Feynman-parametriseringen er en metode til evaluering af lukkede sløjfe-integraler , der stammer fra Feynman-diagrammer med en eller flere cyklusser. Det er dog nogle gange nyttigt, når man integrerer inden for ren matematik .
Richard Feynman bemærkede, at:
desuden er formlen gyldig for alle komplekse tal A og B, hvis 0 ikke er indeholdt i linjestykket, der forbinder A og B. Formlen hjælper med at evaluere integraler, såsom:
Hvis A (p) og B (p) er lineære funktioner af p , så kan det sidste integral evalueres ved substitution.
Mere generelt ved at bruge Dirac delta-funktionen : [1]
Denne formel er gyldig for alle komplekse tal A 1 ,. , ., A n hvis 0 ikke er indeholdt i deres konvekse skrog .
Endnu mere generelt, forudsat at for alle :
hvor er gammafunktionen . [2]
Nu skal du bare transformere integralet lineært ved hjælp af substitution,
, som fører til hvorog vi får det ønskede resultat:
I mere generelle tilfælde kan udledning udføres meget effektivt ved hjælp af Schwinger-parametriseringen . For eksempel for at udlede Feynmans parametriserede form . Først genudtrykker vi alle faktorerne i nævneren i deres Schwinger-parametriserede form:
og skriv ned
Vi udfører derefter følgende modifikation af integrationsvariablerne,
At opnå,
hvor betegner områdeintegration med ,
Det næste trin er at udføre integration over .
hvor vi definerede
Ved at erstatte dette resultat får vi den næstsidste form,
og efter at have introduceret et ekstra integral, når vi frem til den endelige form for Feynman-parametriseringen, nemlig:
På samme måde, for at udlede formen af Feynman-parametriseringen fra det mest generelle tilfælde, kan man starte med en passende anden form for Schwinger-parametriseringen i nævneren, nemlig:
og fortsæt derefter nøjagtigt i overensstemmelse med det foregående tilfælde.
En alternativ form for parameterisering, der nogle gange er nyttig, er
Denne formular kan fås med en ændring af variabler . Vi kan bruge produktreglen til at vise det , så
Mere generelt har vi
hvor er gammafunktionen .
Denne form kan være nyttig, når du kombinerer en lineær nævner med en andengradsnævner , såsom i den effektive tunge kvark-teori (HQET).
Nogle gange bruges en symmetrisk form for parametrisering, hvor intervalintegralet udføres i stedet , hvilket resulterer i: