer i matematik , som på et tidspunkt omfattede Fermats sætning . Som du ved, lavede Fermat en registrering af, at han beviste sin sætning uden at forlade beviset i sig selv, og derved udfordrede de næste generationer af matematikere. Den britiske matematiker G. H. Hardy brugte situationen med disse problemer til at sikre sin egen sikkerhed under sørejser. Hver gang før han tog på tur, sendte han et telegram til en af sine kolleger: ”Beviste Riemann-hypotesen. Detaljer ved returnering. Hardy mente, at Gud ikke ville tillade en gentagelse af situationen med Fermats teorem og ville tillade ham at vende sikkert tilbage fra rejsen [49] .

Se også

åbne matematiske problemer

Noter

↑ Derbyshire, 2010 , Introduktion, s. 14-15.
↑ Stewart, 2015 , kapitel 9. Primtalsmønstre. Riemann-hypotesen, s. 236, 252-253.
↑ Bombieri, Enrico . Riemann-hypotesen – officiel problembeskrivelse (engelsk) . — Clay Mathematics Institute . - 2000.
↑ Stewart, 2015 , kapitel 9. Primtalsmønstre. Riemann-hypotesen, s. 250.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 18. Talteori møder kvantemekanik, s. 349-350. Kapitel 22 423.
↑ Stewart, 2015 , kapitel 2. Primtalsområde. Goldbachs problem, s. 64-66. Kapitel 9 Riemann-hypotesen, s. 238-239.
↑ Derbyshire, 2010 , Introduktion, s. 15. Kapitel 5. Riemann Zeta-funktion, s. 105.
↑ 1 2 Stuart, 2015 , kapitel 9. Regulariteter af primtal. Riemann-hypotesen, s. 236.
↑ Bernhard Riemann . Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (tysk) // Monatsberichte der Berliner Akademie. - 1859. Arkiveret den 17. juni 2009.
↑ Stewart, 2015 , kapitel 9. Primtalsmønstre. Riemann-hypotesen, s. 235-236.
↑ Stewart, 2015 , kapitel 9. Primtalsmønstre. Riemann-hypotesen, s. 237-238.
↑ Weisstein, Eric W. Lehmer's Phenomenon på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant numbers and the Riemann hypothesis", American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi:10.4169/193009709X470128
↑ Jeffrey C. Lagarias. Et elementært problem svarende til Riemann-hypotesen // The American Mathematical Monthly : journal. - 2002. - Bd. 109 , nr. 6 . - S. 534-543 . - doi : 10.2307/2695443 . — .
↑ Andrew Odlyzko, Herman te Riele. Modbevisning af Mertens formodning (neopr.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1985. - T. 357 . - S. 138-160 . (utilgængeligt link)
↑ Hardy, GH Sur les zeros de la fonction (fransk) // Comp. Rend. Acad. sci. :magasin. - 1914. - nr. 158 . - S. 1012-1014 . $\zeta (s)$
↑ Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1921), Nulerne af Riemanns zeta-funktion på den kritiske linje , Math. Z. T. 10 (3-4): 283-317 , DOI 10.1007/BF01211614
↑ Selberg, A. Om nullerne af Riemanns zeta-funktion (ubestemt) // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. - 1942. - Nr. 10 . - S. 1-59 .
↑ Karatsuba, A. A. På nullerne af funktionen ζ(s) på korte intervaller af den kritiske linje // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : magasin. - 1984. - Nr. 48:3 . - S. 569-584 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Fordeling af nulpunkter for funktionen ζ(1/2 + it) // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1984. - nr. 48:6 . - S. 1214-1224 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. På nullerne af Riemann zeta-funktionen på den kritiske linje (neopr.) // Trudy MIAN. - 1985. - Nr. 167 . - S. 167-178 .
↑ Karatsuba, A. A. På antallet af nuller i Riemann zeta-funktionen, der ligger på næsten alle korte intervaller af den kritiske linje // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : magasin. - 1992. - Nr. 56: 2 . - S. 372-397 . (Russisk)
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 17. Lidt algebra, s. 334-337.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 17. Lidt algebra, s. 335.
↑ Stewart, 2015 , kapitel 9. Primtalsmønstre. Riemann-hypotesen, s. 250-251.
↑ 1 2 Trushechkin A. S. , Kvantekaos , periodiske kredsløb og Riemann zeta-funktionen. Arkiveret 21. januar 2022 på Wayback Machine // Application Summary.
↑ Trushechkin A. S. , Videorapport (2013) om emnerne: kvantemekanikkens aksiomer, kvanteinterferens mirakel, kvantesandsynlighed, Heisenberg-Weyl-gruppen, Feynman-stiintegraler, kvanteteleportation, kvantekaos og Riemann-zetafunktionen.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 18. Talteori møder kvantemekanik, s. 345-350.
↑ Stewart, 2015 , kapitel 9. Primtalsmønstre. Riemann-hypotesen, s. 251.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 18. Talteori møder kvantemekanik, s. 349.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 18. Talteori møder kvantemekanik, s. 352.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 18. Talteori møder kvantemekanik, s. 353.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 18. Talteori møder kvantemekanik, s. 355.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 20. Den Riemannske operatør og andre tilgange, s. 371-372.
↑ 1 2 Derbyshire, 2010 , kapitel 20. Den Riemannske operatør og andre tilgange, s. 376.
↑ Berry MV , Semiklassisk formel for talvariansen af Riemann-nullerne. Ikke-linearitet Vol. 1. 1988. S. 399-407.
↑ Berry MV , Keating JP Riemann-nullerne og egenværdiasymptotikerne. SIAM Rev. Vol. 41, nr. 2, 1999. s. 236-266.
↑ Bogomolny E. V. , Keating JP Asymptotik af parkorrelationen af Riemann-nuller. 1999.
↑ Derbyshire, 2010 , Forfatterens noter og tilføjelser lavet i midten af 2003, s. 447.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 20. Den Riemannske operatør og andre tilgange, s. 377-382.
↑ Derbyshire, 2010 , kapitel 20. Den Riemannske operatør og andre tilgange, s. 382.
↑ Connes, Alain (1999), "Sporformel i ikke-kommutativ geometri og nullerne af Riemann zeta-funktionen", Selecta Mathematica. Ny serie, 5 (1): 29-106, arXiv: math/9811068, doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895
↑ Carl M. Bender, Dorje C. Brody, Markus P. Müller. Hamiltonian for nullerne i Riemann Zeta-funktionen // Physical Review Letters. — 30-03-2017. - T. 118 , no. 13 . - S. 130201 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.118.130201 .
↑ Kvantemekanikken foreslog et muligt bevis for Riemann-hypotesen . indicator.ru . Hentet 28. januar 2021. Arkiveret fra originalen 25. september 2020. (Russisk)
↑ Deligne P. La conjecture de Weil. I (ubestemt) // Publications Mathématiques de l'IHÉS. - 1974. - T. 43 . - S. 273-307 . - doi : 10.1007/BF02684373 .
↑ Sheats J. Riemann-hypotesen for Goss zeta-funktionen for F q [T] // Journal of Number Theory : journal. - 1998. - Bd. 71 , nr. 1 . - S. 121-157 . - doi : 10.1006/jnth.1998.2232 .
↑ Ed Pegg Jr. "Ten Trillion Zeta Zeros" Arkiveret 18. februar 2019 på Wayback Machine
↑ Stewart, 2015 , kapitel 9. Primtalsmønstre. Riemann-hypotesen, s. 245-246.
↑ S. Singh Fermats sidste sætning. ISBN 5-900916-61-8

