Additiv kombinatorik

Additiv kombinatorik (fra det engelske addition - addition) er et tværfagligt [1] område af matematik, der studerer den indbyrdes afhængighed af forskellige kvantitative fortolkninger af begrebet strukturerethed af en undergruppe af en gruppe (som regel finite), samt som lignende egenskaber af derivater af et sæt strukturer, der anvendes i disse fortolkninger. Derudover studerer additiv kombinatorik struktureringen i forskellige betydninger af nogle specifikke sæt eller klasser af mængder (for eksempel delmængder af primtal eller multiplikative undergrupper ).

Således er hovedobjektet for undersøgelsen endelige sæt , så abstrakte som muligt, nogle gange kun begrænset i deres størrelse, hvilket gør denne videnskab ligner kombinatorik . Men i modsætning til kombinatorik som sådan, hvor elementerne i sæt kun identificeres ved deres forskel fra hinanden og tilhører et eller andet sæt under overvejelse, har hvert element i sættet i additiv kombinatorik en klar betydning, og yderligere relationer opstår mellem dem , der stammer fra deres værdier og egenskaber ved driften af gruppen (og muligvis specifikke love, der er specifikke for den givne gruppe).

Additiv kombinatorik er tæt beslægtet med aritmetisk kombinatorik , hvor emnet for undersøgelsen er forholdet mellem en delmængde af et felt (og ikke kun en gruppe, som her) med to operationer på én gang - addition og multiplikation.

Forudsætninger for fremkomsten af

Additiv talteori

Spørgsmålene om at repræsentere tal gennem summer af elementer fra et lille antal givne sæt er blevet overvejet af matematikere siden oldtiden. Klassiske eksempler er problemerne med repræsentativitet af ethvert tal ved summen af fire kvadrater ( Lagranges summen af fire kvadraters sætning ) eller af et hvilket som helst lige tal større end tre med summen af to primtal ( Goldbachs problem ). Hvis vi betegner med mængden af alle kvadrater af ikke-negative tal, så kan Lagranges sætning med hensyn til additiv kombinatorik (se notationsafsnittet nedenfor) skrives som $Q=\left\lbrace {0}\right\rbrace \cup \left\lbrace {n^{2}:n\in {\mathbb {N} }}\right\rbrace$

Q+Q+Q+Q={\mathbb {N} }

I løbet af løsningen af lignende problemer opstod der andre lignende, med forskellige sæt, men lignende formuleringer. Alt dette dannede det felt af matematik kaldet additiv talteori .

Additiv kombinatorik bør dog ikke opfattes som en generalisering eller udvikling af additiv talteori - selvom problemerne med sidstnævnte bekvemt kan skrives i form af additiv kombinatorik, er dens generelle metoder som regel ikke anvendelige på dem. Talteori betragter altid mængder af en særlig art - primtal, kvadrater, andre potenser, tal med et lille antal divisorer osv. Additiv kombinatorik forsøger at forstå additionens struktur som sådan, for at udlede så generelle resultater som muligt.

Ikke desto mindre blev de første resultater, der kan klassificeres som additiv-kombinatoriske i ånden, født i begyndelsen af det 20. århundrede netop som en del af talteorien (også kaldet kombinatorisk talteori). [1] Sådan er for eksempel Shnirelman-metoden til løsning af Goldbach-problemet (som også blev anvendt af Linnik til Waring-problemet ) - den er baseret på Shnirelman-sætningen om mængden af talsummer fra to vilkårlige mængder, af som kun deres tæthed er kendt [2] (følger bemærk, at den meget specifikke definition af tæthed ifølge Shnirelman, som blev brugt i denne teorem, ikke slog rod i additiv kombinatorik som et objekt for undersøgelse).

Ramsey teori

Ramseys teori, som opstod i første halvdel af det 20. århundrede , analyserede også forskellige ideer om strukturerethed. Ramsey-teoriens udtalelser vedrører tilstedeværelsen af mindst en lille "ø" af struktur i ret komplekse (i form af antallet af elementære dele) objekter. [3]

Ramsey-teorien overvejer dog ikke delmængder, men partitioner af en given mængde (f.eks. et sæt kanter af en graf, naturlige tal eller en del af en boolsk af en endelig mængde), og resultatet på strukturen betyder, at et af elementerne i partitionen har struktur, og det er som regel ikke klart hvad. Derfor kan der ikke siges noget om nogen bestemt undergruppe.

