Faktor sæt

Faktorsættet er mængden af ​​alle ækvivalensklasser for en given ækvivalensrelation på mængden , betegnet med . Opdelingen af ​​et sæt i klasser af ækvivalente elementer kaldes dets faktorisering .

En kortlægning fra til et sæt ækvivalensklasser kaldes en faktorkortlægning . På grund af egenskaberne ved ækvivalensrelationen er opdelingen i sæt unik. Det betyder, at de klasser, der indeholder enten ikke skærer hinanden eller falder helt sammen. For ethvert element er en klasse fra unikt defineret , med andre ord er der en surjektiv kortlægning fra til . En klasse, der indeholder , betegnes nogle gange som .

Hvis et sæt er forsynet med en struktur, så kan ofte en mapping bruges til at give faktorsættet den samme struktur; for eksempel kan ækvivalensklasserne i et topologisk rum udstyres med den inducerede topologi ( faktorrum ), ækvivalensklasserne i et algebraisk system kan udstyres med de samme operationer og relationer ( faktorsystem ).

Applikationer og eksempler

Hvis der er givet en surjektiv mapping , er relationen givet på sættet . Du kan overveje et faktorsæt . Funktionen definerer en naturlig en-til-en- korrespondance mellem og .

Det er rimeligt at bruge sæt faktorisering til at opnå normerede rum fra semi-normerede rum, rum med et indre produkt fra rum med et næsten indre produkt osv. Hertil indføres normen for en klasse henholdsvis lig med normen for et vilkårligt element af det, og det skalære produkt af klasser som det skalære produkt af vilkårlige elementer af klasser. Til gengæld introduceres ækvivalensrelationen som følger (for eksempel for at danne et normeret kvotientrum): en delmængde af det oprindelige semi-normerede rum introduceres, bestående af elementer med nul semi-norm (det er i øvrigt lineært , dvs. det er et underrum), og det anses for, at to elementer er ækvivalente, hvis deres forskel tilhører det samme underrum.

Hvis et bestemt underrum af et lineært rum indføres for at faktorisere et lineært rum, og det antages, at hvis forskellen mellem to elementer i det oprindelige rum hører til dette underrum, så er disse elementer ækvivalente, så er faktormængden et lineært rum og kaldes et faktorrum.

Det projektive plan kan defineres som kvotientrummet for en todimensionel kugle ved at definere en ækvivalensrelation .

Klein-flasken kan repræsenteres som kvotientrummet for en cylinder med hensyn til ækvivalensrelationen (  er vinkelkoordinaten på cirklen).

Egenskaber

Faktorafbildninger q  : X → Y beskrives blandt surjektive afbildninger med følgende egenskab: hvis Z er et topologisk rum, og f  : Y → Z er en funktion, så er f kontinuert, hvis og kun hvis f ∘ q er kontinuert.

Kvotientrummet X /~ sammen med kvotientkortet q  : X → X /~ er beskrevet af følgende universelle egenskab : if g  : X → Z er et kontinuerligt kort sådan, at hvis a ~ b betyder g ( a ) = g ( b ) for alle a og b fra X , så er der en unik afbildning f  : X /~ → Z således at g = f ∘ q . Vi siger, at g falder til en faktorisering .

Kontinuerlige afbildninger defineret på X /~ er derfor præcis de afbildninger, der opstår fra kontinuerte afbildninger defineret på X , som opfylder en ækvivalensrelation (i den forstand, at de afbilder ækvivalente elementer til det samme billede). Dette kriterium er meget brugt i undersøgelsen af ​​kvotientrum.

Givet en kontinuerlig surjektion q  : X → Y , er det nyttigt at have et kriterium til at bestemme, om q er en kvotient. To tilstrækkelige betingelser — q er åben eller lukket . Bemærk, at disse betingelser kun er tilstrækkelige , men ikke nødvendige . Det er let at konstruere eksempler på faktorkortlægninger, der hverken er åbne eller lukkede. For topologiske grupper er faktorkortlægningen åben.

Kompatibilitet med andre topologiske begreber