Litteratur

John Derbyshire . Primær besættelse: Bernhard Riemann og det største uløste problem i matematik. / Per. fra engelsk. A. M. Semikhatova. - M. : Astrel : CORPUS, 2010. - 464 s. - 5000 eksemplarer. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Ian Stewart . De største matematiske problemer. / Per. fra engelsk. N. Lisovoy. — M. : Alpina faglitteratur, 2015. — 460 s. - 5000 eksemplarer. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Voronin S. M., Karatsuba A. A. Riemann zeta-funktion. — M .: Fizmatlit , 1994.
Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis - official problem description , Clay Mathematics Institute , < https://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf > . Hentet 10. september 2017.
Conrey, Brian (2003), The Riemann Hypothesis , Notices of the American Mathematical Society : 341–353 , < http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf >
Sarnak, Peter (2008), Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis , i Borwein, Peter; Choi, Stephen & Rooney, Brendan et al., The Riemann Hypothesis , CMS Books in Mathematics, New York: Springer, s. 107-115, ISBN 978-0387721255 , < https://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf >

Links

Nikolenko S. Problemer fra 2000: Riemann-hypotesen // Computerra . - 2005. - Udgave. 35 .
Dr. Matthew Watkins. foreslåede (dis)beviser for Riemann-hypotesen . Hentet: 28. februar 2016.

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX5261101 , XX5259559 BNF : 144123556 GND : 4704537-1 J9U : 987007540081805171 LCCN : sh2005000907 NDL : 01184334 NKC : ph406501 SUDOC : 077058488