Et godt eksempel er van der Waerden-sætningen - den siger, at for enhver opdeling af naturlige tal i et endeligt antal klasser, vil mindst én af klasserne have en aritmetisk progression (af enhver given længde). Samtidig er det indlysende, at der i enhver partition er en klasse , hvor tætheden af tal er større end i andre, og det ser intuitivt ud til, at progressionen skal være i dette sæt - der er trods alt flest elementer her , altså flest muligheder. Det er også indlysende, at det største sæt vil have en positiv (ikke-nul) tæthed. Men at bevise, at absolut ethvert uendeligt sæt af naturlige tal med positiv tæthed indeholder en aritmetisk progression, opnås ikke blot gennem van der Waerden-sætningen - ifølge den kan progressionen være i enhver klasse, selv den mindste. For at bevise tilstedeværelsen af en progression i ethvert tæt sæt, er man nødt til at involvere meget mere komplekse midler - løsningen på dette problem kaldes Szemeredis sætning , som blot betragtes som et klassisk additiv-kombinatorisk resultat.

Trigonometriske summer

Et fleksibelt værktøj til at vurdere rækkefølgen af et sæt, som også spillede en væsentlig rolle i additiv talteori, er trigonometriske summer (summen af enhedsrødder svarende til mængdens tal). De er også blevet et værktøj og genstand for undersøgelse i additiv kombinatorik, da de giver mulighed for en ret generel anvendelse.

Selv Gauss, som var den første til at studere trigonometriske summer, opdagede gennem dem sammenhængen mellem fordelingen af alle mulige forskelle af tal fra en given mængde og selve mængden. Ved at undersøge kvadratiske rester overvejede Gauss summen

S(a)=\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{2}}{p}}i}}

og udlæs et estimat for kvadratet af dets modul:

|S(a)|^{2}=\sum \limits _{x,y}{e^{2\pi {\frac {a(x^{2}-y^{2})} {p}}i}}

Et skøn for denne sum blev opnået rent kombinatorisk ud fra egenskaberne af udtrykket under ændringen af variabel . [4] Således gav multisættet af forskelle information om strukturen af sættet af de kvadratiske rester selv. I additiv kombinatorik fungerer en tilgang, der ligner koncept, når den allerede er et sæt, og ikke et multisæt af forskelle (eller summer, produkter osv.) af elementer fra et givet sæt, giver information om strukturen af dette sæt. En sådan overgang - fra et multisæt til et sæt - er forbundet med overgangen fra antallet af løsninger af en bestemt ligning (for eksempel ) til repræsentationen af tal i en eller anden form (for eksempel i formen ), som er i princippet karakteristisk for metoden med trigonometriske summer. $x^{2}-y^{2}$ $x=y+h$ $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2},a_{i}\in A,b_{i}\in B$ $a+b,a\in A,b\in B$

Freimans sætning

Et særskilt grundlag for udviklingen af en ny videnskab om elementvise summer af mængder (mængder af summer ) var sætningen bevist af Grigory Freiman om strukturen af mængder med lille fordobling (det vil sige mængder, hvis sæt af summer af to elementer har en lille størrelse, eller mere enkelt, summen af elementer, som ofte falder sammen). [5] $A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Spørgsmål om summen af elementer fra en given mængde blev også overvejet af Erdős og Szemeredi uden at indføre speciel symbolik for at betegne summeringen af mængder. [6]

Emne

Masser af summer

Et vigtigt begreb i additiv kombinatorik er sættet af summer

A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace

for endelige mængder , hvor er en gruppe. Størrelsen af et sådant sæt bestemmes af strukturen og med hensyn til operationen . Hvis og er aritmetiske progressioner, så er det ikke nok. Og hvis for eksempel er valgt tilfældigt i henhold til Bernoulli-skemaet , så er det meget stort. Mellemtilfælde mellem disse to tilfælde er netop af additiv-kombinatorisk interesse. $A,B\in \mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,+)$ $EN$ $B$ $+$ $EN$ $B$ $|A+B|$ ${\displaystyle A,B\in {\mathbb {Z} }_{n))$ $|A+B|$

Derudover er opbygningen af sæt interessant i sig selv . Især fra 2018 er der ingen generelle kriterier (udover direkte opregning) til at bestemme, om et givet sæt er repræsenteret i formen . $A+B$ $A+A$

Tilknyttede karakteristika for sæt

Tabellen nedenfor viser teoremer og uligheder i additiv kombinatorik, der relaterer til forskellige karakteristika for undergrupper af grupper. Udsagnet angivet i en celle relaterer de egenskaber, der er angivet i dens række og kolonne. Kun nogle af de mest berømte af disse teoremer er givet.

