Feynman parametrisering

Feynman-parametriseringen  er en metode til evaluering af lukkede sløjfe-integraler , der stammer fra Feynman-diagrammer med en eller flere cyklusser. Det er dog nogle gange nyttigt, når man integrerer inden for ren matematik .

Formler

Richard Feynman bemærkede, at:

desuden er formlen gyldig for alle komplekse tal A og B, hvis 0 ikke er indeholdt i linjestykket, der forbinder A og B. Formlen hjælper med at evaluere integraler, såsom:

Hvis A (p) og B (p)  er lineære funktioner af p , så kan det sidste integral evalueres ved substitution.

Mere generelt ved at bruge Dirac delta-funktionen : [1]

Denne formel er gyldig for alle komplekse tal A 1 ,. , ., A n hvis 0 ikke er indeholdt i deres konvekse skrog .

Endnu mere generelt, forudsat at for alle  :

hvor  er gammafunktionen . [2]

Konklusion

Nu skal du bare transformere integralet lineært ved hjælp af substitution,

, som fører til hvor

og vi får det ønskede resultat:

I mere generelle tilfælde kan udledning udføres meget effektivt ved hjælp af Schwinger-parametriseringen . For eksempel for at udlede Feynmans parametriserede form . Først genudtrykker vi alle faktorerne i nævneren i deres Schwinger-parametriserede form:

og skriv ned

Vi udfører derefter følgende modifikation af integrationsvariablerne,

At opnå,

hvor betegner områdeintegration med ,

Det næste trin er at udføre integration over .

hvor vi definerede

Ved at erstatte dette resultat får vi den næstsidste form,

og efter at have introduceret et ekstra integral, når vi frem til den endelige form for Feynman-parametriseringen, nemlig:

På samme måde, for at udlede formen af ​​Feynman-parametriseringen fra det mest generelle tilfælde, kan man starte med en passende anden form for Schwinger-parametriseringen i nævneren, nemlig:

og fortsæt derefter nøjagtigt i overensstemmelse med det foregående tilfælde.

Alternativ form

En alternativ form for parameterisering, der nogle gange er nyttig, er

Denne formular kan fås med en ændring af variabler . Vi kan bruge produktreglen til at vise det , så

Mere generelt har vi

hvor  er gammafunktionen .

Denne form kan være nyttig, når du kombinerer en lineær nævner med en andengradsnævner , såsom i den effektive tunge kvark-teori (HQET).

Symmetrisk form

Nogle gange bruges en symmetrisk form for parametrisering, hvor intervalintegralet udføres i stedet , hvilket resulterer i:

Noter

  1. . - ISBN 978-0-521-67053-1 .
  2. Kristjan Kannike. Bemærkninger om Feynman-parametrisering og Dirac-delta-funktionen . Dato for adgang: 24. juli 2011. Arkiveret fra originalen den 29. juli 2007.