Begrænset operatør

En operator kaldes bundet , hvis den kortlægger hvert afgrænset sæt af det oprindelige topologiske vektorrum til et afgrænset sæt af det topologiske vektorrum . [en] $A:X\til Y$ $x$ $Y$

Ovenstående definition gælder for både lineære og ikke-lineære operatorer .

Lineær afgrænset operator

Definitioner

For en lineær operator gives der ofte andre definitioner: [1]

Vi vil kalde en lineær operator afgrænset , hvis der eksisterer et kvarter på nul , der er et begrænset sæt i . $A:X\til Y$ $U$ $A(U)$ $Y$
Vi vil kalde en lineær operator i et normeret rum afgrænset , hvis der findes et positivt tal , således at . Det mindste af disse tal er betegnet med og kaldes operatørens norm . Med andre ord, $A:X\til Y$ $C$ $\|Axe\| \le C\|x\|$ $C$ $\|A\|$ $EN$

\|A\|=\up _{\|x\|=1}{\|Ax\|}

Egenskaber i F-rum

Bemærkning: Banach space er et specialtilfælde af F-space .

Sætningen er sand, at en lineær afgrænset operator, der virker fra et F-rum til et andet, er kontinuert . [2]
Omvendt ( Banachs sætning ) er enhver kontinuert operator afgrænset. [1] [2]

Se derfor artiklen Continuous Linear Operator for yderligere egenskaber for sådanne operatører .

Litteratur

↑ 1 2 3 Mathematical Encyclopedia / Vinogradov I.M. . - M. : Sov. encyklopædi , 1977 . - T. 3.
↑ 1 2 Dunford N., Schwartz J. Lineære operatorer. — M .: IL , 1962 . — T. 1. Almen teori. - S. 66-67.