Partikel i et periodisk potentiale

I kvantemekanikken er problemet med en partikel i et endimensionelt periodisk potentiale et idealiseret problem, der kan løses nøjagtigt (for en speciel slags potentialer) uden forenklinger. Det antages, at potentialet er givet på hele det uendelige rum og er periodisk, det vil sige, at det har translationssymmetri , hvilket generelt set ikke er sandt for rigtige krystaller , hvor der altid er mindst én defekt - overfladen (dette fører til et andet problem med overfladetilstande eller Tamm-niveauer ).

Generel visning af spektret

Periodisk problem

Overvej et endimensionelt gitter af ioner, hvor afstanden er . Potentialet vil da være periodisk. Overvej først det idealiserede tilfælde af en uendelig krystal. Schrödinger-ligningen har formen: $-en$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi (x)}{\partial x^{2}}}+V_{a}(x) \psi(x)=E\psi(x)

med et periodisk potentiale Spektrum er defineret som mængden af de energier, ved hvilke ligningen har løsninger afgrænset (ikke tenderende til nul eller uendelig) på hele den reelle akse. Schrödinger-ligningen er af anden orden, så løsningsrummet er todimensionelt. Lade være lineært uafhængige løsninger af ligningen. Derefter, når de forskydes med en periode, på grund af problemets periodicitet, transformeres de gennem hinanden: $V_{a}(x)=V_{a}(x+a).$ $\psi_{{1,2}}$

\venstre({\begin{matrix}\psi _{1}(x+a)\\\psi _{2}(x+a)\end{matrix}}\right)={\mathrm {T}} \venstre({\begin{matrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{matrix}}\right)

hvor er en eller anden matrix ( monodromi matrix ). I betragtning af Wronskian er det let at vise det og er enhedsmæssigt . Dette indebærer, at det på et eller andet grundlag har formen $\mathrm{T}$ $\mathrm{T}$ $\det {\mathrm {T}}=1$

\mathrm {T} =\left({\begin{matrix}e^{\mathrm {i} ka}&0\\0&e^{-\mathrm {i} ka}\end{matrix}}\right )

Dette indebærer Blochs sætning : de tilsvarende egenfunktioner er af formen

\psi _{{1,2}}(x)=e^{({\mathrm {i}}kx}}\phi _{{1,2}}(x),

hvor er periodiske funktioner. Bemærk det indtil videre . Det er klart, at spektret svarer til , hvilket er ækvivalent (under hensyntagen til unitariteten) til tilstanden på sporet af monodromimatrixen $\phi _{{1,2}}(x)$ $k\in \mathbb {C}$ $k\in \mathbb{R}$

{\mathrm {Tr}}\ {\mathrm {T}}=2\cos(kx)\in [-2;2]

Det er nemt at vise, at der er en glat funktion. Dette indebærer båndstrukturen af spektret : for en partikel i et periodisk potentiale er de tilladte energiniveauer nogle, sædvanligvis uendelige, sæt af segmenter på den reelle akse. For et potentiale af en generel form har spektret ikke isolerede punkter; med en lille forstyrrelse af potentialet forsvinder de enten eller bliver til zoner med lille bredde. Bemærk, at de ekstreme segmenter af spektret i princippet kan være ubegrænsede, mens alle energiniveauer, startende fra et bestemt, er tilladte, og det samlede antal zoner er begrænset (se finite-gap integration ). I en sådan formulering indrømmer problemet en komplet og enkel løsning i theta-funktioner . ${\mathrm {Tr}}({\mathrm {T}})(E)$

k kaldes kvasi -momentum , analogt med bølgefunktionen for en partikel med et vist momentum k . Som du kan se, er hele bølgefunktionen bestemt af værdien af k og ethvert udsnit af funktionen af længden a . $e^{{{\mathrm {i}}kx}}$

På samme måde er der energibånd i gitter af højere dimensioner.

Indflydelse af grænser

I en rigtig krystal er antallet af tilladte tilstande meget stort. Den resulterende yderligere begrænsning på størrelsen af kvasi-momentet opstår fra grænsebetingelserne for bølgefunktionen på krystaloverfladen. I dette tilfælde, i stedet for kontinuerlige zoner, vises regioner med tæt adskilte energiniveauer ( tilladte zoner ) og regioner, hvor der slet ikke er tilstande ( forbudte zoner ). Lad os estimere afstanden mellem energiniveauerne i de tilladte zoner.

