Numerisk differentiering

Numerisk differentiering er et sæt metoder til den omtrentlige beregning af værdien af den afledte af en funktion , givet i en tabel eller med et komplekst analytisk udtryk.

Endelige forskelle

Den afledede af en funktion i et punkt er defineret ved hjælp af grænsen : $f$ $x$

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h)).

I tælleren af brøken under fortegnet af grænsen er den endelige forskel af funktionen , i nævneren er trinnet af denne forskel. Derfor er den enkleste metode til at approksimere den afledede at bruge de endelige forskelle af en funktion med et tilstrækkeligt lille trin . For eksempel udtrykket $f$ $f$ $h$

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

tilnærmer den afledede af en funktion i et punkt op til en værdi, der er proportional med . Brug af et udtryk $f$ $x$ $h$

{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))

gør det muligt at reducere tilnærmelsesfejlen til en værdi, der er proportional med . $h^{2}$

Finite forskelle kan også tilnærme højere ordens derivater.

Interpolation

Hvis værdierne af funktionen ved nogle knudepunkter er kendt , så er det muligt at konstruere et interpolationspolynomium (for eksempel i Lagrange-formen eller i Newton-formen ) og tilnærmelsesvis indstillet $f$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N))$ $P_{N}(x)$

f^{(r)}(x)\ca. P_{N}^{(r)}(x),\;0\leq r\leq N.

Sådanne udtryk kaldes numeriske differentieringsformler.

Nogle gange, sammen med omtrentlig lighed, er det muligt (for eksempel ved hjælp af Taylor-formlen ) at opnå en nøjagtig lighed, der indeholder et restled , kaldet fejlen ved numerisk differentiering: $R(x)$

f^{(r)}(x)=P_{N}^{(r)}(x)+R(x),\;0\leq r\leq N.

Sådanne udtryk kaldes formler for numerisk differentiering med resterende led. Den grad, hvormed værdien kommer ind i det resterende led, kaldes fejlrækkefølgen af den numeriske differentieringsformel. $h={\mbox{max}}\{x_{i}-x_{i-1}\,|\,i=1,\ldots ,N\}$

Følgende er flere formler for numerisk differentiering med resterende udtryk for den første og anden afledede for ækvidistante noder med et konstant trin , opnået ved hjælp af Lagrange-formlen: $({r=1})$ $({r=2})$ ${h>0}$

$r=1,\;N=1$ (to knudepunkter):

f'(x_{0})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}-{\frac {h}{2}}f''(\xi ),

f'(x_{1})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}+{\frac {h}{2}}f''(\xi ).

$r=1,\;N=2$ (tre knudepunkter):

f'(x_{0})={\frac {-3f_{0}+4f_{1}-f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3} }f'''(\xi ),

f'(x_{1})={\frac {f_{2}-f_{0}}{2h}}-{\frac {h^{2}}{6}}f'''( \xi ),

f'(x_{2})={\frac {f_{0}-4f_{1}+3f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}} f'''(\xi ).

$r=2,\;N=2$ (tre knudepunkter):

f''(x_{0})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-hf'''(\xi ),

f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{2})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}+hf'''(\xi ).

$r=2,\;N=3$ (fire noder):

f''(x_{0})={\frac {2f_{0}-5f_{1}+4f_{2}-f_{3}}{h^{2}}}+{\frac { 11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{2})={\frac {f_{1}-2f_{2}+f_{3}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{3})={\frac {-f_{0}+4f_{1}-5f_{2}+2f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ).

Her , , og er et mellempunkt mellem den største og mindste af noderne. $f_{i}=f(x_{i})$ $i=0,\ldots ,N$ $\xi$

I det generelle tilfælde kan koefficienterne for numeriske differentieringsformler beregnes for et vilkårligt gitter af noder og enhver rækkefølge af den afledede.

Fatal fejl

I formler for numerisk differentiering med et konstant trin divideres værdierne af funktionen med , hvor er rækkefølgen af den beregnede afledte. Derfor, for små, uløselige fejl i funktionsværdierne har en stærk indflydelse på resultatet af numerisk differentiering. Således opstår problemet med at vælge det optimale trin , da fejlen i selve metoden har en tendens til nul ved , og den fatale fejl vokser. Som et resultat kan den samlede fejl, der opstår under numerisk differentiering, stige uendeligt ved . Derfor anses problemet med numerisk differentiering for at være dårligt stillet . $h$ $f$ $h^{r}$ $r$ $h$ $f$ $h$ $h\til {0}$ $h\til {0}$

Komplekse tal

Klassiske tilnærmelser ved endelige forskelle indeholder en uundgåelig fejl og er dårligt konditionerede . Men hvis en funktion er holomorf , tager reelle værdier på den reelle linje og kan evalueres i et hvilket som helst område af ethvert reelt punkt på det komplekse plan , så kan dens afledede beregnes ved hjælp af stabile metoder. For eksempel kan den første afledede beregnes ved hjælp af formlen med et komplekst trin [1] : $f$

f'(x)={\frac {{\mbox{Im}}(f(x+ih))}{h}}+O\left(h^{2}\right),

hvor er den imaginære enhed . Denne formel kan fås fra følgende Taylor-serieudvidelse : $jeg$

f(x+ih)=f(x)+ihf'(x)-h^{2}{\frac {f''(x)}{2!)}}-ih^{3}{ \ frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots .

Generelt kan derivater af vilkårlig rækkefølge beregnes ved hjælp af Cauchy-integralformlen :

f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i))\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(za)^{ n+1}}}\,\mathrm {d} z.

Integralet kan beregnes ca.

Litteratur

Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. Numeriske metoder. - 3. udg., tilføje. og omarbejdet. — M. : BINOM. Videnlaboratoriet, 2004. - 636 s., ill. — ISBN 5-94774-175-X .
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Beregningsmetoder. Bind I. - 2. udg., stereotypisk - M .: Fizmatgiz . 1962.
Mysovskikh I.P. Forelæsninger om beregningsmetoder. – M.: Videnskab. 1982. - 342 s.

Noter

↑ Kompleks trindifferentiering

Se også

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner