Erman ring

Erman-ringen er en af typerne af den faste eller periodiske forbundne komponent af Fatou-domænet i holomorf dynamik . En sådan forbundet komponent er topologisk ækvivalent med en ring, og dynamikken af kortlægningen (eller dens første returiteration, i tilfælde af en periodisk komponent) skal være konjugeret til en irrationel rotation af denne ring.

Konstruktion

En af måderne at konstruere en kortlægning på, hvor en af komponenterne i Fatou-sættet viser sig at være en Hermann-ring, er baseret på overvejelserne om Blaschke-produkter . Blaschke produkter er nemlig kort over formen

f(z)=\lambda \prod _{j=1}^{n}{\frac {z-a_{j}}{1-{\bar {a_{j}}}z}}, \quad |\lambda |=1,\quad |a_{j}|\neq 1,\,

bevar enhedscirklen , og bevar orienteringen på den, hvis og kun hvis der er et lige antal punkter uden for enhedsskiven . ${\displaystyle \{|z|=1\))$ $a_{j}$

Ved at vælge punkter kan man sikre sig, at begrænsningen af afbildningen f til denne cirkel er en diffeomorfi med et diofantisk rotationsnummer . Herman-Yokkoz-sætningen siger i dette tilfælde, at f er analytisk konjugeret til den tilsvarende rotation. Denne lokale konjugation strækker sig yderligere til grænsen af Fatou-komponenten, der indeholder enhedscirklen, som således viser sig at være en Herman-ring. $a_{j}$

Et eksempel på implementeringen af en sådan konstruktion er et rationelt kort af grad 3,

f(z)=e^{2\pi it}\cdot {\frac {z^{2}(z-4)}{1-4z)),

hvor konstanten er valgt således, at rotationstallet for begrænsningen f på enhedscirklen er . $t=0.6151732\dots$ $({\sqrt {5}}-1)/2$

Litteratur

Milnor, J. Holomorfisk dynamik. Indledende foredrag. = Dynamik i én kompleks variabel. Indledende foredrag. - Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - S. 189-194. - 320 sek. - ISBN 5-93972-006-4 .