Inoue overflade

Inoue-overfladen er en kompleks Kodaira-overflade af klasse VII . Overfladerne er opkaldt efter Masahita Inoue, som gav de første ikke-trivielle eksempler på Kodaira klasse VII overflader i 1974 [1] .

Inoue-overflader er ikke Kähler-manifolder .

Inoue overflader med b 2 = 0

Inoue gav tre familier af overflader, S 0 , S + og S − , som er kompakte faktorer (produkter af et komplekst plan og et halvplan). Disse Inoue overflader er opløselige manifolds . De opnås som en faktor over en opløselig diskret gruppe, der virker holomorf på . ${\mathbb {C} }\ gange H$ ${\mathbb {C} }\ gange H$ ${\mathbb {C} }\ gange H$

Alle opløselige overflader, som Inoue har konstrueret, har et andet Betti-nummer . Disse overflader er Kodaira-overflader af klasse VII , hvilket betyder, at for dem er Kodaira - dimensionen lig med . Som bevist af Bogomolov [2] , Li- Yau [3] og Telemann [4] er enhver overflade af klasse VII med b 2 = 0 en Hopf-overflade eller en opløselig manifold af Inoue-typen. $b_{2}=0$ $b_{1}=1$ $-\infty$

Disse overflader har ikke meromorfe funktioner, og de har heller ikke kurver.

K. Hasegawa [5] gav en liste over alle komplekse todimensionelle opløselige varianter. Disse er kompleks torus , hyperelliptisk overflade , Kodaira overflade og Inoue overflader S 0 , S + og S − .

Inoue overflader er konstrueret eksplicit som beskrevet nedenfor [5] .

Overflader af type S 0

Lad være en heltal 3 × 3 matrix med to komplekse egenværdier og en reel egenværdi c>1 , og . Så er den inverterbar i heltal og bestemmer virkningen af gruppen af heltal på . Lad . Denne gruppe er et gitter i en løselig Lie-gruppe $\phi$ $\alpha ,{\bar {\alpha ))$ $|\alpha |^{2}c=1$ $\phi$ ${\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{3))$ $\Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }$

{\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }

handler på , mens gruppen handler på -delen ved overførsler og på -delen som . ${\displaystyle {\mathbb {C} }\time {\mathbb {R} ))$ $({\mathbb {C} }\time {\mathbb {R} })$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ $(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$

Vi udvider denne handling til ved at indstille , hvor t er -part-parameteren for gruppen . Handlingen er triviel på faktoren i . Denne handling er åbenlyst holomorf, og faktoren kaldes en Inoue-overflade af typen S 0 . ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0))$ $v\mapsto e^{\log ct}v$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} ))$ ${\mathbb {R} }^{3}$ ${\mathbb {R} }^{>0}$ ${\mathbb {C} }\ gange H/\Gamma$

Inoue-overfladen S0 er defineret ved valget af en heltalsmatrix med ovenstående begrænsninger. Der er et tælleligt antal af sådanne overflader. $\phi$

Overflader af typen S +

Lad n være et positivt heltal og være gruppen af øvre trekantede matricer $\Lambda _{n}$

{\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix)),

hvor x, y, z er heltal. Overvej en automorfi , som vi betegner med . Faktoren for en gruppe i dens centrum C er . Antag, at det virker som en matrix med to positive reelle egenværdier a, b , med ab = 1. $\Lambda _{n}$ $\phi$ $\Lambda _{n}$ ${\mathbb {Z} }^{2}$ $\phi$ ${\displaystyle \Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2))$

Overvej en løsbar gruppe , med , der fungerer som . Ved at identificere gruppen af øvre trekantede matricer med får vi en handling på . Vi definerer en handling på med at handle trivielt på -delen og fungerer som . De samme argumenter som for Inoue overflader af typen viser, at denne handling er holomorf. Faktoren kaldes overfladen af Inoue-typen . $\Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} }$ ${\mathbb {Z} }$ $\Lambda _{n}$ $\phi$ ${\mathbb {R} }^{3}$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\time {\mathbb {R} ))$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0))$ $\Lambda _{n}$ ${\mathbb {R} }^{>0}$ ${\mathbb {Z} }$ $v\mapsto e^{t\log b}v$ $S^{0}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\ gange H/\Gamma _{n))$ ${\displaystyle S^{+))$

Overflader af type S −

Inoue overflader af typen $S^{-}$ er defineret på samme måde som S + , men de to egenværdier a, b af den automorfi , der virker på , har modsatte fortegn, og ligheden ab = −1 gælder. Da kvadratet af en sådan endomorfisme definerer en Inoue-overflade af type S + , har en Inoue-overflade af type S- et uforgrenet dobbeltdæksel af type S + . $\phi$ ${\mathbb {Z} }^{2}$

Parabolske og hyperbolske Inoue overflader

Parabolske og hyperbolske Inoue overflader er klasse VII Kodaira overflader defineret af Iku Nakamura i 1984 [6] . De er ikke løselige sorter. Disse overflader har et positivt andet Betti-tal. Overflader har sfæriske skaller og kan deformeres til en Hopf-overfladeblow - up .

Parabolske Inoue overflader indeholder en cyklus af rationelle kurver med 0 selvskæringer og en elliptisk kurve. De er et særligt tilfælde af Enoki-overflader, der har en cyklus af rationelle kurver med nul selvskæringer, men ingen elliptisk kurve. Inoue-halvfladen indeholder en cyklus C af rationelle kurver og er en faktor af en hyperbolsk Inoue-overflade med to cyklusser af rationelle kurver.

Hyperbolske Inoue overflader er overflader af klasse VII 0 med to cyklusser af rationelle kurver [7] .

Noter

↑ Inoue, 1974 , s. 269-310.
↑ Bogomolov, 1976 , s. 273-288.
↑ Li, Yau, 1987 , s. 560-573.
↑ Teleman, 1994 , s. 253-264.
↑ 12 Hasegawa , 2005 , s. 749-767.
↑ Nakamura, 1984 , s. 393-443.
↑ Nakamura, 2008 .

Litteratur

Keizo Hasegawa. Complex and Kahler structures on Compact Solvmanifolds // J. Symplectic Geom.. - 2005. - Vol. 3 , no. 4 . - S. 749-767 .
Bogomolov, F.A., Klassificering af overflader af klasse VII 0 med b 2 = 0 , Izv. USSR's Videnskabsakademi. - 1976. - T. 40 , no. 2 .
Li J., Yau S., T. Hermitian Yang-Mills forbindelser på ikke-Kahler manifolds // Matematik. aspekter af strengteori (San Diego, Californien, 1986). — Adv. Ser. Matematik. Phys.. - World Scientific Publishing, 1987. - Vol. 1.
Nakamura I. På overflader af klasse VII 0 med kurver // Inventiones math.. - 1984. - T. 78 .
Inoue M. På overflader af klasse VII 0 // Inventiones math.. - 1974. - T. 24 .
Teleman A. Projektivt flade overflader og Bogomolovs sætning om klasse VII 0 -flader // Int. J. Math .. - 1994. - V. 5 , no. 2 .
Nakamura I. Undersøgelse af VII 0 overflader // Seneste udviklinger i NonKaehler Geometry . - Sapporo, 2008.