Formulering af kvanteteori i form af sti-integraler

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. marts 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Kvantemekanikkens vejintegralformulering er en beskrivelse af kvanteteorien, der generaliserer den klassiske mekaniks funktionsprincip . Den erstatter den klassiske definition af en enkelt, unik systembane med en fuld sum (funktionelt integral) over et uendeligt sæt af mulige baner for at beregne kvanteamplituden. Metodisk er formuleringen med hensyn til vejintegralet tæt på Huygens-Fresnel princippet fra klassisk bølgeteori .

Stiintegralformuleringen blev udviklet i 1948 af Richard Feynman . Nogle foreløbige punkter var blevet udviklet tidligere, mens han skrev sin afhandling under John Archibald Wheeler .

Denne formulering var nøglen til den efterfølgende udvikling af teoretisk fysik , da den er tydeligt symmetrisk i tid og rum (Lorentz-kovariant). I modsætning til tidligere metoder tillader sti-integralet fysikeren nemt at bevæge sig fra en koordinat til en anden i den kanoniske beskrivelse af det samme kvantesystem.

Stiintegralet gælder også for kvante- og stokastiske processer, og det gav grundlaget for den store syntese i 1970'erne, der kombinerede kvantefeltteori med den statistiske teori om feltudsving nær andenordens faseovergange . I dette tilfælde er Schrödinger- ligningen en diffusionsligning med en imaginær diffusionskoefficient , og vejintegralet er en analytisk fortsættelse af metoden til at summere alle mulige veje. Af denne grund blev stiintegraler brugt til at studere Brownsk bevægelse og diffusion lidt tidligere, end de blev introduceret til kvantemekanikken [1] .

For nylig er definitionen af sti-integraler blevet udvidet, så de udover Brownsk bevægelse også kan beskrive Levy-flyvninger . Formuleringen i form af Lévy-stiintegraler fører til fraktioneret kvantemekanik og en fraktioneret forlængelse af Schrödinger-ligningen [2] .

Kvanteprincippet om handling

I traditionel kvantemekanik er Hamiltonianeren en generator af uendeligt små (uendeligt lille) tidsmæssige oversættelser (for eksempel i et kvantemekanisk systems tilstand). Dette betyder, at tilstanden efter en infinitesimal tid adskiller sig fra tilstanden på et givet tidspunkt med en værdi, der er lig med produktet af Hamilton-operatørens handling på denne tilstand. For stater med en vis energi udtrykker dette de Broglie-forholdet mellem frekvens og energi , og det generelle forhold er i overensstemmelse med det, under hensyntagen til princippet om superposition . $dt$ $-jeg$ $dt$

Men Hamiltonianeren i klassisk mekanik er afledt af Lagrangian , som er en mere fundamental størrelse ifølge den særlige relativitetsteori . Hamiltonianeren beskriver udviklingen af systemet i tid, men ideen om tid ændrer sig, når man bevæger sig fra en referenceramme til en anden. Hamiltonianeren er således forskellig for forskellige referencerammer, og i den indledende formulering af kvantemekanikken er dens Lorentz-invarians ikke indlysende.

Hamiltonianeren er en funktion af koordinater og momenta, og ud fra den bestemmes koordinaterne og momentum på et senere tidspunkt. Lagrangian er en funktion af koordinater nu og koordinater lidt senere (eller tilsvarende, for uendelige små tidsintervaller, er det en funktion af koordinater og hastighed). Den første og den anden er forbundet med Legendre-transformationen, og betingelsen, der definerer de klassiske bevægelsesligninger, er minimumshandlingsbetingelsen .

I kvantemekanikken er Legendre-transformationen svær at fortolke, fordi bevægelsen ikke følger en bestemt vej. I klassisk mekanik med tidsdiskretisering

\varepsilon H=p{\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon L,

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)))),

hvor den partielle afledte med hensyn til q lader q ( t + ε ) stå fast. Omvendt Legendre transformation:

\varepsilon L=p\varepsilon {\dot {q}}-\varepsilon H,

hvor

{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p)),

og den partielle afledte tages nu med hensyn til p med q fast .

I kvantemekanikken er en tilstand en superposition af forskellige tilstande med forskellige værdier af q eller forskellige værdier af p , og størrelserne p og q kan fortolkes som ikke-pendlende operatorer. p - operatoren har kun en bestemt værdi på tilstande, der ikke har en bestemt q . Så forestiller vi os to tilstande adskilt i tid og handler på dem med en operator svarende til lagrangian:

e^{i[p\{q(t+\varepsilon )-q(t)\}-\varepsilon H(p,q)]}.

Hvis multiplikationsoperationerne i denne formel betragtes som multiplikation af operatorer (eller deres matricer), betyder det, at den første faktor

e^{-ipq(t)}

og summen over alle tilstande er integreret over alle værdier af q ( t ) - således udføres Fourier-transformationen til variablen p ( t ). Denne handling udføres på Hilbert-rummet - overgangen til variablen p ( t ) på tidspunktet t .

Dernæst kommer multiplikatoren

e^{-i\varepsilon H(p,q)},

beskriver udviklingen af et system over et uendeligt lille tidsinterval.

Og den sidste multiplikator i denne fortolkning:

e^{ipq(t+\varepsilon )},

producerer en basisændring tilbage til q ( t ), men på et senere tidspunkt.

Dette er ikke meget anderledes end den sædvanlige udvikling i tid: H indeholder al den dynamiske information - den skubber tilstanden frem i tiden. Den første og sidste del får Fourier til at transformere til den mellemliggende variabel p ( t ) og tilbage.

Hamiltonianeren er en funktion af p og q , så at blotlægge denne mængde og ændre basis fra p til q ved hvert trin tillader matrixelementet H at blive udtrykt som en simpel funktion langs hver vej. Denne funktion er kvanteanalogen til den klassiske handling. Denne observation blev først lavet af Dirac .

Dirac bemærkede senere, at man kunne tage kvadratet af evolutionsoperatoren i S -repræsentationen:

e^{i\varepsilon S},

således opnås en udviklingsoperator fra tidspunkt t til tidspunkt t + 2ε. Mens værdien, der summerer over mellemtilstande i H- repræsentationen, er et ikke-oplagt matrixelement, er det i S - repræsentationen forbundet med en sti. På grænsen af en stor grad af denne operator rekonstruerer den den komplette udvikling mellem to tilstande: en tidlig, som svarer til faste værdier af koordinaterne q (0), og en sen, med en fast q ( t ) ). Resultatet er summen over stierne, hvor fasen er kvantehandlingen.

Feynmans fortolkning

Diracs arbejde gav ikke en nøjagtig algoritme til beregning af vejsummer, og det viste ikke, hvordan Schrödinger-ligningen eller de kanoniske kommuteringsrelationer kunne udledes af denne tilgang. Dette blev gjort af Feynman.

Feynman viste, at Dirac handlingskvantum i de fleste interessante tilfælde simpelthen er lig med den klassiske handling, passende diskretiseret. Det betyder, at den klassiske handling er en fase, der løber i kvanteudvikling mellem to faste endepunkter. Han foreslog at udlede al kvantemekanik fra følgende postulater:

Sandsynligheden for en hændelse fås som kvadratet af modulet af et komplekst tal kaldet "amplitude".
Amplituden opnås ved at sammenlægge bidragene fra alle historier i konfigurationsrummet.
Historiens bidrag til amplituden er proportional med , hvor er Plancks konstant , som kan sættes lig med enhed ved at vælge et system af enheder, mens S er handlingen af denne historie givet af tidsintegralet af Lagrangian langs tilsvarende vej. $e^{{iS/\hbar }}$ $\hbar$

For at finde den samlede amplitudesandsynlighed for en given proces, skal man summere eller integrere amplituden over rummet af alle mulige historier af systemet mellem start- og sluttilstanden, inklusive historier, der er absurde efter klassiske standarder (f.eks. partikel hastigheder på baner kan overstige lysets hastighed). Ved beregning af amplituden af en enkelt partikel, der bevæger sig fra et sted til et andet i en given tid, er det nødvendigt at inkludere historier, hvor partiklen beskriver et bizart mønster, hvor partiklen "flyver ud i rummet" og flyver tilbage, og så på. Stiintegralet anser alle disse historieamplituder for at være lige store (modulus), men forskellige i fase (komplekst talargument). Bidrag, der adskiller sig væsentligt fra den klassiske historie, undertrykkes kun ved indblanding af bidrag fra lignende historier med modsat fase (se nedenfor).