For kortheds skyld bruges følgende forkortelser i overskrifter:

Tætheden af et sæt for en endelig gruppe er værdien eller loven for dens asymptotiske vækst med stigende størrelse , og for uendelige er det den asymptotiske tæthed (eller distributionsloven) i , $A\subset {\mathbb {G} }$ ${\mathbb {G} }$ ${\frac {|A|}{|{\mathbb {G} }|}}$ ${\mathbb {G} }$ ${\mathbb {G} }$ $EN$ ${\mathbb {G} }$
GAP (fra "generaliseret aritmetisk progression") - tilstedeværelsen i sættet af store aritmetiske progressioner , ikke-trivielle generaliserede aritmetiske progressioner eller deres store dele, og omvendt evnen til at dække sættet (eller det meste af det) med en ikke for stor aritmetisk progression;
${\displaystyle A_{1}+\dots +A_{k))$ - størrelsen og strukturen af mængden af summer (såvel som forskelle og kombinationer af summer og forskelle) - især evnen til at repræsentere ethvert element i gruppen som summen af et givet antal elementer i dette sæt;
${\displaystyle X=A_{1}+\dots +A_{k))$ - repræsentativiteten af et sæt eller en stor del af det som et sæt af summer (såvel som forskelle og kombinationer af summer og forskelle) af tal fra et lille antal mængder, dvs. løseligheden af mængdeligningen for en givet , måske endda under visse betingelser på (for eksempel ), hvor betyder Minkowski-summen ${\displaystyle X=A_{1}+\dots +A_{k))$ $x$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k))$ ${\displaystyle A_{1}=\dots =A_{k))$ $+$
Fourierkoefficienter er beregnet til den karakteristiske funktion af mængden og funktioner defineret gennem den, såvel som deres statistik - forskellige slags normer , antallet af elementer med en stor værdi og strukturen af deres mængde;
CRU (fra "antallet af løsninger til ligningen") - antallet af løsninger til forskellige lineære ligninger (især additiv energi ) eller ligningssystemer , hvor variablerne tager værdier fra givne sæt, såvel som forholdet mellem antallet af deres løsninger

Der er også flere specifikke notationer, der bruges i cellerne:

$\widehat {A}$ er Fourier-koefficienten for mængdens karakteristiske funktion ; $EN$
$E(A,B)$ - additiv energi
$\rho _{A}(x)=\mathbf {1} _{A}(x)-{\frac {|A|}{|{\mathbb {G} }|}}$ — en sådan funktion kaldes sættets balancefunktion , fordi . $A\in {\mathbb {G} }$ $\sum \limits _{x\in {\mathbb {G} }}{\rho _{A}(x)}=0$

	Massefylde	OAP	${\displaystyle A_{1}+\dots +A_{k))$	${\displaystyle X=A_{1}+\dots +A_{k))$	Fourierkoefficienter	CRU
Massefylde
OAP	Szemeredis sætning
${\displaystyle A_{1}+\dots +A_{k))$	Shnirelmans ulighed , Furstenberg-Sharkozy-sætning	Freimans sætning
${\displaystyle X=A_{1}+\dots +A_{k))$		$A+B$ i det store og det indeholder lang en. n. [7] [8] $\|A\|$ $\|B\|$	Plünnecke-Rouge ulighed
Fourierkoefficienter	Usikkerhedsprincippet [9]	Hvis , er lille, så indeholder en. n. længde 3 [10] ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $\|\|{\widehat {\rho _{A}}}\|\|_{\infty }$ $EN$	Hvis lille, så stor $\|\|{\widehat {A}}\|\|_{\infty }$ $\|\|{\widehat {B}}\|\|_{\infty }$ $\|A+B\|$
CRU	Roths sætning	Hvis - a. s., så $EN$ $E(A,A)\geq \Omega (\|A\|^{3})$	$\|A\|^{2}\|B\|^{2}\geq \|A+B\|E(A,B)$ [elleve]	Ud fra forholdet mellem additive energier kan vi drage konklusioner om strukturen af sættet [12]	Hvis , så ${\displaystyle A,B\in {\mathbb {Z} }_{N))$ $E(A,B)=\sum \limits _{r=0}^{N-1}{\|{\widehat {A}}(r)\|^{2}\|{\widehat {B} }(r)\|^{2}}$

Nogle anvendte begreber

Gowers-normen er en generalisering af begrebet Fourier-koefficienter, opfundet afWilliam Gowersi løbet af at bevise Szémeredys teorem.

