Julia sæt

I holomorf dynamik er Julia-sættet af et rationelt kort det sæt af punkter, hvis nabodynamik i en vis forstand er ustabil med hensyn til små forstyrrelser af den oprindelige position. Hvis f er et polynomium, betragter man også et udfyldt Julia-sæt , altså et sæt punkter, der ikke har en tendens til uendelig. Det sædvanlige Julia-sæt er så dets grænse . $J(f)$ $f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$

Fatou-sættet er komplementet til Julia-sættet. Med andre ord er dynamikken i iterationen af f ikke regelmæssig, men ikke kaotisk. $F(f)$ $F(f)$ $J(f)$

Komplementerer Picards store teorem om "adfærden af en analytisk funktion i et kvarter af et i det væsentlige enestående punkt".

Disse sæt er opkaldt efter de franske matematikere Gaston Julia og Pierre Fatou , som indledte studiet af holomorfisk dynamik i begyndelsen af det 20. århundrede.

Definitioner

Lad være en rationel kortlægning. Fatou-sættet består af punkter z , således at sekvensen af iterationer i begrænsningen på et tilstrækkeligt lille nabolag af z . $f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$

(f^n)_{n\in\mathbb{N}}

danner en normal familie i Montel-forstand . Julia-sættet er komplementet til Fatou-sættet.

Denne definition tillader følgende ækvivalente omformulering: Fatou-sættet er sættet af de punkter, hvis baner er Lyapunov-stabile . (Ækvivalensen af omformuleringen er ikke indlysende, men den følger af Montels sætning .)

Egenskaber

Som det følger af definitionerne er Julia-sættet altid lukket , mens Fatou- sættet altid er åbent .
Julia-sættet for en kortlægning af grad større end 1 er altid ikke-tomt (ellers kunne man vælge en ensartet konvergent efterfølge af iterationer.) Med hensyn til Fatou-sættet er et lignende udsagn ikke sandt: Der er eksempler, hvor Julia-sættet sæt viser sig at være hele Riemann-sfæren . Et sådant eksempel kan konstrueres ved at tage fordoblingskortet på torusen (hvis dynamik overalt er kaotisk) og føre det gennem Weierstrass-funktionen . $z\mapsto 2z (mod\, \Z[i])$ $\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]$ $\wp$ ${\displaystyle \wp :\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {C} P^{1))$
Julia-sættet er lukningen af foreningen af alle frastødende periodiske baner.
Fatou- og Julia-sættene er begge fuldstændig invariante under virkningen af f , det vil sige, at de falder sammen med både deres eget billede og det fulde forbillede:

\ f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f),

\f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).

Julia-sættet J(F) er grænsen for det (totale) tiltrækningsbassin af enhver attraktiv eller superattraktiv bane; et særligt tilfælde af dette er udsagnet om, at J(F) er grænsen for et udfyldt Julia-sæt (fordi for en polynomiekortlægning er uendelighed et superattraktivt fikspunkt, og et fyldt Julia-sæt er komplementet til dets tiltrækningsbassin). Ved at tage en polynomieafbildning med tre forskellige tiltrækkende fikspunkter får vi et eksempel på tre åbne (naturligt afbrudte) sæt på et plan med en fælles grænse.
Hvis et åbent sæt skærer Julia-sættet, så falder billedet, med udgangspunkt i et tilstrækkeligt stort n , sammen med hele Julia-sættet . Med andre ord strækker iterationer et vilkårligt lille kvarter i Julia-sættet over hele Julia-sættet. $U$ $f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J$ $J$
Da strækningen angivet ovenfor oftest forekommer ret hurtigt, er holomorfe afbildninger konforme , og Julia-sættet er invariant under dynamik - det viser sig at have en fraktal struktur : dets små dele ligner store.
Hvis Julia-sættet er forskelligt fra hele Riemann-sfæren , har det ingen indre punkter .
For alle punkter z i Riemann-sfæren, undtagen måske to, er sættet af grænsepunkter for sekvensen af komplette forbilleder Julia-sættet. Denne egenskab bruges i computeralgoritmer til at konstruere Julia-sættet. $f^{-n}(z)$
Sullivans teorem siger, at enhver forbundet komponent i et Fatou-sæt er præperiodisk. Til gengæld siger sætningen om klassificeringen af de periodiske komponenter i Fatou-sættet, at de periodiske komponenter er af en af fire typer: puljen af tiltrækning af et tiltrækkende eller superattraktivt fast eller periodisk punkt, Fatou-lappen af et parabolpunkt, Siegelskiven og Hermanringen .

Relaterede begreber

En kvadratisk afbildning ved at ændre koordinaterne reduceres altid til formen . Det viser sig, at Julia-sættet er forbundet , hvis og kun hvis det kritiske punkt z=0 (eller tilsvarende dets billede z=c ) ikke går til det uendelige. Hvis iterationerne 0 har en tendens til uendelig, viser Julia-mængden (i dette tilfælde sammenfaldende med den udfyldte Julia-mængde) sig at være homøomorf til Cantor-mængden og har mål nul. I dette tilfælde kaldes det Fatou-støv (på trods af det forvirrende navn, er det netop Julia-sættet - sættet af kaotisk dynamik!). $z\mapsto P_2(z)$ $z\mapsto z^2 +c$

Det sæt af parametre c , som Julia-sættet af kvadratisk dynamik er forbundet med, kaldes Mandelbrot-sættet . Den har også en fraktal struktur (og er sandsynligvis en af de mere berømte fraktaler).

