Minkowski sum

Minkowski-summen af to delmængder A og B af et lineært rum V (eller en vilkårlig gruppe ) er et sæt C bestående af summen af alle mulige vektorer fra A og B :

C = \venstre\{\,c \mid c=a+b, a\i A, b\i B\,\right\}

Produktet af et sæt med et tal er defineret på samme måde:

\lambda A = \venstre\{\,\lambda a \mid a\in A\,\right\}

Egenskaber

Hvis mængden A er konveks, så $(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$

for enhver og .

\lambda>0

\mu>0

$\lambda (A+B)= \lambda A + \lambda B$
$A + B = B + A$
$A + \left\{0\right\} = A$

På Minkowski-forskellen

Sæt med Minkowski-summen indført på dem danner ikke et lineært rum (selv konvekse). Dette skyldes manglen på et omvendt element (elementet - A er åbenbart ikke et).

Minkowski-forskellen mellem sæt A og B er det maksimale sæt C , således at $C + B\undersæt A$ ,

men det er let at se, at for mange mængder (f.eks. kvadratet og cirklen), er Minkowski-forskellen ikke det omvendte af summen.

Alternativt kan man udvide Minkowski-summen til det lineære rum af par af konvekse mængder ( A , B ) med ækvivalensrelationen $(A, B) \sim (C, D) \venstrehøjrepil A + D = B + C$

Minkowski-forskellen kaldes også den geometriske sætforskel .

Variationer og generaliseringer

Sættet af summer er en lignende definition for delmængder af grupper i additiv og aritmetisk kombinatorik . Sammen med beløb betragtes produkter af sæt og andre operationer. $A\times B=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Litteratur

Polovinkin ES , Balashov MV Elementer af konveks og stærkt konveks analyse . — M.: FIZMATLIT , 2004. — 416 s. — ISBN 5-9221-0499-3 .