Modificeret Pöschl-Teller potentiale

Det modificerede Pöschl-Teller- potentiale er en funktion af den potentielle energi af et elektrostatisk felt, foreslået af fysikerne Hertha Pöschl og Edward Teller [1] som en tilnærmelse for energien af et diatomisk molekyle, alternativ til Morse-potentialet

U(x)={\frac {-U_{0}}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}=-U_{0}\,\mathrm {sech} ^{2}ax

Den potentielle brønddybde parametreres normalt som: $U_{0}$

U_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\lambda (\lambda -1)

Løsningen af Schrödinger-ligningen med potentiel energi i form af en modificeret Pöschl-Teller-brønd er repræsenteret ved hjælp af Legendre-funktionerne .

Schrödinger-ligning med modificeret Pöschl-Teller-potentiale

Den stationære Schrödinger-ligning med det modificerede Pöschl-Teller-potentiale har formen:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}\Psi (x)=E\Psi (x).

Hvis du indtaster notationen , vil den have formen: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}+a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax} }\right)\Psi(x)=0.

Løsning via hypergeometriske funktioner

Efter ændring af variabler

y=\mathrm {ch^{2}}ax

vi får

y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)-\left({\frac {k ^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{4y}}\right)\Psi (y)=0.

Hvis vi erstatter løsningen i formularen

\Psi (y)=y^{\frac {\lambda }{2}}v(y)

så reduceres ligningen til den hypergeometriske form

y(1-y)v''(y)+\left(\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)-(\lambda -1)y\right)v '(y)-{\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}+{\frac {k^{2}}{a^{2}}}\right)v=0

betegner

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda +i{\frac {k}{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ venstre(\lambda -i{\frac {k}{a}}\right)

den generelle løsning vil tage formen

v(y)=A\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2));1-y\right)+iB(1-y) ^{\frac {1}{2}}\;_{2}F_{1}\venstre(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}});{ \ frac {3}{2}};1-y\right)

Som et grundlæggende system af løsninger til den oprindelige ligning er det praktisk at vælge en lige og ulige løsning, det vil sige paritetsoperatorens egenfunktioner :

{\hat {P}}\Psi _{\pm }(x)=\pm \Psi _{\pm }(x),

En jævn løsning svarer til og $A=1$ $B=0$

\Psi _{+}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2} };-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)

Den ulige løsning svarer til og $A=0$ $B=1$

\Psi _{-}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;\mathrm {sh} ax\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac { 1}{2)),b+{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)

Energi af bundne tilstande

For nemheds skyld betegner vi , så skrives energien som $k=i\kappa$

E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}.

Parametrene for de hypergeometriske funktioner har formen

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda -{\frac {\kappa }{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ venstre(\lambda +{\frac {\kappa }{a}}\højre).

For at opnå normaliserede funktioner er det nødvendigt at eliminere de asymptotiske vilkår, der er ubegrænsede i det uendelige; for ulige funktioner tager denne tilstand formen

{\frac {\kappa }{a}}=\lambda -2-2k

for endda

{\frac {\kappa }{a}}=\lambda -1-2k

Ved at kombinere disse forhold får vi energiniveauerne:

E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}(\lambda -1-n)^{2},\qquad n\leqslant \lambda - 1,\;n\i \mathbb {Z} _{+}

Refleksion og transmissionskoefficienter

Refleksions- og transmissionskoefficienterne har formen:

R={\frac {1}{1+p^{2}}},\qquad T={\frac {p^{2}}{1+p^{2}}},

hvor notationen

p={\frac {\mathrm {sh} {\frac {\pi k}{a))}{\sin \pi \lambda )).

Når vi får det og ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} _{+))$ $p=\infty$

R=0,\qquad T=1.

Således bliver det modificerede Pöschl-Teller-potentiale reflekterende. $\lambda \in \mathbb {N}$

Løsning via Legendre-funktioner

Ved substitution kan Schrödinger-ligningen reduceres til ligningen $u=\mathrm {th} ax$

((1-u^{2})\Psi '(u))'+\lambda (\lambda -1)\Psi (u)+\left({\frac {k}{a}}\ højre)^{2}{\frac {1}{1-u^{2}}}\Psi (u)=0.

Løsningen til denne ligning kan repræsenteres i form af Legendre-funktionerne

\Psi (u)=AP_{\lambda -1}^{\mu}(u)+BQ_{\lambda -1}^{\mu}(u),

hvor . $\mu=ik/a$

Se også

Pöschl-Teller potentiale

Noter

↑ G. Poschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (tysk) // Zeitschrift für Physik. - 1933. - Bd. 83 , nr. 3-4 . — S. 143–151 . - doi : 10.1007/BF01331132 .

Litteratur

Z. Flügge. Problemer i kvantemekanik. - Forlaget LKI, 2008. - T. 1.

IG Kaplan. Intermolekylære interaktioner . – 2006.

Paul Harrison. Kvantebrønde, ledninger og prikker . - 2005.

Modeller af kvantemekanik
Endimensionel uden spin	fri partikel Grube med endeløse vægge Rektangulær kvantebrønd delta potentiale Trekantet kvantebrønd Harmonisk oscillator Potentiel trædesten Pöschl-Teller potentiale godt Modificeret Pöschl-Teller potentialebrønd Partikel i et periodisk potentiale Dirac potentiel kam Partikel i ringen
Multidimensionel uden spin	cirkulær oscillator Hydrogen molekyle ion Symmetrisk top Sfærisk symmetriske potentialer Woods-saksisk potentiale Keplers problem Yukawa-potentiale Morse potentiale Hulthen potentiale Kratzers molekylære potentiale Eksponentielt potentiale
Inklusiv spin	hydrogenatom Hydrid ion helium atom