Feynman viste, at denne formulering af kvantemekanik svarer til den kanoniske tilgang til kvantemekanik, når Hamiltonianeren er kvadratisk i momentum. Amplituden beregnet efter Feynman-principper genererer også Schrödinger-ligningen for Hamiltonian svarende til den givne handling.

Klassiske handlingsprincipper fører til en vanskelighed på grund af deres idealitet: i stedet for at forudsige fremtiden ud fra begyndelsesbetingelser, forudsiger de vejen til en given fremtid gennem en kombination af begyndelses- og slutbetingelser, som om systemet på en eller anden måde vidste, hvilken tilstand det skulle være ind. kom. Stiintegralet forklarer det klassiske handlingsprincip i form af kvantesuperposition. Systemet behøver ikke på forhånd at vide, hvor det skal hen – sti-integralet beregner blot sandsynlighedsamplituden for en given proces, og banen går i alle mulige retninger. Men efter tilstrækkelig lang tid sikrer interferenseffekter, at kun bidrag fra stationære handlingspunkter giver historier med meningsfulde sandsynligheder. De stationære aktionspunkter svarer til klassiske baner, således at systemet i gennemsnit bevæger sig ad den klassiske vej.

Præcis formulering

Feynmans postulater kan fortolkes som følger:

Tidsudskæring

For en partikel i et glat potentiale tilnærmes baneintegralet, som i det endimensionelle tilfælde er et produkt af almindelige integraler, af zigzag-baner. Når en partikel bevæger sig fra en position på et tidspunkt til et punkt ved , kan tidssekvensen opdeles i n små segmenter af fast varighed (et resterende segment kan negligeres, da grænsen i sidste ende betragtes ). Denne proces kaldes tidsudskæring. $x=x_{a}$ ${\displaystyle t=t_{a))$ $x=x_{b}$ ${\displaystyle t=t_{b))$ ${\displaystyle t_{a}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}<t_{b))$ $t_{j}-t_{j-1},\ j=1,\dots ,n$ $\varepsilon \equiv \Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}$ $n\to \infty$

Tilnærmelsen for vejintegralet er proportional med udtrykket

\int \limits _{x_{1}=x_{a}}^{x_{1}=x_{b}}\ldots \int \limits _{x_{n}=x_{a}}^ {x_{n}=x_{b}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}{\mathcal {L }}{\big (}x(t),v(t),t{\big )}\,dt\right)\,dx_{n}\ldots dx_{1},

hvor er Lagrangian for et endimensionelt system afhængig af den rumlige variabel x ( t ) og hastighed , og svarer til positionen på det j . tidstrin, hvis tidsintegralet tilnærmes med summen af n led. ${\mathcal {L}}(x,v,t)$ $v={\dot {x}}(t)$ ${\displaystyle dx_{j))$

I grænsen, da n har en tendens til uendelig, bliver dette udtryk et funktionelt integral , som (bortset fra en ubetydelig faktor) er direkte produktet af amplituderne af sandsynlighedstæthederne for at finde en kvantemekanisk partikel ved i starttilstanden og ved i endelig tilstand . $\langle x_{a},t_{a}|x_{b},t_{b}\rangle$ ${\displaystyle t=t_{a))$ $x=x_{a}$ ${\displaystyle t=t_{b))$ $x=x_{b}$

Faktisk er den klassiske Lagrangian af det endimensionelle system under overvejelse, , hvor er Hamiltonian ( p er momentum, lig per definition, og den førnævnte "zigzag" svarer til udseendet af udtrykkene ${\mathcal L}$ ${\mathcal {L}}(x,{\dot {x}},t)=p{\dot {x}}-{\mathcal {H}}(x,p,t)$ $\mathcal H$ $p=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {x)),$

\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\,\varepsilon \cdot \sum _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}\left({\tilde {x}}_{j},{\tfrac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right),

hvor er et punkt fra det tilsvarende segment. For eksempel kan du tage midten af segmentet: . ${\tilde x}_{j}\in [x_{{j-1}},x_{j}]$ ${\tilde {x}}_{j}={\tfrac {x_{j}+x_{j-1}}{2}}$

I modsætning til klassisk mekanik bidrager altså ikke kun den stationære bane, men faktisk alle virtuelle baner mellem start- og slutpunkterne.

