Additiv talteori

Additiv talteori er en gren af ​​talteorien , der opstod i studiet af problemer om nedbrydning af heltal til en given form [1] (f.eks. i primtal , krøllede tal , e-potenser osv.).

Blandt de klassiske problemer, hvis undersøgelse lagde grundlaget for additiv talteori, kan vi nævne følgende [1] .

Løsningen af ​​disse problemer kompliceres af det faktum, at flere grundlæggende operationer med naturlige tal samtidig deltager i formuleringerne :

Forholdet mellem tals additive og multiplikative egenskaber er ekstremt komplekst, og denne kompleksitet er ansvarlig for vanskeligheden ved at løse mange problemer i talteorien [2] .

Moderne additiv talteori omfatter en bred vifte af problemer i studiet af Abelske grupper og kommutative semigrupper med operationen af ​​addition [3] . Additiv talteori er nært beslægtet med kombinatorisk talteori (især additiv kombinatorik ) [4] og til tallenes geometri anvender den analytiske , algebraiske og probabilistiske metoder. Afhængigt af løsningsmetoderne er additive problemer en integreret del af andre sektioner af talteori - analytisk talteori , algebraisk talteori , sandsynlighedstalteori [1] .

Historie

De første systematiske resultater i additiv talteori kom fra Leonhard Euler , som i 1748 offentliggjorde en undersøgelse (ved hjælp af potensrækker ) af udvidelsen af ​​naturlige tal til naturlige termer; i særdeleshed overvejede han problemet med at dekomponere et tal i et givet antal led og beviste sætningen om femkantede tal [5] . I samme periode opstod to klassiske problemer af en additiv type: Goldbach-problemet og Waring-problemet , og dusinvis af nye problemer dukkede senere op.

For at løse mange af disse problemer har generelle værktøjer som Hardy-Littlewood cirkelmetoden , sigtemetoden [6] og den trigonometriske summetode vist sig nyttige . Hilbert beviste [7] at for ethvert heltal er ethvert naturligt tal summen af ​​et begrænset antal udtryk i magten . Lev Shnirelman introducerede i 1930 begrebet tætheden af ​​en sekvens af naturlige tal, hvilket tillod betydelige fremskridt med at løse Goldbach-problemet og bevise den generaliserede Waring-sætning [8] .

Grigory Freiman i 1964 viste sig at være et vigtigt teorem fra området additiv kombinatorik .

Nuværende tilstand

En delmængde kaldes en (asymptotisk) additiv basis [9] af endelig orden, hvis et tilstrækkeligt stort naturligt tal kan skrives som summen af ​​højst elementer af . For eksempel er de naturlige tal i sig selv en additiv basis af orden 1, da hvert naturligt tal er trivielt summen af ​​højst ét ​​naturligt tal. Mindre trivielt er Lagrange-summen af ​​fire kvadraters sætning , som viste, at mængden af ​​kvadrattal er et additivt grundlag af fjerde orden. Et andet meget ikke-trivielt og almindeligt kendt resultat i denne retning er Vinogradovs sætning om, at ethvert tilstrækkeligt stort ulige naturligt tal kan repræsenteres som summen af ​​tre primtal [10] .

Mange moderne undersøgelser på dette område vedrører egenskaberne af generelle asymptotiske baser af endelig rækkefølge. For eksempel kaldes et sæt et minimalt asymptotisk grundlag for en ordre, hvis det er et asymptotisk grundlag for en ordre , men ingen egentlig delmængde er et asymptotisk grundlag for en ordre . Det blev bevist [11] at der eksisterer minimale asymptotiske ordensbaser for enhver , og der eksisterer også asymptotiske ordensbaser , der ikke indeholder minimale asymptotiske ordensbaser .

Problemet overvejes også - hvor meget det er muligt at reducere antallet af repræsentationer i form af en sum af elementer af en asymptotisk basis. Erdős-Turan-formodningen (1941) [12] , som endnu ikke er blevet bevist, er viet til dette .

Se også

Noter

  1. ↑ 1 2 3 Mathematical Encyclopedia, 1977 , s. 91.
  2. ↑ Matematik, dens indhold, metoder og betydning (i tre bind). - 1956. - T. 2. - S. 225. - 397 s.
  3. ↑ Mann, 1976 .
  4. ↑ Tao, 2006 .
  5. ↑ Om Eulers Pentagonal Theorem Arkiveret 31. januar 2020 på Wayback Machine på MathPages .
  6. ↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 979.
  7. ↑ Karatsuba A. A. Hilbert-Kamke-problemet i analytisk talteori . Hentet: 1. december 2020.
  8. ↑ Matematik i USSR i tredive år. 1917-1947 / Udg. A. G. Kurosh , A. I. Markushevich , P. K. Rashevsky . - M. - L .: Gostekhizdat , 1948. - S. 56-57. — 1044 s.
  9. ↑ Bell, Jason; Hare, Kathryn & Shallit, Jeffrey (2018), Hvornår er et automatisk sæt en additiv basis? , Proceedings of the American Mathematical Society , Series B bind 5: 50-63 , DOI 10.1090/bproc/37 
  10. ↑ Karatsuba A. A. Euler og talteori // Moderne matematikproblemer. Problem. 11. - M. : MIAN , 2008. - S. 19-37. - 72 sek. — ISBN 5-98419-027-3 .
  11. ↑ Nathanson MB Minimale baser og maksimale ikke-baser i additiv talteori // J. Talteori. - 1974. - Bd. 6, nr. 4. - S. 324-333.
  12. ↑ Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. On the Erdős–Turán formodning // J. Talteori. - 2003. - Bd. 102, nr. 2. - S. 339-352.

Litteratur

Links