En Freiman-isomorfi er en kortlægning fra en delmængde af en gruppe til en delmængde af en anden, der bevarer lighedsforholdet mellem summen af et givet antal elementer i mængden.

Et endeligt sæt af reelle tal kaldes en konveks sekvens (eller konveks mængde), hvis for , det vil sige, hvis det er billedet af et segment for en strengt konveks funktion . [13] Egenskaberne af sådanne sæt er bredt undersøgt i additiv kombinatorik. [14] [15] [16] [17] Dette begreb må ikke forveksles med en konveks mængde i sædvanlig betydning . $A=\left\lbrace {a_{1}\leq \dots \leq a_{n}}\right\rbrace$ $a_{i+1}-a_{i}<a_{i+2}-a_{i+1}$ $i=1,\dots ,n-2$ $EN$ $\left\lbrace {1,\dots ,n}\right\rbrace$

Bohr-sættet er en lille fordoblingsstruktur, nogle gange brugt i beviser som en svækket analog til begrebet et underrum. [18] . Det er defineret som det sæt af feltelementer, hvor alle additive karakterer fra en given familie har en lille værdi. Bohr-sæt indeholder store generaliserede aritmetiske progressioner, således at tilstedeværelsen af progressioner i et sæt nogle gange bevises gennem tilstedeværelsen af det nødvendige Bohr-sæt i det.

En næsten periodisk funktion er en funktionsådan, at normener tilstrækkelig lille for nogleog for alle, hvor er en eller anden mængde (for eksempel Bohr-mængden). Et af bevisernefor Roths sætning. [19] $f$ ${\displaystyle ||f(x+t)-f(x)||_{p))$ $s$ $i T$ $T$

Sættet af store trigonometriske summer (nogle gange også kaldet spektret ) af mængden er det sæt af rester, for hvilke summen(Fourier-koefficienten) har et stort modul . [tyve] ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{p))$ $r$ $\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ar)}$

Et dissociativt sæt er et sæt, hvor de lineære kombinationer er lig med nul, hvorkun når alleer lig nul. Dette betyder især, at summen af elementer fra to forskellige delmængder altid er forskellige [20] . Dissociativitet kan ses som en analog af lineær uafhængighed over. $EN$ $\sum \limits _{a\in A}{\varepsilon _{a}a}=0$ $\forall a\in A:\varepsilon _{a}\in \left\lbrace {-1,0,1}\right\rbrace$ $\varepsilon _{a}$ $\left\lbrace {-1,0,1}\right\rbrace$

Undersøgelsesmetoder

Elementære metoder

Selvfølgelig, på trods af eksistensen af kraftfulde og komplekse metoder til at studere teoremer af additiv kombinatorik, egner nogle teknikker og opgaver sig til en elementær beskrivelse. Fra Cauchys ulighed udledes egenskaber ved additiv energi , der gælder næsten universelt. Generelt analyserer den elementære tilgang ofte antallet af løsninger af visse ligninger. Middelargumentet bruges også ofte - for eksempel når man dekomponerer antallet af løsninger til en ligning med summen af antallet af løsninger for en bestemt værdi af en enkelt variabel. [21] $\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i))}\right)^{2}\leq n\sum \limits _{i=1}^{ n}{{a_{i}}^{2}}$

Ved elementære metoder kan man bevise Roth-sætningen [22] og Cauchy-Davenport-sætningen [23] .

Imidlertid har mange beviser opnået ved andre metoder ingen elementære analoger.

Kombinatoriske metoder

Et af de mest ikoniske kombinatoriske beviser for additiv kombinatorik er det første bevis på Szemeredys sætning [24] der dukkede op - i det formulerede og brugte Szemeredy det såkaldte regularitetslemma , vedrørende ren grafteori . Grafanalogier bruges også til at bevise specielle versioner af Plünnecke-Rouge-uligheden eller estimater af Balogh-Semeredi-Gowers-typen [25] .

Algebraiske metoder

Algebraiske metoder i additiv kombinatorik bruger egenskaberne af polynomier, som er bygget på basis af bestemte mængder. Graderne af sådanne polynomier afhænger som regel af størrelsen af de mængder, der undersøges, og polynomiers rødder kan give en eller anden information om de oprindelige mængders summer, skæringspunkter osv.

