Teori om tilfældige matricer

Teorien om tilfældige matricer er en forskningslinje i skæringspunktet mellem matematisk fysik og sandsynlighedsteori , hvor egenskaberne af ensembler af matricer studeres , hvis elementer er tilfældigt fordelt. Som regel er loven om fordeling af elementer fastsat. Ved at gøre det studeres statistikken over egenværdier af tilfældige matricer , og nogle gange også statistikken over deres egenvektorer .

Teorien om tilfældige matricer har mange anvendelser inden for fysik, især i kvantemekanikkens anvendelser til studiet af uordnede og klassisk kaotiske dynamiske systemer . Faktum er, at Hamiltonian af et kaotisk system ofte kan opfattes som en tilfældig Hermitian eller symmetrisk reel matrix , mens energiniveauerne for denne Hamiltonian vil være egenværdierne af den tilfældige matrix.

For første gang blev teorien om tilfældige matricer anvendt af Wigner i 1950 til at beskrive energiniveauerne i atomkernen . Efterfølgende viste det sig, at teorien om tilfældige matricer beskriver mange systemer, herunder for eksempel kvanteprikkernes energiniveauer, partiklernes energiniveauer i kompleksformede potentialer. Som det viste sig, er teorien om tilfældige matricer anvendelig til næsten ethvert kvantesystem, hvis klassiske modstykke ikke kan integreres . Samtidig er der betydelige forskelle i fordelingen af energiniveauer: fordelingen af energiniveauer i et integrerbart system er som regel tæt på Poisson-fordelingen , mens det for et ikke-integrerbart system har en anden form, som er karakteristisk for tilfældige matricer (se nedenfor).

Teorien om tilfældige matricer viste sig at være nyttig for tilsyneladende fremmede dele af matematikken, især fordelingen af nuller af Riemann zeta-funktionen på den kritiske linje kan beskrives ved hjælp af et ensemble af tilfældige matricer [1] .

Grundlæggende ensembler af tilfældige matricer og deres anvendelser i fysik

Der er tre hovedtyper af ensembler af tilfældige matricer, der har anvendelser i fysik. Disse er Gaussisk ortogonalt ensemble , Gaussisk enhedsensemble , Gaussisk symplektisk ensemble .

Gaussisk enhedsensemble - det mest generelle ensemble, består af vilkårlige hermitiske matricer, hvis reelle og imaginære dele af elementerne har en Gaussisk fordeling . Systemer beskrevet af et gaussisk enhedsensemble er blottet for enhver symmetri - de er ikke-invariante under tidsvending (en sådan egenskab besiddes for eksempel af systemer i et eksternt magnetfelt) og ikke-invariante under spin-rotationer.

Det Gaussiske ortogonale ensemble består af symmetriske reelle matricer. Det Gaussiske ortogonale ensemble beskriver systemer, der er symmetriske med hensyn til tidsvending, hvilket i praktiske tilfælde betyder fraværet af et magnetisk felt og magnetiske urenheder i sådanne systemer.

Det Gaussiske symplektiske ensemble består af hermitiske matricer, hvis elementer er quaternioner . Det Gaussiske symplektiske ensemble beskriver et system, der indeholder magnetiske urenheder, men ikke i et eksternt magnetfelt.

De vigtigste egenskaber ved spektret af tilfældige matricer

Fordeling af egenværdier

Fordelingen af egenværdier af en tilstrækkelig stor Gaussisk tilfældig matrix er i den første tilnærmelse en halvcirkel ( Wigners lov om halvcirkler ). Wigner-halvcirkelloven er opfyldt i grænsen, til en vis grad svarende til den semiklassiske tilnærmelse i kvantemekanik , den er opfyldt mere præcist, jo større størrelsen af den analyserede matrix. Ved en endelig matrixstørrelse har fordelingen af energiniveauer Gaussiske "haler". Halvcirkler opnås for alle Gaussiske ensembler, på dette niveau giver alle tre ovenstående ensembler tilsvarende fordelinger. Kvalitative forskelle mellem de tre ensembler manifesterer sig på det næste niveau, på niveauet for parvise korrelationsfunktioner af egenværdier. $\nu (E)\propto {\sqrt {E_{0}^{2}-E^{2))}$

Egenværdikorrelationsfunktion

Noter

↑ Keating et al., 2000 .

Litteratur

Mehta M. L. Tilfældige matricer. - 3. udgave - New York: Academic Press, 1991.
Keating JP , Snaith NC Random matrix theory og $\zeta (1/2+it)$ (engelsk) // Commun. Matematik. Phys. : magasin. - 2000. - Vol. 214 . — S. 57–89 .