I stedet for at overveje tilladte energiniveauer (hvilket ville kræve yderligere information, såsom spredningsforholdet og den nøjagtige struktur af krystallen), lad os overveje tilladte værdier af kvasi-momentum. Når man betragter en isoleret krystal, tages der sædvanligvis hensyn til periodiske grænsebetingelser for bølgefunktionen. Denne antagelse er berettiget, da de nøjagtige randbetingelser i en ægte krystal består i forsvinden af elektronbølgefunktionen ved dens grænse. For en endimensionel krystal betyder det, at bølgefunktionen er lige (0 er i midten af krystallen). Hvis grænsernes indflydelse på bølgefunktionen er lille, kan man tilnærmelsesvis glemme den nøjagtige værdi af bølgefunktionen ved grænsen, idet man kun bevarer symmetriegenskaben - paritet.

Overvej en endimensionel krystal af længde . Grænsebetingelsen har formen $L$

\psi (0)=\psi (L)

I lyset af Blochs sætning følger det

kL=2\pi n,\;n\i \mathbb{Z }

Således er afstanden mellem tilstødende tilladte værdier af kvasi-momentet lig med

\Delta k={\frac {2\pi n}{L}}

Tilsvarende, i det generelle tilfælde, for et kubisk gitter:

\Delta k_{{x,y,z}}={\frac {2\pi n}{L_{{x,y,z}}}}

Kronig-Penny-modellen

For at forenkle problemet, er potentialet tilnærmet ved et rektangulært: ved hjælp af Blochs sætning . De finder bølgefunktionen i hele rummet, men først studerer de løsningen i en periode og gør den glat i kanterne, det vil sige, de "sømmer" værdierne af nabofunktioner og deres afledte. Overvej en periode af potentialet [1] :
Vi har to uafhængige områder, som vi vil finde løsninger til:

0<x<ab:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi \Rightarrow \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{ -i\alpha x}\quad \left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)

-b<x<0:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi \Rightarrow \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right)

For at finde u ( x ) i hvert område skal du udføre følgende transformationer:

\psi (0<x<ab)=Ae^{{i\alpha x}}+A'e^{{-i\alpha x}}=e^{{ikx}}\cdot \left(Ae^{ {i(\alpha -k)x}}+A'e^{{-i(\alpha +k)x}}\right)

\Rightarrow u(0<x<ab)=Ae^{{i(\alpha -k)x}}+A'e^{{-i(\alpha +k)x}}

På samme måde får vi

u(-b<x<0)=Be^{{i(\beta -k)x}}+B'e^{{-i(\beta +k)x}}\;

For at finde den komplette løsning skal vi sikre os, at den ønskede funktion er glat på grænserne:

\psi (0^{{-}})=\psi (0^{{+}})\quad \psi '(0^{{-}})=\psi '(0^{{+}})

og periodicitet u ( x ) og u' ( x )

u(-b)=u(ab)\quad u'(-b)=u'(ab).

Disse forhold giver følgende matrix:

{\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(ab)}&e^{-i (\alpha +k)(ab)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{ i(\alpha -k)(ab)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(ab)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

For at en ikke-triviel løsning skal eksistere, skal determinanten af denne matrix være nul. Efter nogle transformationer får vi:

\cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (ab)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta}\sin(\beta b)\sin[\alpha (ab)].\qquad (*)

For yderligere forenkling vil vi udføre følgende transformationer, hvis betydning er overgangen til delta-lignende potentialer ( Dirac comb ):

b\højrepil 0\ ;\ V_{0}\højrepil \infty \ ;\ V_{0}b={\mathrm {konstant))

\Højrepil \beta b\højrepil 0\ ;\ \beta ^{2}b={\mathrm {konstant))\ ;\ \alpha ^{2}b\højrepil 0\ ;\ \sin(\beta b)\ højrepil \beta b\ ;\ \cos(\beta b)\højrepil 1

Så bliver det endelige svar:

\cos(ka)=\cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a}\qquad \left(P={\beta ^{2}ab \over 2}\right )

Programkode

Kode til Maple

Følgende kode er skrevet i Maple (9.5). Det er kun en grafisk løsning . $(*)$

genstart; med (plot): med(stats[statplots]): eq:=cos(k*a)=cos(beta*b)*cos(alfa*(ab)) - (alfa^2+beta^2)/(2*alfa*beta)*sin(beta*b) *sin(alfa*(ab)); alpha:=sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2): beta:=sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2): e:=1,6*1e-19: a:=0,54310*1e-9: m:=0,19*9,1*1e-31: b:=1/5*a: h:=6,6*1e-34: k(E,V):=arccos(rhs(evalf(eq)))/a; #Tidsplan p:=plot({subs(V=10,k(E,V)),subs(V=10,-k(E,V))},E=-5..50,labels=[ka, E ],farve=blå): xyexchange(p); #Animation, afhængigt af dybden af pit p:=animate( plot, [{k(E,V),-k(E,V)},E=-10..50, farve=blå,etiketter=[ka, E]], V=0. .thirty): xyexchange(p);

Figurerne viser grafiske løsninger af ligningen ( * ).

