Stabilitet (dynamiske systemer)

Stabilitet er egenskaben ved en løsning af en differentialligning for at tiltrække andre løsninger til sig selv, forudsat at deres indledende data er tilstrækkelig tæt på . Afhængigt af tiltrækningens art skelnes der mellem forskellige typer stabilitet. Bæredygtighed er et emne, der studeres i discipliner som stabilitetsteori og dynamisk systemteori .

Definitioner

Lade være et område af faserummet , , Hvor . Overvej et system af differentialligninger af følgende form: $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I=[\tau ;\infty )$ $\tau \in \mathbb {R}$

{\dot {x}}=f(t,x),

(en)

hvor funktionen er defineret , kontinuerlig og opfylder Lipschitz-betingelsen lokalt i domænet . $x \in \mathbb{R}^n$ $f$ $x$ $I\times\Omega$

Under disse betingelser, for enhver , er der en unik løsning til system (1), der opfylder startbetingelserne: [1] . Vi udpeger en løsning defineret på intervallet , sådan at vi vil kalde det den uforstyrrede løsning. $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ $x(t,t_{0},x_{0})$ $x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$ $\varphi (t)$ $J^{+}=[t_{0};\infty )$ $J^{+}\subset I$

Stabilitet ifølge Lyapunov

Den uforstyrrede løsning af system (1) kaldes Lyapunov stabil hvis for nogen , og der eksisterer , kun afhængig af og og ikke afhængig af , sådan at løsningen af system (1) med startbetingelser strækker sig til hele semiaxis og for enhver opfylder uligheden [1] . $\varphi (t)$ $t_{0}>\tau$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $\varepsilon$ $t_0$ $t$ $x_{0}$ $\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta$ $x$ $x(t_{0})=x_{0}$ ${\displaystyle J^{+))$ ${\displaystyle t\in J^{+))$ $\|x(t)-\varphi (t)\|<\varepsilon$

Symbolsk er det skrevet sådan:

\forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0} -\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\ |<\varepsilon .

En uforstyrret løsning af system (1) kaldes ustabil, hvis den ikke er Lyapunov-stabil, dvs. $\varphi (t)$

\exists \varepsilon >0,\exists t_{0}\in I:\forall \delta >0\ \exists x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\ |<\delta ,\eksisterer t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepsilon .

Ensartet stabilitet

En uforstyrret løsning af system (1) kaldes ensartet stabil i Lyapunovs forstand, hvis den fra den tidligere definition kun afhænger af : $\varphi (t)$ $\delta$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0:\ \forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_ {0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .

Asymptotisk stabilitet

En uforstyrret løsning af system (1) kaldes asymptotisk stabil, hvis den er Lyapunov-stabil og attraktiv, det vil sige, at betingelsen er opfyldt for enhver løsning med indledende data , for hvilken uligheden gælder for nogle . $\varphi (t)$ $\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0$ $x(t)$ $x_{0}$ ${\displaystyle ||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0))$ ${\displaystyle \delta _{0))$

Der er visse varianter af asymptotisk stabilitet [2] . Den uforstyrrede løsning af system (1) kaldes: $\varphi (t)$

ækviasymptotisk stabil, hvis den er stabil og ækviattraktiv ( ikke afhængig af ). $x(t)$ $x_{0}$
ensartet asymptotisk stabil, hvis den er ensartet stabil og ensartet tiltrækkende ( afhænger ikke af og ). $x(t)$ $t_0$ $x_{0}$
globalt asymptotisk stabil, hvis den er stabil og globalt attraktiv (der er ingen begrænsning på ). $x_{0}$
ensartet asymptotisk stabil som helhed, hvis den er ensartet stabil og ensartet og globalt attraktiv.

Bemærk

Den trivielle løsning kan betragtes som en uforstyrret løsning af systemet , hvilket gør stabilitetsforholdene enklere. Til dette er det nødvendigt at indføre en skiftende ændring og overveje systemet $x(t)\equiv 0$ $y=x-\varphi$

{\dot {y}}=g(t,y),

hvor $g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).$

Noter

↑ 1 2 Afanasiev et al., 2003 , s. 9.
↑ Rush et al., 1980 , s. 19.

Litteratur

Bellman, R. Stabilitetsteori for løsninger til differentialligninger. -M .:Forlaget for udenlandsk litteratur, 1954. (Russisk)
Chetaev, N. G. Bevægelsesstabilitet. - 4. udg., Rev. -M .:Nauka, 1990. - 176 s. —ISBN 5-02-014018-X. (Russisk)
Krasovsky, N. N. Nogle problemer med teorien om bevægelsesstabilitet. —M.:Fizmatgiz, 1959. (Russisk)
Malkin IG teori om bevægelsesstabilitet. - 2. udg., Rev. -M .:Nauka, 1966. (Russisk)
Demidovich, B. P. Forelæsninger om den matematiske stabilitetsteori. —M.:Nauka, 1967. — 472 s. (Russisk)
Afanasiev VN , Kolmanovsky VB , Nosov VR Matematisk teori om design af styresystemer. - 3. udg., Rev. og yderligere .. - M . : Higher School , 2003. - 614 s. — ISBN 5-06-004162-X . (Russisk)
Filippov, A. F. Introduktion til teorien om differentialligninger. - Ed. 2. - Redaktionel URSS, 2007. - 240 s. —ISBN 978-5-484-00786-8.
Rush, N. , Abets, P. , Lalua, M. Direkte Lyapunov-metode i stabilitetsteori. — M .: Mir , 1980.