Feynman-tilnærmelsen af tidskvantisering eksisterer imidlertid ikke for de vigtigste kvantemekaniske vejintegraler for atomer på grund af singulariteten af Coulomb-potentialet ved nul. Først efter at have erstattet tiden t med en anden vejafhængig parameter ("pseudo-tid") fjernes singulariteten, og der eksisterer en tidskvantiseringstilnærmelse, som er nøjagtigt integrerbar, da den kan gøres harmonisk med en simpel koordinattransformation, som vist af İsmail Hakkı Duru og Hagen Kleinert i 1979 [3] . Den kombinerede anvendelse af tid-"pseudo-tid"-transformationen og koordinattransformationer er en vigtig teknik til at beregne mange sti-integraler og kaldes Duru-Kleinert-transformationen. $e^{2}/r$ $s=\int dt/r(t)$

Gratis partikel

I vejintegralrepræsentationen bevæger kvanteamplituden sig fra punkt x til punkt y som et integral over alle stier. For en fri partikel er handlingen ( , ) integral $m=1$ $\hbar = 1$

S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt

kan findes eksplicit.

For at gøre dette er det konceptuelt praktisk at starte uden i -faktoren i eksponenten, så store afvigelser udlignes af små tal i stedet for at annullere fluktuerende bidrag:

K(xy;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}e^{{-\int _{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt}}Dx.

Vi deler integralen op i dele:

K(x,y;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}\Pi _{t}e^{{-{\frac 12}\ venstre({x(t+\varepsilon )-x(t) \over \varepsilon }\right)^{2}\varepsilon }}\,Dx,

hvor Dx fortolkes som en endelig samling af integrationer over hver heltalsfaktor ε. Hver faktor i produktet er en Gaussisk som funktion af x ( t + ε ) centreret ved x ( t ) med variation ε. De multiple integraler er gentagne viklinger af denne Gaussiske G ε med kopier af sig selv i tilstødende tider:

K(xy;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\dots *G_{\varepsilon },

hvor antallet af viklinger er lig med T /ε. Resultatet opnås let ved at tage Fourier-transformationen af begge sider, så viklingerne bliver multiplikationer:

{\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{{T \over \varepsilon }}.

Fourier-transformationen af det Gaussiske G er en anden Gaussisk af invers variation[ afklare ] :

{\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{{-\varepsilon {p^{2} \over 2}}},

og resultat

{\tilde {K}}(p;T)=e^{{-T{p^{2} \over 2}}}.

Fourier-transformationen giver K , og dette er igen en Gauss med omvendt variation:

K(xy;T)\sim e^{{-(xy)^{2} \over 2T}}.

Proportionalitetskonstanten er ikke rigtigt defineret af splittidstilgangen, kun forholdet mellem værdierne for de forskellige endelige valg er defineret. Der skal vælges en proportionalitetskonstant for at sikre, at tidsudviklingen mellem hver af de to tidspartitioner er kvantemekanisk ensartet, men en mere lysende måde at korrigere normaliseringen på er at antage vejintegralet som en beskrivelse af en stokastisk proces.

Resultatet har en probabilistisk fortolkning. Summen over alle baner af eksponentialfaktoren kan repræsenteres som summen over alle baner af sandsynligheden for at vælge en given bane. Sandsynligheden er produktet over hvert segment af udvælgelsessandsynligheden for et givet segment, således at hvert segment er sandsynligt uafhængigt udvalgt. Det faktum, at svaret er en gaussisk udbredelse lineært i tid, er en central grænsesætning, der kan tolkes som den første historiske udledning af det statistiske vejintegral.

Den probabilistiske fortolkning giver et naturligt valg af normalisering. Stiintegralet bør defineres på en sådan måde, at:

\int K(xy;T)dy=1.

Denne tilstand normaliserer Gauss og danner en kerne, der opfylder diffusionsligningen:

{d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K.

For oscillerende sti-integraler, dem med i i tælleren, frembringer tidsopdelingen skæve Gaussianere, som før. Nu er krumningsproduktet imidlertid singulært i det mindste omfang, da det kræver omhyggelige grænser for at definere de oscillerende integraler. For at gøre faktorerne veldefinerede er den nemmeste måde at tilføje en lille imaginær del til tidsleddet ε. Så giver det samme vridningsargument som før forplantningskernen:

K(xy;T)\propto e^{i(xy)^{2} \over 2T}.