Et eksempel på et værktøj til at anvende en sådan metode er den kombinatoriske nulsætning . Med det kan Cauchy-Davenport-sætningen og nogle af dens generaliseringer bevises . [23]

Andre anvendelser af den algebraiske metode kan findes i beviserne for Roths sætning for visse grupper af speciel form [26] [27] [28] eller ved at estimere størrelsen af skæringspunkterne mellem skift af multiplikative undergrupper af felter ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ og bevise Warings problem for en prime felt (til dette anvendes især Stepanovs metode ). ). [29]

Analytiske metoder

Det vigtigste analytiske værktøj i additiv kombinatorik er Fourier-koefficienterne . Dette skyldes den tætte forbindelse mellem driften af at tage Fourier-koefficienten og driften af foldning af funktioner . Fourierkoefficienter er blevet brugt siden det første bevis på Roths sætning. [30] Deres generalisering er Gowers-normen, hvis videnskab også kaldes højere-ordens Fourier-analyse. [tyve]

Ved at bruge eksemplet med Fourier-koefficienter (især deres anvendelse på beviset for Roths sætning) illustreres det såkaldte iterative argument bedst, når overvejelsen af en vilkårlig mængde er opdelt i to tilfælde - når mængden ikke har stor (i forhold til mængdens størrelse) Fourier-koefficienter og hvornår det gør. I det første tilfælde kan man direkte bruge egenskaberne for Fourier-koefficienterne, og i det andet kan man finde en understruktur af en mængde med en højere tæthed i en uendelig aritmetisk progression og med en så højere tæthed, at antallet af sådanne mulige trin, indtil den begrænsende tæthed er nået, vil være begrænset af en værdi, der afhænger af den samlede tæthed af det indledende sæt. Dette afslører ideen om at opdele i tilfældet med et pseudo-tilfældigt sæt og et sæt med en eller anden global struktur. Denne idé afspejles også i andre metoder. [1] [10]

En anden analytisk tilgang er at studere den næsten periodicitet af funktioner, der er forbundet med de karakteristiske funktioner for de sæt, der undersøges. [31]

Ergodiske metoder

Den ergodiske tilgang involverer at anvende resultater fra teorien om dynamiske systemer på problemer i additiv kombinatorik . Denne tilgang blev først anvendt af Hillel Furstenberg på Szemeredys sætning [32] , men det viste sig hurtigt, at den kan generaliseres til en meget bredere vifte af problemer.

Teorien om dynamiske systemer gør det ofte muligt at bevise resultater, der ikke kan omformuleres med andre metoder, men den er ikke i stand til at give nogen kvantitative estimater (for eksempel estimater for tætheden af en mængde i Szemeredys sætning). [33]

Andre metoder

Nogle andre områder har anvendelser til den pågældende videnskab:

Szemeredi-Trotter-sætningen fra kombinatorisk geometri (især i spørgsmål vedrørende konvekse mængder) [16] [13] [17] ;
geometri af tal [34] ;
teori om repræsentationer af symmetriske grupper [35] .
egenværditeori ( kan bruges til at udlede en ulighed mellem antallet af løsninger af nogle systemer af lineære ligninger; [36] );

Nogle forskere

Se også

Litteratur

Graham, Ronald. Begyndelsen af Ramsey-teorien. - M . : Mir, 1984. - ISBN 5-09-002630-0 .

M.Z. Garaev. Summer og produkter af mængder og estimater af rationelle trigonometriske summer i felter af prime orden // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 2010. - Udgave. 4 . - S. 5-66 . (Russisk)

I. D. Shkredov. Szemeredis teorem og problemer om aritmetiske progressioner // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 2006. - Udgave. 6 . - S. 111-179 . (Russisk)

I. D. Shkredov. Fourieranalyse i kombinatorisk talteori // Fremskridt i matematiske videnskaber. - 2010. - Udgave. 3 . - S. 127-184 . (Russisk)

Terence Tao , Van H. Vu. Additive kombinatorier . — Cambridge University Press. - 2006. - ISBN 0-511-24530-0 .

Imre Ruzsa. Sumsets og struktur .