Numerisk konstruktion

Boundary Scan Method (BSM)

Hvis funktionen f har flere attraktorer (faste eller periodiske attraktorer), er Julia-mængden grænsen for tiltrækningsbassinet for nogen af dem. Denne egenskab er grundlaget for Julia-sættets billedbehandlingsalgoritme kaldet grænsescanningsmetoden (BSM). Den består af følgende. Overvej et gitter af rektangulære pixels. For at bestemme, om en pixel skal males som tilhørende Julia-sættet, beregnes billedet af hvert af dets "hjørner" under påvirkning af et stort antal iterationer f. Hvis billederne er langt fra hinanden, hører hjørnerne til bassinerne af forskellige attraktorer. Det følger heraf, at grænsen mellem bassinerne går gennem denne pixel, og den males over. Går vi gennem alle pixels, får vi et billede, der tilnærmer Julia-sættet.

Denne metode kan også bruges, når der ikke er to attraktorer, men der er Siegel-skiver , Ehrman-ringe eller parabolbassiner. (Hvis to tætte punkter forbliver tæt på, så er deres baner Lyapunov stabile, og et lille kvarter af disse punkter hører til Fatou-regionen; ellers er der punkter af Julia, der er placeret i nærheden af dem.) På samme tid gør denne metode ikke arbejde, når kortlægningen kun har én attraktor , og næsten hele Riemann-sfæren er dens tiltrækningsbassin. (For eksempel .) [1] $z\mapsto z^2+i$

Invers iteration beregningsmetode (IIM)

Julia-sættet er lukningen af foreningen af alle fulde omvendte billeder af ethvert frastødende fikspunkt. Således, hvis der er en effektiv algoritme til at beregne den inverse mapping , og mindst et frastødende fikspunkt er kendt, kan man sekventielt beregne dets inverse billeder for at konstruere Julia-sættet. Ved hvert trin har hvert punkt lige så mange forbilleder som potensen af f, så det samlede antal forbilleder vokser eksponentielt, og lagring af deres koordinater kræver meget hukommelse. [1] I praksis bruges følgende modifikation også: ved hvert trin vælges et tilfældigt forbillede. Samtidig skal det dog tages i betragtning, at en sådan algoritme omgår Julia-sættet ikke ensartet: nogle områder kan kun nås på meget lang (praktisk talt uopnåelig) tid, og de vil ikke blive vist på den resulterende graf . $f^{-1}$

Interessante fakta

Matematikere har bevist, at en vilkårlig lukket figur i planet kan tilnærmes vilkårligt tæt på Julia-sættet for et passende polynomium. Blandt andet, som en demonstration af deres egen teknik, lykkedes det forskerne at bygge en ret god tilnærmelse af silhuetten af en kat. Ifølge videnskabsmænd viser deres eksempel klart, at dynamikken i polynomiske (det vil sige givet af polynomier) dynamiske systemer kan arrangeres på den mest forskelligartede måde. De siger, at deres eksempel vil være nyttigt i teorien om sådanne systemer [2] .

Galleri

Fyldt Julia-sæt til afbildningen f ( z ) = z 2 −1. Aksial symmetri angiver fraværet af en imaginær komponent i det frie led af kortlægningen f ( z )
Fyldt Julia-sæt til kortlægning af f ( z ) = z 2 +0,28+0,0113 i . Hvirvlerne mod uret angiver en positiv imaginær komponent i den frie term af kortlægningen f ( z )
Fyldt Julia sæt til f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i
Fyldt Julia indstillet til f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i (fragment)
Fyldt Julia sæt til f ( z ) = cos z . Billedets centrum er oprindelsen af koordinaterne 0+0 i , den vandrette periode af ornamentet er $\pi$
Fyldt Julia sæt til f ( z ) = sin z . Hvis du roterer billedet 90°, får du et udfyldt Julia-sæt til f ( z ) = sh z

Noter

↑ 1 2 D. Saupe. Effektiv beregning af Julia-sæt og deres fraktale dimension // Physica. - Amsterdam, 1987. - Udgave. 28D . - S. 358-370 . Arkiveret fra originalen den 11. juni 2007.
↑ Matematikere tilnærmede katten med Julia-sæt . Hentet 29. september 2012. Arkiveret fra originalen 21. januar 2021. (ubestemt)

fraktaler
Egenskaber	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion selv-lighed
De enkleste fraktaler	Fern Barnsley Kantor sæt dragekurve Koch kurve Svamp Menger Sierpinski tæppe Sierpinski trekant Rumudfyldende kurve
mærkelig attraktion	Multifraktal
L-system	Rumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler	Julia sæt Lyapunov fraktal Mandelbrot sæt Newtons pools
Tilfældige fraktaler	Brownsk bevægelse brunt træ fraktal overflade Perkolation teori
Mennesker	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
relaterede emner	Hvor lang er Storbritanniens kyst? » Kystlinjeparadoks