Som med samme normalisering som før (ikke sum-kvadrat-normaliseringen! denne funktion har en divergerende norm), opfylder den frie Schrödinger-ligning

{d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K.

Det betyder, at enhver superposition af K også vil opfylde den samme ligning, lineært. Definere

\psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(xy;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0 )=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx,

så opfylder ψt den frie Schrödinger-ligning, såvel som K:

{\rm {i}}{\partial \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}.

Links

↑ Kleinert, H. Gauge Fields in Condensed Matter . - Singapore: World Scientific, 1989. - Vol. I. - ISBN 9971-5-0210-0 . Arkiveret fra originalen den 14. maj 2006. Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 20. september 2009. Arkiveret fra originalen 14. maj 2006. (ubestemt) Også tilgængelig online: Vol. Jeg arkiverede 27. maj 2008 på Wayback Machine .
↑ Laskin N. Fractional Quantum Mechanics // Fysisk gennemgang E. - 2000. - V. 62 . - S. 3135-3145 . - doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135 . arXiv : 0811.1769 .
↑ I. H. Duru, H. Kleinert. Løsning af stiintegralet for H-atomet (engelsk) // Physics Letters B. - 1979. - Vol. 84 , udg. 2 . - S. 185-188 . - doi : 10.1016/0370-2693(79)90280-6 .

Se også

Litteratur

Simon B. Funktionel integration og kvantefysik. — Academic Press, 1979.
Berezin F. A. Anden kvantiseringsmetode. — M .: Nauka, 1986. — 320 s.
Zinn-Justin J. Kontinuum integral i kvantemekanik. - M. : Fizmatlit, 2010. - 360 s.
Lobanov Yu Yu. Tilnærmede funktionelle integrationsmetoder til numerisk undersøgelse af modeller i kvantefysik (afhandling for doktorgraden i fysiske og matematiske videnskaber). - M. , 2009.
Polyakov A. M. Målefelter og strenge. - Izhevsk: RHD, 1999. - 316 s.
Popov VN Continuum integraler i kvantefeltteori og statistisk mekanik. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 s.
Slavnov AA, Faddeev LD Introduktion til kvanteteorien for målefelter. - M. : Nauka, 1988. - 272 s.
Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Kontinuumintegraler. — M .: Nauka, 1990. — 150 s.
Feynman R., Hibs A. Kvantemekanik og stiintegraler. - M. : Mir, 1968. - 384 s.
Shestakova TP Metode til vejintegral i kvantefeltteori. Foredragskursus. - M . : In-t computer. issled., 2005. - 228 s. — ISBN 5-939724-07-8 .
Artikel i Physical Encyclopedia (A. A. Slavnov): http://femto.com.ua/articles/part_2/4433.html

Richard Feynman
Videnskaben	Feynman diagrammer One-loop Feynman diagram Feynman-Katz formel Wheeler-Feynman absorptionsteori Bethe-Feynman formel Hellmann-Feynman teorem Feynman skråstreg notation Feynman parametrisering Formulering i form af sti-integraler Parton (partikel) propagator klæbrig perle argument Teori om et en-elektron univers Kvante cellulær automat Rogers Kommission Feynman skakbræt Feynman pointe Feynman sprinkler Feynman-Smoluchowski skralde
Arbejder	" Penty of Room Below " (1959) "The Feynman Lectures on Physics " (1964) " De fysiske loves natur " (1965) " QED er en mærkelig teori om lys og stof " (1985) " Selvfølgelig laver du sjov, hr. Feynman! » (1985) " Hvad er du ligeglad med, hvad andre mennesker tænker? » (1988) " Feynman's Lost Lecture " (1997) " Betydningen af det hele " (1999) " Fornøjelsen ved at finde ud af ting " (1999) " Perfekt rimelige afvigelser fra det slagne spor " (2005)
Andet	Videnskabelig fragtkult " Quantum Man: Richard Feynmans liv i videnskaben " (2011) Tuva eller Buste! Feynmans nanoteknologipris " Infinity " (film, 1996) " QED " (skuespil, 2001) " Challenger " (film, 2013)