Cauchy matrix (lineær algebra)

I matematik er Cauchy-matricen  (  opkaldt efter Augustin Louis Cauchy ) en m × n matrix med indgange af formen

a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leqslant i\leq m,\quad 1\leqslant j\leq n,

hvor og er elementer i feltet , og sekvenser af og sådanne elementer er injektiv (indeholder ikke gentagne elementer). $x_{i}$ $y_{j}$ ${\mathcal {F}}$ $(x_{i})$ $(y_{j})$

Hilbert-matricen er et specialtilfælde af Cauchy-matricen til

x_{i}-y_{j}=i+j-1.

Hver submatrix (en matrix opnået ved at slette en bestemt række og kolonne) i Cauchy-matricen er også en Cauchy-matrix.

Cauchy determinanter

Determinanten for den firkantede Cauchy-matrix er en bevidst rationel funktion af parametrene og . Hvis disse sekvenser ikke er injektiv , så er determinanten nul. Hvis nogle har tendens til , så har determinanten en tendens til uendelig. Således er en del af sættet af nuller og poler af Cauchy-determinanten kendt på forhånd. Faktisk er der ingen andre nuller og poler. $(x_{i})$ $(y_{j})$ $x_{i}$ $y_{j}$

En eksplicit form af determinanten for den firkantede Cauchy-matrix A , blot kaldet Cauchy-determinanten :

\det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j}) (y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j}) }}

(Schechter 1959, lign. 4).

Det er altid ikke-nul, så Cauchy-matricerne er inverterbare . Den inverse matrix A −1 = B = [b ij ] har formen:

b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})

(Schechter 1959, sætning 1)

hvor A i (x) og B i (x) er Lagrange polynomier for sekvenserne og hhv. Det er $(x_{i})$ $(y_{j})$

A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i)))))

\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i))))),

hvor

A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})

\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).

Generalisering

En matrix C kaldes en matrix af Cauchy-typen, hvis den har formen

C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.

Ved at angive X =diag(xi ), Y =diag(y i ), får vi , at Cauchy-type matricer (især kun Cauchy-matricer) opfylder den forskudte ligning :

{\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} ))

(i tilfælde af Cauchy-matricer ). Derfor har Cauchy-type matricer en fælles skæv struktur , som kan bruges, når man arbejder med sådanne matricer. For eksempel findes der kendte algoritmer til $r=s=(1,1,\ldots ,1)$

omtrentlig multiplikation af Cauchy-matrixen med en vektor i operationer, $O(n\log n)$
LU-dekomponering i operationer (GKO-algoritme) og den tilsvarende algoritme til løsning af systemer af lineære ligninger med sådanne matricer, $O(n^{2})$
ustabile algoritmer til løsning af systemer af lineære ligninger i operationer. $O(n\log ^{2}n)$

V angiver størrelsen af matricen (normalt omhandler man kvadratiske matricer , selvom alle ovenstående algoritmer let kan generaliseres til rektangulære matricer). $n$

Se også

Toeplitz matrix

Cauchy matrix (lineær algebra)

Cauchy determinanter

Generalisering

Se også

Links