Adskillelig forlængelse

En separerbar udvidelse er en algebraisk udvidelse af feltet, der består af adskillelige elementer, det vil sige elementer sådan , at den minimale annihilator ikke har flere rødder. Den afledte skal derfor være et polynomium, der ikke er nul. Per definition er alle felter med karakteristik 0 adskillelige, så begrebet separabilitet er kun ikke-trivielt for felter med ikke-nul karakteristik . $E \upset K$ $\alfa$ $f(x)$ $K$ $f'(x)$ $s$

For endelige udvidelser gælder følgende påstand: hvis , hvor er den algebraiske lukning af feltet , så kan den adskilles, hvis og kun hvis antallet af forskellige isomorfismer af feltet ind i den algebraiske lukning over er lig med graden af . I tilfælde af ikke-adskillelige forlængelser er dette tal en divisor og kaldes en adskillelig potens (kvotienten er lig med en eller anden potens af karakteristikken). $K \delmængde E \delmængde K^*$ $K^{*}$ $K$ $E$ $\sigma$ $E$ $K^{*}$ $K$ $[E:K]$ $[E:K]$ $[E:K]_s$

Egenskaber for adskillelige udvidelser

Hvis udvidelser og er adskillelige, så er udvidelsen også adskillelig. Omvendt, hvis adskillelige, så og er adskillelige. $E \supseteq K$ $F \supseteq E$ $F \supseteq K$ $F \supseteq K$ $E \subseteq K$ $F \subseteq E$

Hvis udvidelsen kan adskilles, så for enhver udvidelse (hvis de er indeholdt i et eller andet felt) er sammensætningen af felter en separerbar udvidelse . $E \supseteq K$ $F \supseteq K$ $F$ $E$ $EF$ $K$

Den primitive element sætning : hvis , hvor er algebraisk (selv om det ikke nødvendigvis kan adskilles) over , og er algebraisk og adskillelige, så eksisterer der et element (kaldet et primitivt element), sådan at . $E=K(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ $\alpha_{1}$ $K$ $\alpha_2, \dots, \alpha_n$ $\theta$ $E=K(\theta)$

Generalisering af separerbarhed til ikke-algebraiske udvidelser

En udvidelse kaldes lineært fri for, hvis et endeligt sæt af elementer lineært uafhængigt over forbliver lineært uafhængigt over . Denne definition er symmetrisk: hvis lineært fri fra over , så omvendt, lineært fri fra over . $E \supseteq K$ $L \supseteq K$ $E$ $K$ $L$ $E$ $L$ $K$ $L$ $E$ $K$

En udvidelse (ikke nødvendigvis algebraisk) over et felt siges at være adskillelig, hvis den for nogle naturlige er lineært fri for en udvidelse genereret ved at tilføje alle rødderne af graden fra elementerne . For algebraiske udvidelser svarer denne definition til den sædvanlige. Denne definition afhænger ikke af valget af tal og svarer til lineær frihed fra - sammensætningen af alle ( McLanes kriterium ). $E$ $K$ $m$ $K^{p^{-m}}$ $p^{m}$ $K$ $m$ $E$ $K^{p^{-\infty}}$ $K^{p^{-m}}$

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Kommutativ algebra. - M . : Udenlandsk litteratur, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.