Freiman, Grigory Abelevich . Begyndelsen af strukturel mængdeteori . - Trykkeriet "Tatpoligraf". - 1966. (Russisk)

I. M. Gelfand , Yu. V. Linnik . Elementære metoder i analytisk talteori. — M.: Fizmatgiz. - 1962. (Russisk)

I. M. Vinogradov . Metoden for trigonometriske summer i talteori. - Forlaget "Science". - 1971. (Russisk)

Noter

↑ 1 2 3 Postnauka, I. D. Shkredov, "Additive combinatorics" . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 18. august 2021. (ubestemt)
↑ Gelfand, 1962 , s. 9-43.
↑ Graham, 1984 .
↑ Vinogradov, 1971 , s. 5-6.
↑ Freiman, 1966 .
↑ Erdős, Paul & Szemerédi, Endre (1983), Om summer og produkter af heltal , Studies in Pure Mathematics. Til minde om Paul Turán , Basel: Birkhäuser Verlag, s. 213–218, ISBN 978-3-7643-1288-6 , doi : 10.1007/978-3-0348-5438-2_19 Arkiveret 24. maj 2013 på Wayback Machine .
↑ Ernie Croot, Izabella Laba, Olof Sisask, "Aritmetic Progressions in Sumsets and L^p-Almost-Periodicity" . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ Tom Sanders, "Additive strukturer i sumsets" . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ Terence Tao, "Et usikkerhedsprincip for cykliske grupper af primær orden" . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ 1 2 http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=3055 Meetings of the Moscow Mathematical Society, 1. marts 2011, I. D. Shkredov, Methods of additive combinatorics
↑ Garaev, 2010 , s. 25.
↑ Seminar på alle institutter "Matematik og dens anvendelser" fra Matematisk Institut. V. A. Steklova RAS, 18.09.14, I. D. Shkredov, "Strukturelle teoremer i additiv kombinatorik"
↑ 1 2 A. Iosevich, S. Konyagin, M. Rudnev og V. Ten, "Om kombinatorisk kompleksitet af konvekse sekvenser", 19. juli 2004 . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ MZ Garaev, "On Lower Bounds for the L1-Norm of Exponential Sums", Mathematical Notes, november 2000, bind 68, udgave 5-6, s. 713-720 . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ Imre Z. Ruzsa, Dmitrii Zhelezov, "Konvekse sekvenser kan have tynde additivbaser", fortryk . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ 1 2 Tomasz Schoen, Ilya Shkredov, "Om mængder af konvekse sæt" . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ 1 2 Elekes, Nathanson, Ruzsa, "Konveksitet og sumsets" (link utilgængeligt) . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ Ben Green, "Finite field models in additive combinatorics" . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ Tom Sanders, "On Roth's theorem on progressions", fortryk . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ 1 2 3 Shkredov, 2010 .
↑ Garaev, 2010 .
↑ Graham, 1984 , s. tyve.
↑ 1 2 P. L. Chebyshev Matematisk Laboratorium, Forelæsningskursus "Additiv kombinatorik", Forelæsning 1
↑ Szemerédi, Endre (1975), Om sæt af heltal, der ikke indeholder k elementer i aritmetisk progression , Acta Arithmetica T. 27: 199–245, Zbl 0303.10056, MR : 0369312 , < plic /m.edun. ksiazki/aa/aa27/aa27132.pdf > Arkiveret 10. december 2020 på Wayback Machine .
↑ Garaev, 2010 , s. 18-25.
↑ E. Croot, V. Lev og P.P. Pach, Progressionsfrie mængder i er eksponentielt små (2016). arXiv fortryk 1605.01506. ${\mathbb {Z} }_{n}^{4}$ . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ Bevis for Roths sætning for grupper med lille torsion på arxiv.org . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ Udtalelse af beviset for Roths sætning for på russisk ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{4}^{n))$
↑ I. V. Vyugin, I. D. Shkredov, "Om additive skift af multiplikative undergrupper", Mat. Sb., 2012, bind 203, nummer 6, side 81-100 . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. juni 2018. (ubestemt)
↑ Shkredov, 2006 , s. 119-124.
↑ I. D. Shkredova, gennemgangsforelæsning "Analytiske metoder i additiv kombinatorik", Forelæsningssal i Mathematical Laboratory. Chebyshev
↑ Yufei Zhao, "Szemer'edis sætning via Ergodic Theory" . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 27. februar 2021. (ubestemt)
↑ Post-science, I. D. Shkredov, "Kombinatorisk ergodisk teori"
↑ Imre Ruzsa, "Additiv kombinatorik og geometri af tal" . Hentet 11. juni 2018. Arkiveret fra originalen 11. august 2017. (ubestemt)
↑ JA Dias da Silva, YO Hamidoune, Cycliske rum for Grassmann-derivater og additivteori, Bull. London matematik. soc. 26 (1994) 140-146
↑ I. D. Shkredov, "Nogle nye resultater på højere energier" . Hentet 3. januar 2019. Arkiveret fra originalen 3. januar 2019. (ubestemt)