Den højre figur viser, hvordan, ved en vis værdi af potentiel energi, er dannelsen af en endimensionel spaltefri halvleder mulig .

Kode til Scilab

Koden nedenfor er faktisk en oversættelse af det tidligere program til Scilab , bortset fra at den også illustrerer tilfældet med at gå til Dirac-kammen.

ryd alt global Pi e a m b h Pi = 3,1415926 ; trin = 0,1 ; e = 1,6 * le-19 ; a = 0,54310 * le-9 ; m = 0,19 * 9,1 * le-31 ; b = 1/5 * a ; _ _ h = 6,6 * le-34 ; funktion [alfa, beta] = ab ( V, E ) alpha = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E ) * e / h ^ 2 ); beta = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E + V ) * e / h ^ 2 ); afslutte funktion funktion r=kronigpenney(V, E) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos (( cos ( beta * b ) .* cos ( alfa * ( a - b )) ) - ( alfa .^ 2 + beta .^ 2 ) ./ ( 2 * alfa .* beta ) .* sin ( beta * b ) .* sin ( alfa * ( a - b ))); afslutte funktion funktion r=dirac(V,E) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos ( cos ( alfa * a ) - ( beta .^ 2 * b * a ) ./ 2 .* sin ( alfa * a ) ./ ( alfa * a )); afslutte funktion E = [ le-3 : trin : 50 ]; k = kronigpenney ( 10 , E ); plot ( k , E , 'b' ); plot ( -k , E , ' b' ); k = dirac ( 10 , E ); plot ( k , E , 'r' ); plot ( -k , E , ' r' );

Kode til Matlab

Koden nedenfor er en Matlab - oversættelse af det tidligere program .

funktion KronigPenneyM % Slet alt % global Pi eambh Pi = 3,1415926 ; trin = 0,1 ; e = 1,6 * le-19 ; a = 0,54310 * le-9 ; m = 0,19 * 9,1 * le-31 ; b = 1/5 * a ; _ _ h = 6,6 * le-34 ; E = [ 0 : trin : 50 ]; N = 3 ; hold fast ; k = kronigpenney ( N , E ); plot ([ real ( k ) NaN , - reel ( k )], [ E NaN E ], 'b' ); k = dirac ( N , E ); plot ([ real ( k ) NaN , - reel ( k )], [ E NaN E ], 'r' ); funktion [alfa, beta] = ab ( V, E ) alpha = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E ) * e / h ^ 2 ); beta = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E + V ) * e / h ^ 2 ); ende funktion r = kronigpenney ( V, E ) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos (( cos ( beta * b ) .* cos ( alfa * ( a - b )) ) - ( alfa .^ 2 + beta .^ 2 ) / ( 2 * alfa .* beta ) . * sin ( beta * b ) .* sin ( alfa * ( a - b ))); ende funktion r = dirac ( V,E ) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos ( cos ( alfa * a ) - ( beta .^ 2 * b * a ) / 2 .* sin ( alfa * a ) / ( alfa * a )); ende ende

Noter

↑ R. de L. Kronig og W. G. Penney. Kvantemekanik af elektroner i krystalgitre // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1931. - T. 130 . - S. 499-513 . - doi : 10.1098/rspa.1931.0019 .

Se også

Modeller af kvantemekanik
Endimensionel uden spin	fri partikel Grube med endeløse vægge Rektangulær kvantebrønd delta potentiale Trekantet kvantebrønd Harmonisk oscillator Potentiel trædesten Pöschl-Teller potentiale godt Modificeret Pöschl-Teller potentialebrønd Partikel i et periodisk potentiale Dirac potentiel kam Partikel i ringen
Multidimensionel uden spin	cirkulær oscillator Hydrogen molekyle ion Symmetrisk top Sfærisk symmetriske potentialer Woods-saksisk potentiale Keplers problem Yukawa-potentiale Morse potentiale Hulthen potentiale Kratzers molekylære potentiale Eksponentielt potentiale
Inklusiv spin	hydrogenatom Hydrid ion helium atom

Metoder til beregning af den elektroniske struktur
Teori om valensbindinger	Hybridisering af orbitaler Resonans teori To-elektron tre-center binding dobbeltbinding tredobbelt binding
Teori om molekylære orbitaler	Metode til lineære kombinationer af atomare orbitaler Hartree-Fock metode Linket klyngemetode Quantum Monte Carlo metode
Zoneteori	kp metode pseudopotentiel metode Approksimation af stærkt bundne elektroner Tilnærmelse af næsten frie elektroner Augmented plane wave metode Greens funktionsmetode Tæthedsfunktionel teori MT potentiale